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1、2020年普通高等等學校招生全國統(tǒng)一考試(湖南卷)數(shù)學(理工農(nóng)醫(yī)類)一、 選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1 若a0,1,則 (D)Aa1,b0 Ba1,b0 C. 0a1, b0 D. 0a1, b02對于非0向時a,b,“a/b”的確良 (A)A充分不必要條件 B. 必要不充分條件C充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件3將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移0 2的單位后,得到函數(shù)y=sin的圖象,則等于 (D)A B C. D.4如圖1,當參數(shù)時,連續(xù)函數(shù) 的圖像分別對應曲線和 , 則 BA B C D 5.從10名大學生畢

2、業(yè)生中選3個人擔任村長助理,則甲、乙至少有1人入選,而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)位 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m CA 85 B 56 C 49 D 28 6. 已知D是由不等式組,所確定的平面區(qū)域,則圓 在區(qū)域D內(nèi)的弧長為 BA B C D7正方體ABCD的棱上到異面直線AB,C的距離相等的點的個數(shù)為(C)A2 B3 C. 4 D. 5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8.設函數(shù)在(,+)內(nèi)有定義。對于給定的正數(shù)K,定義函數(shù) 取函數(shù)=。若對任意的,恒有=,則w.w.w.k.s.5.u.c.o.m AK的最大值為2 B. K的最小值為2CK的最大值為1 D. K的最小值為1

3、【D】二、填空題:本大題共7小題,每小題5分,共35分,把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上9某班共30人,其中15人喜愛籃球運動,10人喜愛兵乓球運動,8人對這兩項運動都不喜愛,則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)為_12_10在的展開式中,的系數(shù)為_7_(用數(shù)字作答)11、若x(0, )則2tanx+tan(-x)的最小值為2. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12、已知以雙曲線C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為原點的四邊形中,有一個內(nèi)角為60 ,則雙曲線C的離心率為13、一個總體分為A,B兩層,其個體數(shù)之比為4:1,用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本,已知B層中甲、乙都

4、被抽到的概率為,則總體中的個數(shù)數(shù)位 50 。14、在半徑為13的球面上有A , B, C 三點,AB=6,BC=8,CA=10,則w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (1)球心到平面ABC的距離為 12 ;(2)過,B兩點的大圓面為平面ABC所成二面角為(銳角)的正切值為 3 15、將正ABC分割成(2,nN)個全等的小正三角形(圖2,圖3分別給出了n=2,3的情形),在每個三角形的頂點各放置一個數(shù),使位于ABC的三遍及平行于某邊的任一直線上的數(shù)(當數(shù)的個數(shù)不少于3時)都分別一次成等差數(shù)列,若頂點A ,B ,C處的三個數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點上的數(shù)之和為f(n),則有f(2)=2,f

5、(3)= ,f(n)= (n+1)(n+2)三解答題:本大題共6小題,共75分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16.(本小題滿分12分)在,已知,求角A,B,C的大小。解:設由得,所以又因此 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由得,于是所以,因此,既由A=知,所以,從而或,既或故或。17.(本小題滿分12分)為拉動經(jīng)濟增長,某市決定新建一批重點工程,分別為基礎設施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設工程三類,這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的.、,現(xiàn)在3名工人獨立地從中任選一個項目參與建設。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (I)求他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率;(II)記為

6、3人中選擇的項目屬于基礎設施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設工程的人數(shù),求 的分布列及數(shù)學期望。解:記第1名工人選擇的項目屬于基礎設施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設工程分別為事件 ,,i=1,2,3.由題意知相互獨立,相互獨立,相互獨立,,(i,j,k=1,2,3,且i,j,k互不相同)相互獨立,且P()=,P()=,P()=(1) 他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率P=3!P()=6P()P()P()=6=(2) 解法1 設3名工人中選擇的項目屬于民生工程的人數(shù)為,由己已知,-B(3,),且=3。所以P(=0)=P(=3)=, P(=1)=P(=2)= = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m P(=

7、2)=P(=1)=P(=3)=P(=0)= = 故的分布是0123P的數(shù)學期望E=0+1+2+3=2解法2 第i名工人選擇的項目屬于基礎工程或產(chǎn)業(yè)工程分別為事件,i=1,2,3 ,由此已知,D,相互獨立,且P()-(,)= P()+P()=+=所以-,既, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故的分布列是12318.(本小題滿分12分)如圖4,在正三棱柱中,D是的中點,點E在上,且。(I) 證明平面平面(II) 求直線和平面所成角的正弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解 (I) 如圖所示,由正三棱柱的性質(zhì)知平面又DE平面ABC,所以DEAA.而DEAE。AAAE=A 所以DE平

