2020屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第十四章 推理與證明（文）（教師用書）（通用）

1、第十四章推理與證明高考導(dǎo)航考試要求重難點(diǎn)擊命題展望1.了解合情推理的含義.2.能利用歸納與類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.3.體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.4.了解演繹推理的重要性.5.掌握演繹推理的基本模式：“三段論”.6.能運(yùn)用演繹推理進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.7.了解演繹推理、合情推理的聯(lián)系與區(qū)別.8.了解直接證明的兩種基本方法：分析法與綜合法.9.了解分析法與綜合法的思維過(guò)程、特點(diǎn).10.了解反證法是間接證明的一種基本方法及反證法的思維過(guò)程、特點(diǎn).11.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.12.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題.本章重點(diǎn)：1.利用歸納與類比進(jìn)行推理；2.利用“三段論”進(jìn)行推理與

2、證明；3.運(yùn)用直接證明(分析法、綜合法)與間接證明(反證法)的方法證明一些簡(jiǎn)單的命題；4.數(shù)學(xué)歸納法的基本思想與證明步驟；運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)n(nN*)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題.本章難點(diǎn)：1.利用歸納與類比的推理來(lái)發(fā)現(xiàn)結(jié)論并形成猜想命題；2.根據(jù)綜合法、分析法及反證法的思維過(guò)程與特點(diǎn)選取適當(dāng)?shù)淖C明方法證明命題；3.理解數(shù)學(xué)歸納法的思維實(shí)質(zhì)，特別是在第二個(gè)步驟要根據(jù)歸納假設(shè)進(jìn)行推理與證明.“推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過(guò)程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式.本章要求考生通過(guò)對(duì)已有知識(shí)的回顧與總結(jié)，進(jìn)一步體會(huì)直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證

3、明、反思與建構(gòu)等數(shù)學(xué)思維過(guò)程以及合情推理、演繹推理之間的聯(lián)系與差異，體會(huì)數(shù)學(xué)證明的特點(diǎn)，了解數(shù)學(xué)證明的基本方法.本章是新課程考綱中新增的內(nèi)容，考查的范圍寬，內(nèi)容多，涉及數(shù)學(xué)知識(shí)的方方面面，與舊考綱相比，增加了合情推理等知識(shí)點(diǎn)，這為創(chuàng)新性試題的命制提供了空間.知識(shí)網(wǎng)絡(luò)14.1合情推理與演繹推理典例精析題型一運(yùn)用歸納推理發(fā)現(xiàn)一般性結(jié)論 【例1】 通過(guò)觀察下列等式，猜想出一個(gè)一般性的結(jié)論，并證明結(jié)論的真假.sin215sin275sin2135；sin230sin290sin2150；sin245sin2105sin2165；sin260sin2120sin2180.【解析】猜想：sin2(60)s

4、in2sin2(60).左邊(sin cos 60cos sin 60)2sin2(sin cos 60cos sin 60)2(sin2cos2)右邊.【點(diǎn)撥】先猜后證是一種常見題型；歸納推理的一些常見形式：一是“具有共同特征型”，二是“遞推型”，三是“循環(huán)型”(周期性).【變式訓(xùn)練1】設(shè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，斜邊上的高為h，則有abch成立，某同學(xué)通過(guò)類比得到如下四個(gè)結(jié)論：a2b2c2h2；a3b3c3h3；a4b4c4h4；a5b5c5h5.其中正確結(jié)論的序號(hào)是；進(jìn)一步類比得到的一般結(jié)論是 .【解析】；anbncnhn(nN*).題型二運(yùn)用類比推理拓展新知識(shí)

5、【例2】 請(qǐng)用類比推理完成下表：平面空間三角形兩邊之和大于第三邊三棱錐任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積三角形的面積等于任意一邊的長(zhǎng)度與這邊上的高的乘積的一半三棱錐的體積等于任意一個(gè)底面的面積與該底面上的高的乘積的三分之一三角形的面積等于其內(nèi)切圓半徑與三角形周長(zhǎng)的乘積的一半【解析】 本題由已知的前兩組類比可得到如下信息：平面中的三角形與空間中的三棱錐是類比對(duì)象；三角形各邊的邊長(zhǎng)與三棱錐各面的面積是類比對(duì)象；三角形邊上的高與三棱錐面上的高是類比對(duì)象；三角形的面積與三棱錐的體積是類比對(duì)象；三角形的面積公式中的“二分之一”與三棱錐的體積公式中的“三分之一”是類比對(duì)象.由以上分析可知：故第三行空格

