第六講貝利相位

1、2020/6/25,1,2011-4-25,第 四 講,貝 利 相 位 Berry Phase,物理專業(yè)2008級,2020/6/25,Dirac說： “如果有人問，量子力學(xué)的主要特征是什么？現(xiàn)在我傾向于說，量子力學(xué)的主要特征并不是不對易代數(shù)，而是概率幅的存在。后者是全部原子過程的基礎(chǔ)。概率幅是與實(shí)驗(yàn)相聯(lián)系的，但這只是問題的一部分。概率幅的模方是我們能觀測的某種量，即實(shí)驗(yàn)者所觀測到的概率。但除此以外，還有相位，它是模為1的數(shù)，它的變化不影響模方。但這個(gè)相位是極其重要的，因?yàn)樗撬懈缮娆F(xiàn)象的根源，其物理意義是極其隱晦難解的?！?引言,1984年貝利從理論上指出了一種新的相位，即貝利相位，隨后得

2、到了實(shí)驗(yàn)的證實(shí)。,2020/6/25,一、貝利相位的引入,設(shè)量子體系的哈密頓算符 是一組參量 的函數(shù),而 隨時(shí)間作周期性變化,例如周期變化的磁場的矢勢 可作為,的周期變化在參量空間定義了一條閉合曲線,（1）,瞬時(shí)本征函數(shù)滿足的正交歸一化條件,若假定周期 足夠大，以致哈密頓算符隨時(shí)間的變化很緩慢(此稱為絕熱變化過程) ，致使系統(tǒng)在每一瞬間都是準(zhǔn)靜止的，于是對于某一瞬時(shí) ，瞬時(shí)定態(tài)薛定諤方程成立,2020/6/25,（2）,絕熱條件下，瞬時(shí)本征波函數(shù)的含時(shí)薛定諤方程,稱為動(dòng)力學(xué)相位,（5）,用 左乘上式，并利用（2）式，則有,（6）,2020/6/25,考慮一般含時(shí)薛定諤方程,（7）,可用 展開，

3、即,（8）,（8）式代入（7）式得,由（4）式,（9）,2020/6/25,左乘上式，可得,在絕熱近似條件下，利用（6）式，上式可簡化為,（10）,（11）,積分得到,（12）,其中初始條件,式（2）對時(shí)間求導(dǎo),（13）,2020/6/25,可見（12）式指數(shù)中被積函數(shù)為純虛數(shù)，若記,（15）,于是，絕熱近似下，方程（7）的解（8）可寫為,由（15）式所給出的 稱為貝利相位，是實(shí)的。,二、貝利相位的意義,（17）,式15）初看之下， 是絕對相因子， 不是可觀測量，可觀測量 中消去了 。但是，1984年貝利指出，當(dāng)（15）式積分路徑是 參數(shù)空間的閉合回路時(shí)，可觀察到 的效果 ，具有物理意義。,2

4、020/6/25,（18）,當(dāng)（15）式中積分路徑是 參數(shù)空間的閉合回路 時(shí)，,引入 空間的“矢勢”,（19）,于是，貝利相位可寫成,（20）,2020/6/25,稱為參數(shù)空間“磁場強(qiáng)度”,三.參數(shù)空間“磁場強(qiáng)度”的計(jì)算,為實(shí)數(shù),為純虛數(shù),2020/6/25,（22）,由瞬時(shí)定態(tài)薛定諤方程 取梯度,用 左乘上式,2020/6/25,（23）,將（23）和（24）代入（22）得,（25）,由（2）式取梯度有,（24）,2020/6/25,解：,粒子磁矩為,能量算符的本征方程,Ex.自旋 的粒子在外磁場 中運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子荷電為 ，試研究其Berry相位。,2020/6/25,相應(yīng)的能量久期方程為,能量本征值：,（3）,（4）,下面為了簡化推導(dǎo)，我們假設(shè) 沿 軸方向，并設(shè)初態(tài) 瞬時(shí)本征態(tài)為 ，即自旋與 方向相反 。,2020/6/25,其中：,（5）,2020/6/25,（6）,將此結(jié)果推廣到一般的 ，則有,（7）,同理當(dāng)初態(tài)為 時(shí)，有,（8）,貝利相位,將以上各結(jié)果代入（5）式得,2020/6/25,是閉合曲線 對參數(shù)空間原點(diǎn) 所張立體角. 貝利指出上式表明在 處有強(qiáng)度為 單位的“磁