8、面AC CA,又DE平面ADE,故平面ADE平面AC CA。(2)解法1 如圖所示,設F使AB的中點,連接DF、DC、CF,由正三棱柱ABC- ABC的性質(zhì)及D是AB的中點知ABCD, ABDF w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又CDDF=D,所以AB平面CDF,而ABAB,所以AB平面CDF,又AB平面ABC,故平面AB C平面CDF。過點D做DH垂直CF于點H,則DH平面AB C。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 連接AH,則HAD是AD和平面ABC所成的角。由已知AB=A A,不妨設A A=,則AB=2,DF=,D C=,CF=,AD=,DH=,所以 sinHAD=。即直線

9、AD和平面AB C所成角的正弦值為。解法2 如圖所示,設O使AC的中點,以O為原點建立空間直角坐標系,不妨設A A=,則AB=2,相關各點的坐標分別是A(0,-1,0), B(,0,0), C(0,1,), D(,-,)。易知=(,1,0), =(0,2,), =(,-,)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 設平面ABC的法向量為n=(x,y,z),則有解得x=-y, z=-,故可取n=(1,-,)。所以,(n)=。由此即知,直線AD和平面AB C所成角的正弦值為。19.(本小題滿分13分)某地建一座橋,兩端的橋墩已建好,這兩墩相距米,余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩,經(jīng)預測,一個

10、橋墩的工程費用為256萬元,距離為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為萬元。假設橋墩等距離分布,所有橋墩都視為點,且不考慮其他因素,記余下工程的費用為萬元。 ()試寫出關于的函數(shù)關系式; ()當=640米時,需新建多少個橋墩才能使最???解 ()設需要新建個橋墩,所以 () 由()知, 令,得,所以=64 當064時0. 在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù),所以在=64處取得最小值,此時,故需新建9個橋墩才能使最小。20(本小題滿分13分)在平面直角坐標系xOy中,點P到點F(3,0)的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d,當P點運動時,d恒等于點P的橫坐標與18之和w.w.w.k.s.5

11、.u.c.o.m ()求點P的軌跡C; ()設過點F的直線I與軌跡C相交于M,N兩點,求線段MN長度的最大值。 解()設點P的坐標為(x,y),則3x-2由題設 當x2時,由得 化簡得 當時 由得 化簡得 故點P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側部分與拋物線在直線x=2的左側部分(包括它與直線x=2的交點)所組成的曲線,參見圖1()如圖2所示,易知直線x=2與,的交點都是A(2,),B(2,),直線AF,BF的斜率分別為=,=.當點P在上時,由知. 當點P在上時,由知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若直線l的斜率k存在,則直線l的方程為(i)當k,或k,即k-2 時,直線I與軌跡C的兩個

12、交點M(,),N(,)都在C 上,此時由知MF= 6 - NF= 6 - w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 從而MN= MF+ NF= (6 - )+ (6 - )=12 - ( +)由 得 則,是這個方程的兩根,所以+=*MN=12 - (+)=12 - 因為當 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當且僅當時,等號成立。(2)當時,直線L與軌跡C的兩個交點 分別在上,不妨設點在上,點上,則知, 設直線AF與橢圓的另一交點為E 所以。而點A,E都在上,且 有(1)知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若直線的斜率不存在,則=3,此時綜上所述,線段MN長度的最大值為21.(本小題

13、滿分13分)對于數(shù)列若存在常數(shù)M0,對任意的,恒有 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 則稱數(shù)列為B-數(shù)列(1) 首項為1,公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列?請說明理由;請以其中一組的一個論斷條件,另一組中的一個論斷為結論組成一個命題判斷所給命題的真假,并證明你的結論;(2) 設是數(shù)列的前項和,給出下列兩組論斷;A組:數(shù)列是B-數(shù)列 數(shù)列不是B-數(shù)列B組:數(shù)列是B-數(shù)列 數(shù)列不是B-數(shù)列請以其中一組中的一個論斷為條件,另一組中的一個論斷為結論組成一個命題。判斷所給命題的真假,并證明你的結論;(3) 若數(shù)列都是數(shù)列,證明:數(shù)列也是數(shù)列。解(1)設滿足題設的等比數(shù)列為,則,于是 因此- +-+-=因為所以即w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故首項為1,公比為的等比數(shù)列是B-數(shù)列。(2)命題1:若數(shù)列是B-數(shù)列,則數(shù)列是B-數(shù)列 次命題為假命題。 事實上,設

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