6、應(yīng)填：三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐表面積的乘積的三分之一.本題結(jié)論可以用等體積法，將三棱錐分割成四個(gè)小的三棱錐去證明，此處從略.【點(diǎn)撥】類比推理的關(guān)鍵是找到合適的類比對(duì)象.平面幾何中的一些定理、公式、結(jié)論等，可以類比到立體幾何中，得到類似的結(jié)論.一般平面中的一些元素與空間中的一些元素的類比列表如下：平面空間點(diǎn)線線面圓球三角形三棱錐角二面角面積體積周長(zhǎng)表面積【變式訓(xùn)練2】面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長(zhǎng)記為ai(i1,2,3,4)，此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到第i條邊的距離為hi(i1,2,3,4)，(1)若k，則；(2)類比以上性質(zhì)，體積為V的三棱錐的第i個(gè)面的面積記為Si(i1,2,3

7、,4)，此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)Q到第i個(gè)面的距離記為Hi(i1,2,3,4)，若K，則.【解析】；.題型三運(yùn)用“三段論”進(jìn)行演繹推理【例3】已知函數(shù)f(x)ln ax(a0).(1)求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值；(2)求證：對(duì)于任意正整數(shù)n，均有1ln .【解析】(1)由題意f(x).當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，此時(shí)函數(shù)在(0，a)上是減函數(shù)，在(a，)上是增函數(shù)，fmin(x)f(a)ln a2，無(wú)最大值.當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，0)，此時(shí)函數(shù)在(，a)上是減函數(shù)，在(a,0)上是增函數(shù)，fmin(x)f(a)ln a2，無(wú)最大值.(2)取a1，由(1)知，f(x)ln xf

8、(1)0，故1ln xln ，取x1,2,3，n，則1ln eln ln ln .【點(diǎn)撥】演繹推理是推理證明的主要途徑，而“三段論”是演繹推理的一種重要的推理形式，在高考中以證明題出現(xiàn)的頻率較大.【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)eg(x)，g(x)(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，(1)若對(duì)任意的x0，都有f(x)x1，求滿足條件的最大整數(shù)k的值；(2)求證：ln(112)ln(123)ln1n(n1)2n3(nN*).【解析】(1)由條件得到f(1)22k2ln 213，猜測(cè)最大整數(shù)k2，現(xiàn)在證明x1對(duì)任意x0恒成立：x1等價(jià)于2ln(x1)ln(x1)2，設(shè)h(x)ln(x1)，則h(x).故x(0,

9、2)時(shí)，h(x)0，當(dāng)x(2，)時(shí)，h(x)0.所以對(duì)任意的x0都有h(x)h(2)ln 312，即x1對(duì)任意x0恒成立，所以整數(shù)k的最大值為2.(2)由(1)得到不等式2ln(x1)，所以ln1k(k1)22，ln(112)ln(123)ln1n(n1)(2)(2)22n32n32n3，所以原不等式成立.總結(jié)提高合情推理與演繹推理是兩種基本的思維推理方式.盡管合情推理(歸納、類比)得到的結(jié)論未必正確，但歸納推理與類比推理具有猜想和發(fā)現(xiàn)新結(jié)論、探索和提供證明的新思路的重要作用，特別在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們可以由熟悉的、已知的知識(shí)領(lǐng)域運(yùn)用歸納、類比思維獲取發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的靈感去探索陌生的、未知的知識(shí)領(lǐng)域.

10、演繹推理是數(shù)學(xué)邏輯思維的主要形式，擔(dān)負(fù)著判斷命題真假的重要使命.如果說(shuō)合情推理是以感性思維為主，只需有感而發(fā)；那么演繹推理則是以理性思維為主，要求言必有據(jù).在近幾年高考中一道合情推理的試題往往會(huì)成為一套高考試題的特色與亮點(diǎn)，以彰顯數(shù)學(xué)思維的魅力.其中數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式的歸納、等差數(shù)列與等比數(shù)列、平面與空間、圓錐曲線與圓、楊輝三角等的類比的考查頻率較大.而演繹推理的考查則可以滲透到每一道試題中.14.2直接證明與間接證明典例精析題型一運(yùn)用綜合法證明 【例1】設(shè)a0，b0，ab1，求證：8.【證明】因?yàn)閍b1，所以1122248，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立.【點(diǎn)撥】在用綜合法證明命題時(shí)，必須首先

11、找到正確的出發(fā)點(diǎn)，也就是能想到從哪里起步，我們一般的處理方法是廣泛地聯(lián)想已知條件所具備的各種性質(zhì)，逐層推進(jìn)，從已知逐漸引出結(jié)論.【變式訓(xùn)練1】設(shè)a，b，c0，求證：abc.【證明】因?yàn)閍，b，c0，根據(jù)基本不等式，有b2a，c2b，a2c.三式相加：abc2(abc).即abc.題型二運(yùn)用分析法證明【例2】設(shè)a、b、c為任意三角形三邊長(zhǎng)，Iabc，Sabbcca.求證：I24S.【證明】由I2(abc)2a2b2c22(abbcac)a2b2c22S，故要證I24S，只需證a2b2c22S4S，即a2b2c22S.欲證上式，只需證a2b2c22ab2bc2ca0，即證(a2abac)(b2bc

