直線與方程知識(shí)點(diǎn)及典型例題

1、第三章 直線與方程知識(shí)點(diǎn)及典型例題1. 直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是01802. 直線的斜率定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即k=tana。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí), =0, k = tan0=0;當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí), = 90, k 不存在.當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，不存在。xyoa1a2l1l2例.如右圖，直線l1的傾斜角a=30，直線l1l2，求直線l1和l2的斜率.解：k1=ta

2、n30= l1l2 k1k2 =1k2 =例：直線的傾斜角是( )A.120 B.150 C.60 D.30過(guò)兩點(diǎn)P1 (x1，y1)、P1(x1，y1) 的直線的斜率公式： 注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)時(shí)，公式右邊無(wú)意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90；(2)k與P1、P2的順序無(wú)關(guān)；(3)以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。例.設(shè)直線 l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(m，1)、B(3，4)，直線 l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(1，m)、D(1，m+1)， 當(dāng)(1) l1/ / l2 (2) l1l1時(shí)分別求出m的值三點(diǎn)共線的條件：如果所給三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的斜率

3、都有斜率且都相等，那么這三點(diǎn)共線。3. 直線方程點(diǎn)斜式：直線斜率k，且過(guò)點(diǎn)注意：當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，k=0，直線的方程是y=y1。當(dāng)直線的斜率為90時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：y=kx+b，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b兩點(diǎn)式：（）直線兩點(diǎn)P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)截矩式：其中直線與軸交于點(diǎn)(a，0)，與y軸交于點(diǎn)(0，b),即l與x軸、y軸的截距分別為a、b。注意：一條直線與兩條坐標(biāo)軸截距相等分兩種情況 兩個(gè)截距都不為0 或都為0 ； 但不可能一個(gè)為0，另一個(gè)不為0. 其方程可設(shè)為：或y=

4、kx. 一般式：Ax+By+C=0（A，B不全為0）注意：(1)在平時(shí)解題或高考解題時(shí)，所求出的直線方程，一般要求寫成斜截式或一般式。(2)各式的適用范圍 (3)特殊式的方程如：平行于x軸的直線：（b為常數(shù)）； 平行于y軸的直線：（a為常數(shù)）； 例題：根據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式：(1)斜率是，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(8，2)； .(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4,2)，平行于x軸； .(3)在軸和軸上的截距分別是； .(4)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(3，2)、P2(5，4)； .例1：直線的方程為Ax+By+C=0，若直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且位于第二、四象限，則（ ）AC=0，B0BC=0，B0，A0 CC=0，AB04.

5、兩直線平行與垂直 當(dāng)，時(shí)，；注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。5. 已知兩條直線l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，(A1與B1及A2與B2都不同時(shí)為零)若兩直線相交，則它們的交點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的一組解。若方程組無(wú)解 ； 若方程組有無(wú)數(shù)解與重合6. 點(diǎn)的坐標(biāo)與直線方程的關(guān)系幾何元素代數(shù)表示點(diǎn)P坐標(biāo)P(xo，yo) 直線l方程Ax+By+C=0點(diǎn)P(xo，yo)在直線l上坐標(biāo)滿足方程：Ax+By+C=0點(diǎn)P(xo，yo)是l1、l2的交點(diǎn)坐標(biāo)(xo，yo)滿足方程組7. 兩條直線的位置關(guān)系的判定公式A1B2A2B10方程組有唯一解兩直線相交 或

6、A1C2A2C1 0無(wú)解兩直線平行 或A1C2A2C1 = 0有無(wú)數(shù)個(gè)解兩直線重合兩條直線垂直的判定條件：當(dāng)A1、B1、A2、B2滿足 時(shí)l1l2。答：A1A2+B1B2=0經(jīng)典例題；例1.已知兩直線l1： x+(1+m) y =2m和l2：2mx+4y+16=0，m為何值時(shí)l1與l2相交平行解：例2. 已知兩直線l1：(3a+2) x+(14a) y +8=0和l2：(5a2)x+(a+4)y7=0垂直，求a值解：例3.求兩條垂直直線l1：2x+ y +2=0和l2： mx+4y2=0的交點(diǎn)坐標(biāo)解：例4. 已知直線l的方程為，(1)求過(guò)點(diǎn)（2，3）且垂直于l的直線方程；(2)求過(guò)點(diǎn)（2，3）

7、且平行于l的直線方程。8. 兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，則|AB|=9. 點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)P(xo，yo)到直線l：Ax+By+C=0的距離10. 兩平行直線距離公式例：已知兩條平行線直線l1和l2的一般式方程為l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，則l1與l2的距離為例1：求平行線l1：3x+ 4y 12=0與l2： ax+8y+11=0之間的距離。例2：已知平行線l1：3x+2y 6=0與l2： 6x+4y3=0，求與它們距離相等的平行線方程。12. 中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知兩點(diǎn)P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)，則線段的中點(diǎn)M坐標(biāo)為(，)例. 已知點(diǎn)A(7，4)、B(5,6),求線段AB的垂直平分線的方程。13. 對(duì)稱點(diǎn)與對(duì)稱直線的求法例1：已知直線l：2x3y+1=0和點(diǎn)P(1，2). (1) 分別求：點(diǎn)P(1，2)關(guān)于x軸、y軸、直線y=x、原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)Q坐標(biāo)(2) 分別求：直線l：2x3y+1=0關(guān)于x軸、y軸、直線y=x、原點(diǎn)O的對(duì)稱的直線方程.(3) 求直線l關(guān)于點(diǎn)P(1，2)對(duì)稱的直線方程。(4) 求P(1，2)關(guān)于直線l軸對(duì)稱的直線方程。例2：點(diǎn)P(1，2)關(guān)于直線l： x+y2=0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為