高考數(shù)學(理科)二輪專題突破訓練(浙江專版)第1部分 專題五 第2講圓錐曲線的定義方程與性質(選擇填空題型)

1、考 點 橢圓 雙 曲 線 拋 物 線 考 情 1.對橢圓的考查以橢圓的標準方程及幾何性質為主要考查對 象，有時也考查橢圓定義的應用，尤其要熟記橢圓中參數(shù)a，b，c 之間的內在聯(lián)系及其幾何意義 2.對于雙曲線的考查主要有兩種形式：一是求雙曲線方程； 二是通過方程研究雙曲線的性質，如20XX 年新課標全國卷 T4,20XX 年浙江 T9. 3.高考對拋物線定義的考查主要體現(xiàn)在拋物線的標準方程、 焦 圓錐曲線的綜合問題 點等問題上，考查方程主要有兩個方面，一是用定義或待定系數(shù) 法求拋物線方程；二是利用拋物線方程研究幾何性質，如20XX 年新課標全國卷 T11. 4.圓錐曲線綜合問題主要考查直線與圓錐

2、曲線的位置關系， 如 20XX 年天津 T5. x2y25 1(2013新課標全國卷)已知雙曲線 C： 221(a0，b0)的離心率為 ，則 C ab2 的漸近線方程為() 1 Ay x 4 1 Cy x 2 1 By x 3 Dyx x2y2b 解析： 選 C因為雙曲線 221 的焦點在 x 軸上， 所以雙曲線的漸近線方程為yaba c x.又離心率為 e a 1 x. 2 a2b2 a b 2 5b1 1，所以 ，所以雙曲線的漸近線方程為y a 2a2 x2 22(2013浙江高考)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓 C1： y 1 與雙曲線 C2的公共焦點，A，B 4 分別是 C1，C2在第二、四象

3、限的公共點若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是() A. 2 3 C.2 B. 3 D. 6 2 x2y2 解析：選 D設雙曲線方程為 221(a0，b0)，點 A 的坐標為(x0，y0)ab 由題意得 a2b23c2，則|OA|c 3， 22 x0y03， 8 2 181 2 ，所以解得 x0y0，又點 A 在雙曲線上， 代入得，b2 a2a2b2 3333 2 04y04， x2 c6 ，聯(lián)立解得 a 2，所以 e . a2 3(2013新課標全國卷)設拋物線 C：y22px(p0)的焦點為 F，點 M 在 C 上，|MF| 5.若以 MF 為直徑的圓過點(0,2)，則 C 的方程

4、為() Ay24x 或 y28x Cy24x 或 y216x By22x 或 y28x Dy22x 或 y216x p 解析：選 C由已知得拋物線的焦點F 2，0，設點 A(0,2)，拋物線上點M(x0，y0)，則 uuu r p uuuruuu r uuur y2 0 AF2，2，AM2p，y02.由已知得，AFAM0，即 y2 08y0160，因而 8 y04，M p，4.由|MF|5 得， 8p2165，又 p0，解得 p2 或 p8. p2 x2y2 4(2013天津高考)已知雙曲線 221(a0，b0)的兩條漸近線與拋物線y22px(pab 0)的準線分別交于A, B 兩點， O 為

5、坐標原點. 若雙曲線的離心率為2, AOB 的面積為 3， 則 p() A1 C2 3 B.2 D3 c 解析：選 C因為雙曲線的離心率 e 2，所以 b 3a， a bp 所以雙曲線 的漸近 線方程 為 y x3x，與拋物 線的準線 x 相交于 a2 1pp3p3 A ，p，B ，p，所以AOB 的面積為 3p 3，又 p0，所以 p 222222 2. 1圓錐曲線的定義、標準方程與幾何性質 名稱 定義 標準方程 橢圓 |PF1|PF2|2a(2a |F1F2|) x2y2 1(ab0) a2b2 雙曲線 |PF1|PF2|2a(2a |F1F2|) x2y2 1(a0， b0) a2b2

