2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題（福建卷含答案）（通用）

1、2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題（福建卷，含答案）第I卷（選擇題 共60分）一、選擇題：本大題共12小題。每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】原式=，故選A?！久}意圖】本題考查三角函數(shù)中兩角差的正弦公式以及特殊角的三角函數(shù)，考查基礎(chǔ)知識(shí)，屬保分題。2以拋物線的焦點(diǎn)為圓心,且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】因?yàn)橐阎獟佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），即所求圓的圓心，又圓過原點(diǎn)，所以圓的半徑為，故所求圓的方程為，即，選D?！久}意圖】本題考查拋物線的幾何

2、性質(zhì)以及圓的方程的求法，屬基礎(chǔ)題。3設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則當(dāng)取最小值時(shí),n等于A.6 B.7 C.8 D.9【答案】A【解析】設(shè)該數(shù)列的公差為，則，解得，所以，所以當(dāng)時(shí)，取最小值?！久}意圖】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查二次函數(shù)最值的求法及計(jì)算能力。4函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ( )A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，令解得；當(dāng)時(shí)，令解得，所以已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，選C。【命題意圖】本題考查分段函數(shù)零點(diǎn)的求法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想。5閱讀右圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的值等于（ ）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】由程序框圖

3、可知，該框圖的功能是輸出使和時(shí)的的值加1，因?yàn)椋?所以當(dāng)時(shí)，計(jì)算到，故輸出的是4，選C。【命題意圖】本題屬新課標(biāo)新增內(nèi)容，考查認(rèn)識(shí)程序框圖的基本能力。6如圖,若是長(zhǎng)方體被平面截去幾何體后得到的幾何體,其中E為線段上異于的點(diǎn)，F(xiàn)為線段上異于的點(diǎn)，且，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）A. B.四邊形是矩形 C. 是棱柱 D. 是棱臺(tái)【答案】D【解析】因?yàn)椋?，又平面，所以平面，又平面，平面平?，所以，故，所以選項(xiàng)A、C正確；因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面?故，所以選項(xiàng)B也正確，故選D?！久}意圖】本題考查空間中直線與平面平行、垂直的判定與性質(zhì)，考查同學(xué)們的空間想象能力和邏輯推理能力。7若點(diǎn)O和點(diǎn)分別

4、是雙曲線的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),則的取值范圍為 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】因?yàn)槭且阎p曲線的左焦點(diǎn)，所以，即，所以雙曲線方程為，設(shè)點(diǎn)P，則有，解得，因?yàn)椋?，此二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸為，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，故的取值范圍是，選B?！久}意圖】本題考查待定系數(shù)法求雙曲線方程，考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性與最值等，考查了同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的熟練程序以及知識(shí)的綜合應(yīng)用能力、運(yùn)算能力。8設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域是,平面區(qū)域是與關(guān)于直線對(duì)稱,對(duì)于中的任意一點(diǎn)A與中的任意一點(diǎn)B, 的最小值等于( )A. B.4 C. D.2【

5、答案】B【解析】由題意知，所求的的最小值，即為區(qū)域中的點(diǎn)到直線的距離的最小值的兩倍，畫出已知不等式表示的平面區(qū)域，如圖所示，可看出點(diǎn)（1，1）到直線的距離最小，故的最小值為，所以選B。【命題意圖】本題考查不等式中的線性規(guī)劃以及兩個(gè)圖形間最小距離的求解、基本公式（點(diǎn)到直線的距離公式等）的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力。9對(duì)于復(fù)數(shù),若集合具有性質(zhì)“對(duì)任意,必有”,則當(dāng)時(shí),等于 ( )A.1 B.-1 C.0 D.【答案】B【解析】由題意，可取，所以，選B?！久}意圖】本題屬創(chuàng)新題，考查復(fù)數(shù)與集合的基礎(chǔ)知識(shí)。10對(duì)于具有相同定義域D的函數(shù)和,若存在函數(shù)為常數(shù)),對(duì)任給的正數(shù)m,存在相應(yīng)的,使得當(dāng)且時(shí),總

6、有,則稱直線為曲線和的“分漸近線”.給出定義域均為D=的四組函數(shù)如下:, ; ,;,; ,.其中, 曲線和存在“分漸近線”的是( )A. B. C.D.【答案】C【解析】經(jīng)分析容易得出正確，故選C?！久}意圖】本題屬新題型，考查函數(shù)的相關(guān)知識(shí)。二、填空題：11在等比數(shù)列中,若公比,且前3項(xiàng)之和等于21,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式 .【答案】【解析】由題意知，解得，所以通項(xiàng)?！久}意圖】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題。12若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示,則其表面積等于 .【答案】【解析】由正視圖知：三棱柱是以底面邊長(zhǎng)為2，高為1的正三棱柱，所以底面積為，側(cè)面積為，

7、所以其表面積為。【命題意圖】本題考查立體幾何中的三視圖，考查同學(xué)們識(shí)圖的能力、空間想象能力等基本能力。13某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下:在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個(gè)問題，即停止答題，晉級(jí)下一輪。假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問題的概率都是，且每個(gè)問題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個(gè)問題就晉級(jí)下一輪的概率等于 ?！敬鸢浮?.128【解析】由題意知，所求概率為?！久}意圖】本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率，考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，進(jìn)一步考查同學(xué)們的分析問題、解決問題的能力。14已知函數(shù)和的圖象的對(duì)稱軸完全相同。若，則的取值范圍是 ?！敬鸢浮俊窘馕觥坑深}意知，因?yàn)?，所以，由三角函?shù)圖象知：的

