2020年普通高等等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(湖南卷)數(shù)學(xué)理Word版（通用）

1、2020年普通高等等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(湖南卷)數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）一、 選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1 若a0，1，則 (D)Aa1,b0 Ba1,b0 C. 0a1, b0 D. 0a1, b02對(duì)于非0向時(shí)a,b,“a/b”的確良 （A）A充分不必要條件 B. 必要不充分條件C充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件3將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移0 2的單位后，得到函數(shù)y=sin的圖象，則等于 （D）A B C. D.4如圖1，當(dāng)參數(shù)時(shí)，連續(xù)函數(shù) 的圖像分別對(duì)應(yīng)曲線和 , 則 BA B C D 5.從10名大學(xué)生畢

2、業(yè)生中選3個(gè)人擔(dān)任村長(zhǎng)助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)位 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m CA 85 B 56 C 49 D 28 6. 已知D是由不等式組，所確定的平面區(qū)域，則圓 在區(qū)域D內(nèi)的弧長(zhǎng)為 BA B C D7正方體ABCD的棱上到異面直線AB，C的距離相等的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（C）A2 B3 C. 4 D. 5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8.設(shè)函數(shù)在（，+）內(nèi)有定義。對(duì)于給定的正數(shù)K，定義函數(shù) 取函數(shù)=。若對(duì)任意的，恒有=，則w.w.w.k.s.5.u.c.o.m AK的最大值為2 B. K的最小值為2CK的最大值為1 D. K的最小值為1

3、【D】二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上9某班共30人，其中15人喜愛籃球運(yùn)動(dòng)，10人喜愛兵乓球運(yùn)動(dòng)，8人對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜愛，則喜愛籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為_12_10在的展開式中，的系數(shù)為_7_(用數(shù)字作答)11、若x(0, )則2tanx+tan(-x)的最小值為2. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12、已知以雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)及虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)為原點(diǎn)的四邊形中，有一個(gè)內(nèi)角為60 ，則雙曲線C的離心率為13、一個(gè)總體分為A，B兩層，其個(gè)體數(shù)之比為4：1，用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本，已知B層中甲、乙都

4、被抽到的概率為，則總體中的個(gè)數(shù)數(shù)位 50 。14、在半徑為13的球面上有A , B, C 三點(diǎn)，AB=6，BC=8，CA=10，則w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1）球心到平面ABC的距離為 12 ；（2）過，B兩點(diǎn)的大圓面為平面ABC所成二面角為（銳角）的正切值為 3 15、將正ABC分割成（2，nN）個(gè)全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形），在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于ABC的三遍及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí)）都分別一次成等差數(shù)列，若頂點(diǎn)A ,B ,C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n)，則有f(2)=2，f

5、(3)= ，f(n)= (n+1)(n+2)三解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16.（本小題滿分12分）在，已知，求角A，B，C的大小。解：設(shè)由得，所以又因此 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由得，于是所以，因此，既由A=知，所以，從而或，既或故或。17.（本小題滿分12分）為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，某市決定新建一批重點(diǎn)工程，分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類，這三類工程所含項(xiàng)目的個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的.、，現(xiàn)在3名工人獨(dú)立地從中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè)。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）求他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率；（II）記為

6、3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望。解:記第1名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件 ,，i=1，2，3.由題意知相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，,（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互獨(dú)立，且P（）=，P（）=，P（）=（1） 他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率P=3！P（）=6P（）P（）P（）=6=(2) 解法1 設(shè)3名工人中選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的人數(shù)為，由己已知，-B（3，），且=3。所以P（=0）=P（=3）=， P（=1）=P（=2）= = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m P（=

7、2）=P（=1）=P（=3）=P（=0）= = 故的分布是0123P的數(shù)學(xué)期望E=0+1+2+3=2解法2 第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)工程或產(chǎn)業(yè)工程分別為事件，i=1,2,3 ，由此已知，D，相互獨(dú)立，且P（）-（，）= P（）+P（）=+=所以-,既， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故的分布列是12318.（本小題滿分12分）如圖4，在正三棱柱中，D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且。（I） 證明平面平面（II） 求直線和平面所成角的正弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解 （I） 如圖所示，由正三棱柱的性質(zhì)知平面又DE平面ABC，所以DEAA.而DEAE。AAAE=A 所以DE平