6、拋物線 |PF|PM|點 F 不在 直線 l 上， PMl 于 M y22px(p0) 圖像 離心率 c e a b2 1 2(0ea 1) 漸近線 c e a b2 1 2(ea 1) b y x a e1 幾何 性質 2.直線與圓錐曲線相交時的弦長 設而不求，根據(jù)韋達定理，進行整體代入即當直線與圓錐曲線交于點A(x1，y1)，B(x2， y2)時，|AB|1k2|x1x2| 1 1 2|y1y2|，而|x1x2| x1x224x1x2.k 3拋物線的過焦點的弦長 拋物線 y22px(p0)的過焦點 p p ，0 的弦 AB，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 x1x2，F(xiàn) 2 4

7、2 y1y2p2，弦長|AB|x1x2p.同樣可得拋物線 y22px，x22py，x22py 類似的性 質 熱點一 3 例1(1)(2013廣東高考)已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F(3,0)， 離心率等于 ， 2 則 C 的方程是() x2y2 A. 1 4 5 x2y2 B. 1 45 圓錐曲線定義及標準方程 x2y2 C. 1 25 x2y2 D. 1 2 5 x2y2 (2)設 F1，F(xiàn)2分別為雙曲線 1 的左、右焦點，過F1引圓 x2y2 916 9 的切線 F1P 交雙曲線的右支于點 P，T 為切點，M 為線段 F1P 的中點， O 為坐標原點，則|MO|MT|等于() A4

8、C2 B3 D1 (3)已知直線 l1：4x3y60 和直線 l2：x1，拋物線 y24x 上一動點 P 到直線 l1 和直線 l2的距離之和的最小值是_ 自主解答(1)由題意可知 c3，a2，b x2y2 方程為 1. 45 11111 (2)連接 PF2、OT，則有|MO| |PF2| (|PF1|2a) (|PF1|6)，|MT| |PF1|F1T| 22222 |PF1| 111 |PF1|3|PF1|41.c2a2|PF1|4，于是有|MO|MT| 22 2 c2a2 3222 5，故雙曲線的 (3)直線 l2：x1 為拋物線 y24x 的準線，由拋物線的定義知， P 到 l2的距離

9、等于 P 到拋物線的焦點 F(1,0)的距離故本題可化為在 拋物線 y24x 上找一個點P 使得 P 到點 F(1,0)和直線l1的距離之和最 小如圖所示，距離之和的最小值為焦點F(1,0)到直線 l1：4x3y6 |406| 0 的距離，即 dmin2. 5 答案(1)B(2)D(3)2 互動探究 本例(3)中把直線 l1換成點 A(2,3)，如何求點 P 到點 A 和直線 l2的距離之和的最小值？ 解析：直線 l2：x1 為拋物線 y24x 的準線，由拋物線定義知，P 到 l2的距離等于P 到拋物線焦點 F(1,0)的距離故本題可以轉化為在拋物線上找一個點P，使得|PA|PF|最小， 即|

10、AF|為所求，A(2,3)，F(xiàn)(1,0)，|AF| 答案： 10 規(guī)律總結 21232 10. 圓錐曲線方程的求法 求解圓錐曲線標準方程的方法是“先定型，后計算” (1)定型就是指定類型，也就是確定圓錐曲線的焦點位置，從而設出標準方程 (2)計算即利用待定系數(shù)法求出方程中的 a2，b2或 p.另外，當焦點位置無法確定時， 拋物線常設為 y22ax 或 x22ay(a0)，橢圓常設 mx2ny21(m0，n0)，雙曲線常設 為 mx2ny21(mn0) 1已知 F1，F(xiàn)2為雙曲線 C：x2y22 的左、右焦點，點P 在 C 上，|PF1|2|PF2|，則 cosF1PF2() 1334 A.B.