8、最小值為，最大值為，所以的取值范圍是?！久}意圖】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。15已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：對(duì)任意，恒有成立；當(dāng)時(shí)，。給出如下結(jié)論：對(duì)任意，有；函數(shù)的值域?yàn)椋淮嬖?，使得；“函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的充要條件是 “存在，使得”。其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ?！敬鸢浮俊窘馕觥繉?duì)，因?yàn)?，所以，故正確；經(jīng)分析，容易得出也正確?！久}意圖】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與充要條件，熟練基礎(chǔ)知識(shí)是解答好本題的關(guān)鍵。三、解答題：16（本小題滿分13分）設(shè)是不等式的解集，整數(shù)。（1）記使得“成立的有序數(shù)組”為事件A，試列舉A包含的基本事件；（2）設(shè)，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望?！久}意圖

9、】本小題主要考查概率與統(tǒng)計(jì)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)，考查分類與整合思想、必然與或然思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想?！窘馕觥浚?）由得，即，由于整數(shù)且，所以A包含的基本事件為。（2）由于的所有不同取值為所以的所有不同取值為，且有，故的分布列為0149P所以=。17（本小題滿分13分）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），且點(diǎn)F（2，0）為其右焦點(diǎn)。（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在平行于OA的直線，使得直線與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由?！久}意圖】本小題主要考查直線、橢圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力

10、，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想?！窘馕觥浚?）依題意，可設(shè)橢圓C的方程為，且可知左焦點(diǎn)為F（-2，0），從而有，解得，又，所以，故橢圓C的方程為。（2）假設(shè)存在符合題意的直線，其方程為，由得，因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)，所以有，解得，另一方面，由直線OA與的距離4可得：，從而，由于，所以符合題意的直線不存在。18（本小題滿分13分）如圖，圓柱內(nèi)有一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O直徑。（）證明：平面平面；（）設(shè)AB=，在圓柱內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于三棱柱內(nèi)的概率為。（i）當(dāng)點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最大值；（ii）記平面與平面所成的角為，當(dāng)取最大值時(shí)

11、，求的值?！久}意圖】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想?！窘馕觥浚ǎ┮?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以，因?yàn)锳B是圓O直徑，所以，又，所以平面，而平面，所以平面平面。（）（i）設(shè)圓柱的底面半徑為，則AB=，故三棱柱的體積為=，又因?yàn)椋?，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，從而，而圓柱的體積，故=當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值是。（ii）由（i）可知，取最大值時(shí)，于是以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則C（r，0，0），B（0，r，0

12、），（0，r，2r），因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量，由，故，取得平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以?9（本小題滿分13分）。，輪船位于港口O北偏西且與該港口相距20海里的A處，并以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小船沿直線方向以海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇。（1）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？（2）假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向與航行速度的大?。?，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由?！窘馕觥咳鐖D，由（1）得而小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，故

13、輪船與小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，設(shè)，OD=，由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時(shí)間分別為和，所以，解得，從而值，且最小值為，于是當(dāng)取得最小值，且最小值為。此時(shí)，在中，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇。20（本小題滿分14分）（）已知函數(shù)，。（i）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（ii）證明：若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，曲線C與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，曲線C與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，線段（）對(duì)于一般的三次函數(shù)（）（ii）的正確命題，并予以證明?！久}意圖】本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、推理

14、論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想?！窘馕觥浚ǎ╥）由得=，當(dāng)和時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為。（ii）曲線C與其在點(diǎn)處的切線方程為得，即，解得，進(jìn)而有，用代替，重復(fù)上述計(jì)算過程，可得和，又，所以因此有。（）記函數(shù)的圖象為曲線，類似于（）（ii）的正確命題為：若對(duì)任意不等式的實(shí)數(shù)，曲線與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，曲線C與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，線段證明如下：因?yàn)槠揭谱儞Q不改變面積的大小，故可將曲線的對(duì)稱中心平移至坐標(biāo)原點(diǎn)，因而不妨設(shè)，類似（i）（ii）的計(jì)算可得，故。21本題設(shè)有（1）（2）（3）三個(gè)選考題，每題7分，請(qǐng)考生任選

15、2題做答，滿分14分。如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分。作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中。（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換已知矩陣M=，且，（）求實(shí)數(shù)的值；（）求直線在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換下的像的方程。（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xoy中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）。在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xoy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為。（）求圓C的直角坐標(biāo)方程；（）設(shè)圓C與直線交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求|PA|+|PB|。（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)。（）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；（）在（）的條件下，若對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。（1）選修4-2：矩陣與變換【命題意圖】本小題主要考查矩陣與變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力?！窘馕觥浚ǎ┯深}設(shè)得，解得；（）因?yàn)榫仃嘙所對(duì)應(yīng)的線性變換將直線變成直線（或點(diǎn)），所以可取直線上的兩（0，0），（1，3），由，得：點(diǎn)（0，0），（1，3）在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換下的像是（0，0），（-2，2），從而直線在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換下的像的方程為。（2）選