2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題（福建卷含答案）（通用）

1、2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題（福建卷，含答案）第I卷（選擇題 共60分）一、選擇題：本大題共12小題。每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】原式=，故選A。【命題意圖】本題考查三角函數(shù)中兩角差的正弦公式以及特殊角的三角函數(shù)，考查基礎(chǔ)知識，屬保分題。2以拋物線的焦點為圓心,且過坐標(biāo)原點的圓的方程為( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】因為已知拋物線的焦點坐標(biāo)為（1，0），即所求圓的圓心，又圓過原點，所以圓的半徑為，故所求圓的方程為，即，選D。【命題意圖】本題考查拋物線的幾何

2、性質(zhì)以及圓的方程的求法，屬基礎(chǔ)題。3設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,若,則當(dāng)取最小值時,n等于A.6 B.7 C.8 D.9【答案】A【解析】設(shè)該數(shù)列的公差為，則，解得，所以，所以當(dāng)時，取最小值?！久}意圖】本題考查等差數(shù)列的通項公式以及前n項和公式的應(yīng)用，考查二次函數(shù)最值的求法及計算能力。4函數(shù)的零點個數(shù)為 ( )A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】當(dāng)時，令解得；當(dāng)時，令解得，所以已知函數(shù)有兩個零點，選C?！久}意圖】本題考查分段函數(shù)零點的求法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想。5閱讀右圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的值等于（ ）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】由程序框圖

3、可知，該框圖的功能是輸出使和時的的值加1，因為， 所以當(dāng)時，計算到，故輸出的是4，選C?！久}意圖】本題屬新課標(biāo)新增內(nèi)容，考查認(rèn)識程序框圖的基本能力。6如圖,若是長方體被平面截去幾何體后得到的幾何體,其中E為線段上異于的點，F(xiàn)為線段上異于的點，且，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）A. B.四邊形是矩形 C. 是棱柱 D. 是棱臺【答案】D【解析】因為，所以，又平面，所以平面，又平面，平面平面=，所以，故，所以選項A、C正確；因為平面，所以平面，又平面， 故，所以選項B也正確，故選D?！久}意圖】本題考查空間中直線與平面平行、垂直的判定與性質(zhì)，考查同學(xué)們的空間想象能力和邏輯推理能力。7若點O和點分別

4、是雙曲線的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的任意一點,則的取值范圍為 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】因為是已知雙曲線的左焦點，所以，即，所以雙曲線方程為，設(shè)點P，則有，解得，因為，所以=，此二次函數(shù)對應(yīng)的拋物線的對稱軸為，因為，所以當(dāng)時，取得最小值，故的取值范圍是，選B?！久}意圖】本題考查待定系數(shù)法求雙曲線方程，考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算、二次函數(shù)的單調(diào)性與最值等，考查了同學(xué)們對基礎(chǔ)知識的熟練程序以及知識的綜合應(yīng)用能力、運算能力。8設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域是,平面區(qū)域是與關(guān)于直線對稱,對于中的任意一點A與中的任意一點B, 的最小值等于( )A. B.4 C. D.2【

5、答案】B【解析】由題意知，所求的的最小值，即為區(qū)域中的點到直線的距離的最小值的兩倍，畫出已知不等式表示的平面區(qū)域，如圖所示，可看出點（1，1）到直線的距離最小，故的最小值為，所以選B?！久}意圖】本題考查不等式中的線性規(guī)劃以及兩個圖形間最小距離的求解、基本公式（點到直線的距離公式等）的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力。9對于復(fù)數(shù),若集合具有性質(zhì)“對任意,必有”,則當(dāng)時,等于 ( )A.1 B.-1 C.0 D.【答案】B【解析】由題意，可取，所以，選B?！久}意圖】本題屬創(chuàng)新題，考查復(fù)數(shù)與集合的基礎(chǔ)知識。10對于具有相同定義域D的函數(shù)和,若存在函數(shù)為常數(shù)),對任給的正數(shù)m,存在相應(yīng)的,使得當(dāng)且時,總

6、有,則稱直線為曲線和的“分漸近線”.給出定義域均為D=的四組函數(shù)如下:, ; ,;,; ,.其中, 曲線和存在“分漸近線”的是( )A. B. C.D.【答案】C【解析】經(jīng)分析容易得出正確，故選C?！久}意圖】本題屬新題型，考查函數(shù)的相關(guān)知識。二、填空題：11在等比數(shù)列中,若公比,且前3項之和等于21,則該數(shù)列的通項公式 .【答案】【解析】由題意知，解得，所以通項。【命題意圖】本題考查等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題。12若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示,則其表面積等于 .【答案】【解析】由正視圖知：三棱柱是以底面邊長為2，高為1的正三棱柱，所以底面積為，側(cè)面積為，

7、所以其表面積為。【命題意圖】本題考查立體幾何中的三視圖，考查同學(xué)們識圖的能力、空間想象能力等基本能力。13某次知識競賽規(guī)則如下:在主辦方預(yù)設(shè)的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪。假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是，且每個問題的回答結(jié)果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等于 ?！敬鸢浮?.128【解析】由題意知，所求概率為?！久}意圖】本題考查獨立重復(fù)試驗的概率，考查基礎(chǔ)知識的同時，進(jìn)一步考查同學(xué)們的分析問題、解決問題的能力。14已知函數(shù)和的圖象的對稱軸完全相同。若，則的取值范圍是 ?！敬鸢浮俊窘馕觥坑深}意知，因為，所以，由三角函數(shù)圖象知：的

