2020年普通高等等學校招生全國統(tǒng)一考試(湖南卷)數(shù)學理Word版（通用）

1、2020年普通高等等學校招生全國統(tǒng)一考試(湖南卷)數(shù)學（理工農(nóng)醫(yī)類）一、 選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1 若a0，1，則 (D)Aa1,b0 Ba1,b0 C. 0a1, b0 D. 0a1, b02對于非0向時a,b,“a/b”的確良 （A）A充分不必要條件 B. 必要不充分條件C充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件3將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移0 2的單位后，得到函數(shù)y=sin的圖象，則等于 （D）A B C. D.4如圖1，當參數(shù)時，連續(xù)函數(shù) 的圖像分別對應曲線和 , 則 BA B C D 5.從10名大學生畢

2、業(yè)生中選3個人擔任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)位 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m CA 85 B 56 C 49 D 28 6. 已知D是由不等式組，所確定的平面區(qū)域，則圓 在區(qū)域D內(nèi)的弧長為 BA B C D7正方體ABCD的棱上到異面直線AB，C的距離相等的點的個數(shù)為（C）A2 B3 C. 4 D. 5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8.設函數(shù)在（，+）內(nèi)有定義。對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù) 取函數(shù)=。若對任意的，恒有=，則w.w.w.k.s.5.u.c.o.m AK的最大值為2 B. K的最小值為2CK的最大值為1 D. K的最小值為1

3、【D】二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上9某班共30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛兵乓球運動，8人對這兩項運動都不喜愛，則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)為_12_10在的展開式中，的系數(shù)為_7_(用數(shù)字作答)11、若x(0, )則2tanx+tan(-x)的最小值為2. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12、已知以雙曲線C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為原點的四邊形中，有一個內(nèi)角為60 ，則雙曲線C的離心率為13、一個總體分為A，B兩層，其個體數(shù)之比為4：1，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本，已知B層中甲、乙都

4、被抽到的概率為，則總體中的個數(shù)數(shù)位 50 。14、在半徑為13的球面上有A , B, C 三點，AB=6，BC=8，CA=10，則w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1）球心到平面ABC的距離為 12 ；（2）過，B兩點的大圓面為平面ABC所成二面角為（銳角）的正切值為 3 15、將正ABC分割成（2，nN）個全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形），在每個三角形的頂點各放置一個數(shù)，使位于ABC的三遍及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當數(shù)的個數(shù)不少于3時）都分別一次成等差數(shù)列，若頂點A ,B ,C處的三個數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點上的數(shù)之和為f(n)，則有f(2)=2，f

5、(3)= ，f(n)= (n+1)(n+2)三解答題：本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16.（本小題滿分12分）在，已知，求角A，B，C的大小。解：設由得，所以又因此 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由得，于是所以，因此，既由A=知，所以，從而或，既或故或。17.（本小題滿分12分）為拉動經(jīng)濟增長，某市決定新建一批重點工程，分別為基礎設施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設工程三類，這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的.、，現(xiàn)在3名工人獨立地從中任選一個項目參與建設。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）求他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率；（II）記為

6、3人中選擇的項目屬于基礎設施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設工程的人數(shù)，求 的分布列及數(shù)學期望。解:記第1名工人選擇的項目屬于基礎設施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設工程分別為事件 ,，i=1，2，3.由題意知相互獨立，相互獨立，相互獨立，,（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互獨立，且P（）=，P（）=，P（）=（1） 他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率P=3！P（）=6P（）P（）P（）=6=(2) 解法1 設3名工人中選擇的項目屬于民生工程的人數(shù)為，由己已知，-B（3，），且=3。所以P（=0）=P（=3）=， P（=1）=P（=2）= = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m P（=

7、2）=P（=1）=P（=3）=P（=0）= = 故的分布是0123P的數(shù)學期望E=0+1+2+3=2解法2 第i名工人選擇的項目屬于基礎工程或產(chǎn)業(yè)工程分別為事件，i=1,2,3 ，由此已知，D，相互獨立，且P（）-（，）= P（）+P（）=+=所以-,既， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故的分布列是12318.（本小題滿分12分）如圖4，在正三棱柱中，D是的中點，點E在上，且。（I） 證明平面平面（II） 求直線和平面所成角的正弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解 （I） 如圖所示，由正三棱柱的性質(zhì)知平面又DE平面ABC，所以DEAA.而DEAE。AAAE=A 所以DE平

