高等數(shù)學(xué)上冊課件

1、高等數(shù)學(xué)電子教案 中國石油大學(xué)（華東） 理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系 金貴榮,前 言,高等數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容和方法,幾 點 要 求,第一章 函數(shù)與極限 1.1 函數(shù)的概念及其初等性質(zhì) 1.2 數(shù)列極限 1.3 函數(shù)極限 1.4 無窮小與無窮大 1.5 函數(shù)連續(xù)性 1.6 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),1.1 函數(shù)的概念及其初等性質(zhì),1.1.1 預(yù) 備 知 識,1.一些常用的符號,2.實數(shù)集,有理數(shù)集 的稠密性：,任意兩個不同的有理數(shù) 之間都有無窮多個有理數(shù),（無理數(shù)集、實數(shù)集）,（無理數(shù)、實數(shù)）,（無理數(shù)、實數(shù)）。,實數(shù)集的連續(xù)性：,實數(shù)集與數(shù)軸上點的集合之間建立一 一對應(yīng)關(guān)系。,或完備的。,3.常用不等式:,絕對

2、值 :,三角不等式,( 平均值不等式 ),( 調(diào)和平均值 ),( 幾何平均值 ),( 算術(shù)平均值 ),（證明略）,更一般地，,4.鄰域:,1.1.2 函數(shù)的概念,一. 函數(shù)的定義,定義,函數(shù)傳統(tǒng)的習(xí)慣符號：,注意：,一個函數(shù)也可以在其定義域的不同部分分別用不同的解析式子表示，則稱之為分段定義的函數(shù)，簡稱分段函數(shù) .,有些特殊的函數(shù)只能用語言來描述對應(yīng)法則 ，并用約定的符號予以表示:,稱為取整函數(shù),例如：5.3= - 4.9=,（求極限時有用）,階梯曲線,稱為非負(fù)小數(shù)部分函數(shù),例3 符號函數(shù),三. 函數(shù)的初等性質(zhì),1函數(shù)的有界性,定理,證,2函數(shù)的單調(diào)性,( ),（減）,3函數(shù)的奇偶性,證,偶函

3、數(shù),奇函數(shù),4函數(shù)的周期性,定義,1.1.3 復(fù)合函數(shù)和反函數(shù),1. 復(fù)合函數(shù),定義,注意:,2. 反函數(shù),定義,注意：,求反函數(shù)的方法：,解,定理,證明略,注意：,1.1.4 初 等 函 數(shù),基本初等函數(shù)（6類）：常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù) 函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù).,1.常值函數(shù),2.冪函數(shù),3. 指數(shù)函數(shù),4.對數(shù)函數(shù),5. 三角函數(shù),6. 反三角函數(shù),都是初等函數(shù),解,解,1.2 數(shù) 列 極 限,一. 數(shù)列極限的定義,數(shù)列是整標(biāo)函數(shù):,注意：,數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列. 可看作一動 點在數(shù)軸上依次取,問題:,意味著什么? 如何用數(shù)學(xué)語言定量地刻劃它 .,定義1,定義2,注意:,

4、用 定義” 驗證數(shù)列極限，關(guān) 鍵是如何由任意給定的 尋找 N ？,例1,證,例2,證,注:,例3,證,證,綜合之，故,二. 收斂數(shù)列的性質(zhì)和運算,定理1（唯一性）,證,由定義,證畢,定理2（有界性）,證,由定義,證畢,子數(shù)列的概念,定義,左向右任意選取無窮多項，并按它們在原數(shù),列中的次序排成一個新的數(shù)列，表為：,簡稱子列 .,定理 3,證,證畢,推論 1,推論 2,證,證畢,定理4（四則運算）,注意:,四則運算只對有限個收斂數(shù)列而言，否則不能用 .,無窮多個收斂數(shù)列,這是錯誤的.,例5 求下列極限,解,三. 數(shù)列收斂的判別,定理5（迫斂性或兩邊夾定理）,證,證畢,例6,解,由兩邊夾定理，,練習(xí)