12、ba)(c2cacb)0，只需證三括號(hào)中的式子均為負(fù)值即可，即證a2abac，b2bcba，c2cacb，即abc，bac，cab，顯然成立，因?yàn)槿切稳我庖贿呅∮谄渌麅蛇呏?故I24S.【點(diǎn)撥】(1)應(yīng)用分析法易于找到思路的起始點(diǎn)，可探求解題途徑.(2)應(yīng)用分析法證明問(wèn)題時(shí)要注意：嚴(yán)格按分析法的語(yǔ)言表達(dá)；下一步是上一步的充分條件.【變式訓(xùn)練2】已知a0，求證：a2.【證明】要證a2，只要證2a.因?yàn)閍0，故只要證(2)2(a)2，即a244a222(a)2，從而只要證2(a)，只要證4(a2)2(a22)，即a22，而該不等式顯然成立，故原不等式成立.題型三運(yùn)用反證法證明【例3】 若x，y

13、都是正實(shí)數(shù)，且xy2.求證：2或2中至少有一個(gè)成立.【證明】假設(shè)2和2都不成立.則2，2同時(shí)成立.因?yàn)閤0且y0，所以1x2y且1y2x，兩式相加得2xy2x2y，所以xy2，這與已知條件xy2相矛盾.因此2與2中至少有一個(gè)成立.【點(diǎn)撥】一般以下題型用反證法：當(dāng)“結(jié)論”的反面比“結(jié)論”本身更簡(jiǎn)單、更具體、更明確；否定命題，唯一性命題，存在性命題，“至多”“至少”型命題；有的肯定形式命題，由于已知或結(jié)論涉及到無(wú)限個(gè)元素，用直接證明形式比較困難因而往往采用反證法.【變式訓(xùn)練3】已知下列三個(gè)方程：x24ax4a30；x2(a1)xa20；x22ax2a0，若至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

14、【解析】假設(shè)三個(gè)方程均無(wú)實(shí)根，則有由(4a)24(4a3)0，得4a24a30，即a；由(a1)24a20，得(a1)(3a1)0，即a1或a；由(2a)24(2a)0，得a(a2)0，即2a0.以上三部分取交集得Ma|a1，則三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根的實(shí)數(shù)a的取值范圍為RM，即a|a或a1.總結(jié)提高分析法與綜合法各有其優(yōu)缺點(diǎn)：分析法是執(zhí)果索因，比較容易尋求解題思路，但敘述繁瑣；綜合法敘述簡(jiǎn)潔，但常常思路阻塞.因此在實(shí)際解題時(shí)，需將兩者結(jié)合起來(lái)運(yùn)用，先用分析法尋求解題思路，再用綜合法簡(jiǎn)潔地?cái)⑹鼋忸}過(guò)程.從邏輯思維的角度看，原命題“pq”與逆否命題“qp”是等價(jià)的，而反證法是相當(dāng)于由“q”推

15、出“p”成立，從而證明了原命題正確.因此在運(yùn)用反證法的證明過(guò)程中要特別注意條件“q”的推理作用.綜合法與分析法在新課標(biāo)中第一次成為獨(dú)立的顯性的課題，預(yù)測(cè)可能有顯性的相關(guān)考試命題.反證法證明的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與已知矛盾，或與假設(shè)矛盾或與定義、公理、公式事實(shí)矛盾等.14.3數(shù)學(xué)歸納法典例精析題型一用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式 【例1】是否存在常數(shù)a、b、c，使等式122232n2(n1)22212an(bn2c)對(duì)于一切nN*都成立？若存在，求出a、b、c并證明；若不存在，試說(shuō)明理由.【解析】 假設(shè)存在a、b、c使122232n2(n1)22212an(bn2c)對(duì)于一切nN

16、*都成立.當(dāng)n1時(shí)，a(bc)1；當(dāng)n2時(shí)，2a(4bc)6；當(dāng)n3時(shí)，3a(9bc)19.解方程組解得證明如下：當(dāng)n1時(shí)，顯然成立；假設(shè)nk(kN*，k1)時(shí)等式成立，即122232k2(k1)22212k(2k21)；則當(dāng)nk1時(shí)，122232k2(k1)2k2(k1)22212k(2k21)(k1)2k2k(2k23k1)(k1)2k(2k1)(k1)(k1)2(k1)(2k24k3)(k1)2(k1)21.因此存在a，b2，c1，使等式對(duì)一切nN*都成立.【點(diǎn)撥】 用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的恒等式時(shí)要弄清等式兩邊的項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)律：由nk到nk1時(shí)等式左右各如何增減，發(fā)生了怎樣的變化