8、面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。（2）解法1 如圖所示，設(shè)F使AB的中點(diǎn)，連接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- ABC的性質(zhì)及D是AB的中點(diǎn)知ABCD， ABDF w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又CDDF=D，所以AB平面CDF，而ABAB，所以AB平面CDF，又AB平面ABC，故平面AB C平面CDF。過點(diǎn)D做DH垂直CF于點(diǎn)H，則DH平面AB C。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 連接AH，則HAD是AD和平面ABC所成的角。由已知AB=A A，不妨設(shè)A A=，則AB=2，DF=，D C=，CF=，AD=，DH=，所以 sinHAD=。即直線

9、AD和平面AB C所成角的正弦值為。解法2 如圖所示，設(shè)O使AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)A A=，則AB=2，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0,-1,0)， B（，0，0）， C（0，1，）， D（，-，）。易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 設(shè)平面ABC的法向量為n=（x，y，z）,則有解得x=-y， z=-，故可取n=(1，-，)。所以，(n)=。由此即知，直線AD和平面AB C所成角的正弦值為。19.（本小題滿分13分）某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測(cè)，一個(gè)

10、橋墩的工程費(fèi)用為256萬元，距離為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為萬元。假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余下工程的費(fèi)用為萬元。 （）試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式； （）當(dāng)=640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使最??？解 （）設(shè)需要新建個(gè)橋墩，所以 （） 由（）知， 令，得，所以=64 當(dāng)064時(shí)0. 在區(qū)間（64，640）內(nèi)為增函數(shù)，所以在=64處取得最小值，此時(shí)，故需新建9個(gè)橋墩才能使最小。20（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到點(diǎn)F（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，d恒等于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與18之和w.w.w.k.s.5

11、.u.c.o.m （）求點(diǎn)P的軌跡C； （）設(shè)過點(diǎn)F的直線I與軌跡C相交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN長(zhǎng)度的最大值。 解（）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則3x-2由題設(shè) 當(dāng)x2時(shí)，由得 化簡(jiǎn)得 當(dāng)時(shí) 由得 化簡(jiǎn)得 故點(diǎn)P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側(cè)部分與拋物線在直線x=2的左側(cè)部分（包括它與直線x=2的交點(diǎn)）所組成的曲線，參見圖1（）如圖2所示，易知直線x=2與，的交點(diǎn)都是A（2，），B（2，），直線AF，BF的斜率分別為=，=.當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，由知. 當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，由知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為（i）當(dāng)k，或k，即k-2 時(shí)，直線I與軌跡C的兩個(gè)

12、交點(diǎn)M（，），N（，）都在C 上，此時(shí)由知MF= 6 - NF= 6 - w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 從而MN= MF+ NF= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( +)由 得 則，是這個(gè)方程的兩根，所以+=*MN=12 - （+）=12 - 因?yàn)楫?dāng) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。（2）當(dāng)時(shí)，直線L與軌跡C的兩個(gè)交點(diǎn) 分別在上，不妨設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)上，則知， 設(shè)直線AF與橢圓的另一交點(diǎn)為E 所以。而點(diǎn)A，E都在上，且 有（1）知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 若直線的斜率不存在，則=3，此時(shí)綜上所述，線段MN長(zhǎng)度的最大值為21.（本小題

13、滿分13分）對(duì)于數(shù)列若存在常數(shù)M0,對(duì)任意的，恒有 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 則稱數(shù)列為B-數(shù)列（1） 首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請(qǐng)說明理由;請(qǐng)以其中一組的一個(gè)論斷條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；（2） 設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，給出下列兩組論斷；A組：數(shù)列是B-數(shù)列 數(shù)列不是B-數(shù)列B組：數(shù)列是B-數(shù)列 數(shù)列不是B-數(shù)列請(qǐng)以其中一組中的一個(gè)論斷為條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題。判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；（3） 若數(shù)列都是數(shù)列，證明：數(shù)列也是數(shù)列。解（1）設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為,則，于是 因此- +-+-=因?yàn)樗约磜.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是B-數(shù)列。（2）命題1：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列 次命題為假命題。 事實(shí)上，設(shè)