5、冊 習(xí)題7,例7,解,由兩邊夾定理，,單 調(diào) 數(shù) 列,定理6（單調(diào)有界原理）,（證明略）,上界,下界,例8,證,例9,證,計算可得：,1.3 函 數(shù) 的 極 限,一. 函數(shù)在有限點處的極限,一般地有,定義1,幾何解釋:,單側(cè)極限:,例如,左極限,右極限,定理,左右極限存在但不相等,例1,證,例2,解,左右極限存在且相等,用 定義” 驗證函數(shù)極限:,關(guān)鍵是如何由 尋找 ？,證,證,證,問題:,如何用數(shù)學(xué)語言刻劃兩個“無限趨近”.,二. 函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的極限,定義2,定理,1,幾何解釋:,用 定義” 驗證函數(shù)極限:,關(guān)鍵是如何由 尋找 ？,具體方法：,證,證,證,三. 函數(shù)極限的性質(zhì)和運算,性質(zhì)1

6、（唯一性）,性質(zhì)2（局部有界性）,證,證畢,性質(zhì)3（局部保號性）,證,證畢,性質(zhì)4（四則運算）,（證明略）,注：四則運算對有限個存在極限的函數(shù)而言.,性質(zhì)5（極限不等式）,證,注意:,性質(zhì)6（迫斂性或兩邊夾定理）,性質(zhì)7（海涅( Heine,1821-1881,德 )定理）,（證明略）,注：海涅定理揭示了函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系.,（證明略）,推論:( 判斷 不存在的方法 ),證,性質(zhì)8（極限的變量代換）,（證明略）,四. 兩 個 重 要 極 限,(1),證,(,證畢,(2),證,證畢,1.4 無窮小與無窮大,定義1,一. 無窮小及其性質(zhì),定理1（一般極限與無窮小的關(guān)系）,定理2,解,解,二.

7、 無窮小階的比較,極限不同, 反映了趨向于 0 的“快慢”程度不同 .,觀察各極限,定義2,定理3,證,證畢,定理4,( 乘積因子等價無窮小代換定理 ),證,證畢,注意：,只能對函數(shù)的乘積因子作等價無窮小代,換. 對于代數(shù)和中各無窮小不能作等價,無窮小代換 .,否則，因丟失高階無窮小，,而導(dǎo)致錯誤的結(jié)果 .,錯誤結(jié)果！,導(dǎo)致錯誤的結(jié)果 .,三. 無窮大及其性質(zhì),定義3,性質(zhì)（無窮大與無窮小的關(guān)系）,注意:,（證明略）,定義4,1.5 連 續(xù) 函 數(shù),一. 函 數(shù) 的 連 續(xù),定義1,（增量式定義）,例1,證,定義2,定理,例2 討論下列函數(shù)在指定點的連續(xù)性：,右不連續(xù),左連續(xù),解,( 函數(shù)在區(qū)

8、間的連續(xù)性 ),連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)不斷的曲線 .,定義3,例3,證,例4,證,二. 間斷點及其分類,第 一 類 間 斷 點,特點:,第 二 類 間 斷 點,例5,解,解,解,解,解,三. 連續(xù)函數(shù)的運算,( 四則運算 ),定理1,（證明從略）,在其定義域區(qū)間上都連續(xù) .,在其定義域區(qū)間上都連續(xù) .,( 反函數(shù)的連續(xù)性 ),定理2,（證明略）,在其定義域區(qū)間上都連續(xù) .,在其定義域區(qū)間上都連續(xù) .,( 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 ),定理3,極限符號可以進(jìn)入到連續(xù)函數(shù)的函數(shù)符號,內(nèi)，它對求復(fù)合函數(shù)的極限是很有用的 .,（證明略）,一般結(jié)論：,四. 初 等 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性,注意：,1. 初等函數(shù)僅在其定義域區(qū)間上連續(xù),例如：,函數(shù)在這些孤立點的空心鄰域內(nèi)沒有定義 ，,因此在這些孤立點無法討論其連續(xù)性 .,在其定義域內(nèi)不一定連續(xù) .,又如：,函數(shù)在 0 點的空心鄰域內(nèi)沒有定義 ，因此在,0 點無法討論其連續(xù)性 ；,例6,例7,解,(i),(ii),1.6 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),性質(zhì)1（有界性）,注意: 若區(qū)間是開 區(qū)間, 或閉區(qū)間內(nèi) 有間斷點, 則 結(jié)論 不一定成立 .,（證明略）