8、面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。（2）解法1 如圖所示，設F使AB的中點，連接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- ABC的性質(zhì)及D是AB的中點知ABCD， ABDF w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又CDDF=D，所以AB平面CDF，而ABAB，所以AB平面CDF，又AB平面ABC，故平面AB C平面CDF。過點D做DH垂直CF于點H，則DH平面AB C。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 連接AH，則HAD是AD和平面ABC所成的角。由已知AB=A A，不妨設A A=，則AB=2，DF=，D C=，CF=，AD=，DH=，所以 sinHAD=。即直線

9、AD和平面AB C所成角的正弦值為。解法2 如圖所示，設O使AC的中點，以O為原點建立空間直角坐標系，不妨設A A=，則AB=2，相關各點的坐標分別是A(0,-1,0)， B（，0，0）， C（0，1，）， D（，-，）。易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 設平面ABC的法向量為n=（x，y，z）,則有解得x=-y， z=-，故可取n=(1，-，)。所以，(n)=。由此即知，直線AD和平面AB C所成角的正弦值為。19.（本小題滿分13分）某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預測，一個

10、橋墩的工程費用為256萬元，距離為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為萬元。假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為萬元。 （）試寫出關于的函數(shù)關系式； （）當=640米時，需新建多少個橋墩才能使最??？解 （）設需要新建個橋墩，所以 （） 由（）知， 令，得，所以=64 當064時0. 在區(qū)間（64，640）內(nèi)為增函數(shù)，所以在=64處取得最小值，此時，故需新建9個橋墩才能使最小。20（本小題滿分13分）在平面直角坐標系xOy中，點P到點F（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當P點運動時，d恒等于點P的橫坐標與18之和w.w.w.k.s.5

11、.u.c.o.m （）求點P的軌跡C； （）設過點F的直線I與軌跡C相交于M，N兩點，求線段MN長度的最大值。 解（）設點P的坐標為（x，y），則3x-2由題設 當x2時，由得 化簡得 當時 由得 化簡得 故點P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側部分與拋物線在直線x=2的左側部分（包括它與直線x=2的交點）所組成的曲線，參見圖1（）如圖2所示，易知直線x=2與，的交點都是A（2，），B（2，），直線AF，BF的斜率分別為=，=.當點P在上時，由知. 當點P在上時，由知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為（i）當k，或k，即k-2 時，直線I與軌跡C的兩個

12、交點M（，），N（，）都在C 上，此時由知MF= 6 - NF= 6 - w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 從而MN= MF+ NF= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( +)由 得 則，是這個方程的兩根，所以+=*MN=12 - （+）=12 - 因為當 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當且僅當時，等號成立。（2）當時，直線L與軌跡C的兩個交點 分別在上，不妨設點在上，點上，則知， 設直線AF與橢圓的另一交點為E 所以。而點A，E都在上，且 有（1）知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若直線的斜率不存在，則=3，此時綜上所述，線段MN長度的最大值為21.（本小題

13、滿分13分）對于數(shù)列若存在常數(shù)M0,對任意的，恒有 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 則稱數(shù)列為B-數(shù)列（1） 首項為1，公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請說明理由;請以其中一組的一個論斷條件，另一組中的一個論斷為結論組成一個命題判斷所給命題的真假，并證明你的結論；（2） 設是數(shù)列的前項和，給出下列兩組論斷；A組：數(shù)列是B-數(shù)列 數(shù)列不是B-數(shù)列B組：數(shù)列是B-數(shù)列 數(shù)列不是B-數(shù)列請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結論組成一個命題。判斷所給命題的真假，并證明你的結論；（3） 若數(shù)列都是數(shù)列，證明：數(shù)列也是數(shù)列。解（1）設滿足題設的等比數(shù)列為,則，于是 因此- +-+-=因為所以即w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故首項為1，公比為的等比數(shù)列是B-數(shù)列。（2）命題1：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列 次命題為假命題。 事實上，設