8、最小值為，最大值為，所以的取值范圍是?！久}意圖】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。15已知定義域為的函數(shù)滿足：對任意，恒有成立；當(dāng)時，。給出如下結(jié)論：對任意，有；函數(shù)的值域為；存在，使得；“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的充要條件是 “存在，使得”。其中所有正確結(jié)論的序號是 ?！敬鸢浮俊窘馕觥繉Γ驗?，所以，故正確；經(jīng)分析，容易得出也正確?！久}意圖】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與充要條件，熟練基礎(chǔ)知識是解答好本題的關(guān)鍵。三、解答題：16（本小題滿分13分）設(shè)是不等式的解集，整數(shù)。（1）記使得“成立的有序數(shù)組”為事件A，試列舉A包含的基本事件；（2）設(shè)，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望?！久}意圖

9、】本小題主要考查概率與統(tǒng)計、不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、應(yīng)用意識，考查分類與整合思想、必然與或然思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想?！窘馕觥浚?）由得，即，由于整數(shù)且，所以A包含的基本事件為。（2）由于的所有不同取值為所以的所有不同取值為，且有，故的分布列為0149P所以=。17（本小題滿分13分）已知中心在坐標(biāo)原點O的橢圓C經(jīng)過點A（2，3），且點F（2，0）為其右焦點。（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在平行于OA的直線，使得直線與橢圓C有公共點，且直線OA與的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由。【命題意圖】本小題主要考查直線、橢圓等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力

10、，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想?！窘馕觥浚?）依題意，可設(shè)橢圓C的方程為，且可知左焦點為F（-2，0），從而有，解得，又，所以，故橢圓C的方程為。（2）假設(shè)存在符合題意的直線，其方程為，由得，因為直線與橢圓有公共點，所以有，解得，另一方面，由直線OA與的距離4可得：，從而，由于，所以符合題意的直線不存在。18（本小題滿分13分）如圖，圓柱內(nèi)有一個三棱柱，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O直徑。（）證明：平面平面；（）設(shè)AB=，在圓柱內(nèi)隨機(jī)選取一點，記該點取自于三棱柱內(nèi)的概率為。（i）當(dāng)點C在圓周上運動時，求的最大值；（ii）記平面與平面所成的角為，當(dāng)取最大值時

11、，求的值?！久}意圖】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想?！窘馕觥浚ǎ┮驗槠矫鍭BC，平面ABC，所以，因為AB是圓O直徑，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面。（）（i）設(shè)圓柱的底面半徑為，則AB=，故三棱柱的體積為=，又因為，所以=，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，從而，而圓柱的體積，故=當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最大值是。（ii）由（i）可知，取最大值時，于是以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則C（r，0，0），B（0，r，0

12、），（0，r，2r），因為平面，所以是平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量，由，故，取得平面的一個法向量為，因為，所以。19（本小題滿分13分）。，輪船位于港口O北偏西且與該港口相距20海里的A處，并以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小船沿直線方向以海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇。（1）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？（2）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時，試設(shè)計航行方案（即確定航行方向與航行速度的大?。?，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由?！窘馕觥咳鐖D，由（1）得而小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時，故

13、輪船與小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，設(shè)，OD=，由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時間分別為和，所以，解得，從而值，且最小值為，于是當(dāng)取得最小值，且最小值為。此時，在中，故可設(shè)計航行方案如下：航行方向為北偏東，航行速度為30海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇。20（本小題滿分14分）（）已知函數(shù)，。（i）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（ii）證明：若對于任意非零實數(shù)，曲線C與其在點處的切線交于另一點，曲線C與其在點處的切線交于另一點，線段（）對于一般的三次函數(shù)（）（ii）的正確命題，并予以證明。【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力、運算求解能力、推理

14、論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想?！窘馕觥浚ǎ╥）由得=，當(dāng)和時，；當(dāng)時，因此，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為。（ii）曲線C與其在點處的切線方程為得，即，解得，進(jìn)而有，用代替，重復(fù)上述計算過程，可得和，又，所以因此有。（）記函數(shù)的圖象為曲線，類似于（）（ii）的正確命題為：若對任意不等式的實數(shù)，曲線與其在點處的切線交于另一點，曲線C與其在點處的切線交于另一點，線段證明如下：因為平移變換不改變面積的大小，故可將曲線的對稱中心平移至坐標(biāo)原點，因而不妨設(shè)，類似（i）（ii）的計算可得，故。21本題設(shè)有（1）（2）（3）三個選考題，每題7分，請考生任選

15、2題做答，滿分14分。如果多做，則按所做的前兩題計分。作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑，并將所選題號填入括號中。（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換已知矩陣M=，且，（）求實數(shù)的值；（）求直線在矩陣M所對應(yīng)的線性變換下的像的方程。（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xoy中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）。在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xoy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為。（）求圓C的直角坐標(biāo)方程；（）設(shè)圓C與直線交于點A、B，若點P的坐標(biāo)為，求|PA|+|PB|。（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)。（）若不等式的解集為，求實數(shù)的值；（）在（）的條件下，若對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。（1）選修4-2：矩陣與變換【命題意圖】本小題主要考查矩陣與變換等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力。【解析】（）由題設(shè)得，解得；（）因為矩陣M所對應(yīng)的線性變換將直線變成直線（或點），所以可取直線上的兩（0，0），（1，3），由，得：點（0，0），（1，3）在矩陣M所對應(yīng)的線性變換下的像是（0，0），（-2，2），從而直線在矩陣M所對應(yīng)的線性變換下的像的方程為。（2）選