17、.【變式訓(xùn)練1】用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)nN*時(shí)，.【證明】(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，所以等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)等式成立，即有，則當(dāng)nk1時(shí)，所以當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立.由(1)(2)可知，對(duì)一切nN*等式都成立.題型二用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題【例2】 已知f(n)(2n7)3n9，是否存在自然數(shù)m使得任意的nN*，都有m整除f(n)？若存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】 由f(1)36，f(2)108，f(3)360，猜想：f(n)能被36整除，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.(1)當(dāng)n1時(shí)，結(jié)論顯然成立；(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)結(jié)

18、論成立，即f(k)(2k7)3k9能被36整除.則當(dāng)nk1時(shí)，f(k1)(2k9)3k193(2k7)3k918(3k11)，由假設(shè)知3(2k7)3k9能被36 整除，又3k11是偶數(shù)，故18(3k11)也能被36 整除.即nk1時(shí)結(jié)論也成立.故由(1)(2)可知，對(duì)任意正整數(shù)n都有f(n)能被36整除.由f(1)36知36是整除f(n)的最大值.【點(diǎn)撥】 與正整數(shù)n有關(guān)的整除性問(wèn)題也可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明. 在證明nk1結(jié)論也成立時(shí)，要注意“湊形”，即湊出歸納假設(shè)的形式，以便于充分利用歸納假設(shè)的條件.【變式訓(xùn)練2】求證：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，f(n)32n28n9能被64整除.【證明】方法一：當(dāng)n

19、1時(shí)，f(1)348964，命題顯然成立.假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)結(jié)論成立，即f(k)32k28k9能被64整除.由于32(k1)28(k1)99(32k28k9)98k998(k1)99(32k28k9)64(k1)，即f(k1)9f(k)64(k1)，所以nk1時(shí)命題也成立.根據(jù)可知，對(duì)任意的nN*，命題都成立.方法二：當(dāng)n1時(shí)，f(1)348964，命題顯然成立.假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)，f(k)32k28k9能被64整除.由歸納假設(shè)，設(shè)32k28k964m(m為大于1的自然數(shù))，將32k264m8k9代入到f(k1)中得f(k1)9(64m8k9)8(k1)964(9mk1)，

20、所以nk1時(shí)命題也成立.根據(jù)可知，對(duì)任意的nN*，命題都成立.題型三數(shù)學(xué)歸納法在函數(shù)、數(shù)列、不等式證明中的運(yùn)用【例3】(2020山東)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的nN*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)ybxr(b0且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上.(1)求r的值；(2)當(dāng)b2時(shí)，記bn2(log2an1)(nN*)，求證：對(duì)任意的nN*，不等式成立.【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)ybxr(b0且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上，所以Snbnr(b0且b1，b，r均為常數(shù)).當(dāng)n1時(shí)，a1S1br；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1bnrbn1r(b1)bn1.又?jǐn)?shù)列an為等比數(shù)列，故r1且

21、公比為b.(2)當(dāng)b2時(shí)，an2n1，所以bn2(log2an1)2(log22n11)2n(nN*)，所以，于是要證明的不等式為對(duì)任意的nN*成立.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n1時(shí)，顯然成立.假設(shè)當(dāng)nk時(shí)不等式成立，即.則當(dāng)nk1時(shí)，即當(dāng)nk1時(shí)不等式成立，所以原不等式對(duì)任意nN*成立.【點(diǎn)撥】 運(yùn)用歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，需進(jìn)行證明.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)必須要利用歸納假設(shè)的條件，并且靈活運(yùn)用放縮法、基本不等式等數(shù)學(xué)方法. 【變式訓(xùn)練3】設(shè)函數(shù)f(x)ex1(aR).(1)若函數(shù)f(x)在x1處有極值，且函數(shù)g(x)f(x)b在(0，)上有零點(diǎn)，求b的最大值；(2)若f(x)在(1,2)上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)在(1)的條件下，數(shù)列an中a11，an1f(an)f(an)，求|an1an|的最小值.【解析】(1)f(x)ex1，又函數(shù)f(x)在x1處有極值，所以f(1)0，即a1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.g(x)ex1，當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)0，g(x)為減函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)，g(x)0，當(dāng)x(1，)時(shí)g(x)0，g(x)為增函數(shù).所以g(x)在x1時(shí)取得極小值g(1)2b，依題意g(1)0，所以b2