11、C.D. 4545 解析：選 C因為 c2224，所以 c2,2c|F1F2|4，由題意可知|PF1|PF2|2a 22，|PF1|2|PF2|，所以 |PF2|2 2，|PF1|42，由余弦定理可知cosF1PF2 4 222 2242 24 22 2 3 . 4 y28x x2y2 的準線過雙曲線 221(a0，b0)的一個焦點， 且雙曲線的ab 2已知拋物線 離心率為 2，則該雙曲線的方程為_ 解析：拋物線 y28x 的準線 x2 過雙曲線的一個焦點，所以c2，又離心率為 2， 所以 a1，b 答案：x2 熱點二 1 2 x2 2例 2(1)(2013山東高考)拋物線 C1：yx (p0

12、)的焦點與雙曲線 C2： y 1 2p3 的右焦點的連線交 C1于第一象限的點 M.若 C1在點 M 處的切線平行于 C2的一條漸近線， 則 p() A. 3 16 B. 3 8 圓錐曲線的幾何性質 c2a2 y21 3 3，所以該雙曲線的方程為 x2y21. 3 2 3 C. 3 4 3 D. 3 x2y2 (2)(2013福建高考)橢圓 ： 221(ab0)的左、右焦點分別為 F1，F(xiàn)2，焦距為 2c，ab 若直線 y 3(xc)與橢圓 的一個交點 M 滿足MF1F22MF2F1， 則該橢圓的離心率等 于_ p 0， ，雙曲線的右焦點坐標為(2,0)，所以上述兩 自主解答(1)拋物線的焦點

13、坐標為 2 x2y311 點連線的方程為 1.雙曲線的漸近線方程為yx.對函數(shù) yx2求導， 得 y x. 2p32pp 1331x2y 設 M(x0，y0)，則 x0，即 x0p，代入拋物線方程得， y0 p.由于點 M 在直線 p3362p 1 上，所以 32p44 3 p 1，解得 p. 6p63 3 (2)直線 y 3(xc)過點 F1， 且傾斜角為 60， 所以MF1F260， 從而MF2F130， 2c2c 所以MF1MF2.在RtMF1F2中， |MF1|c， |MF2| 3c， 所以該橢圓的離心率e 2a c 3c 31. 答案(1)D(2) 31 規(guī)律總結 兩類離心率問題 (

14、1)橢圓的離心率：e2c 2b2b 1 2， a2aa c2b2b 1 2， a2aa 1e2； e21. (2)雙曲線的離心率：e2 x2y2 3已知雙曲線 C1： 221(a0，b0)的離心率為 2.若拋物線 C2：x22py(p0)的焦ab 點到雙曲線 C1的漸近線的距離為 2，則拋物線 C2的方程為() 8 3 Ax2y 3 Cx28y 16 3 Bx2y 3 Dx216y a2b22，b a x2y2c 解析：選 D雙曲線 C1： 221(a0，b0)的離心率為 2， aba p 0， 到雙曲 3a，雙曲線的漸近線方程為 3xy0，拋物線C2：x22py(p0)的焦點 2 p 302

15、 2 線的漸近線的距離為2，p8.所求的拋物線方程為x216y. x2y2 4已知橢圓C： 221(ab0)的左焦點為 F，C 與過原點的直線相交于A，B 兩點，ab 4 連接 AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF ，則 C 的離心率 e_. 5 解析：設橢圓的右焦點為 F1，在ABF 中，由余弦定理可解得|BF|8，所以ABF 為直 角三角形，又因為斜邊 AB 的中點為 O，所以|OF|c5.連接 AF1，因為 A，B 關于原點對 5 稱，所以|BF|AF1|8，所以 2a14，a7，所以離心率 e . 7 5 答案：7 熱點三 例 3(1)(2013安徽高考)已知直線 ya

16、 交拋物線 yx2于 A，B 兩點若該拋物線上 存在點 C，使得ACB 為直角，則 a 的取值范圍為_ (2)(2013東城模擬)已知拋物線 y22px x2y2 的焦點 F 與雙曲線 1 的右焦點重合，拋 79 直線與圓錐曲線的位置關系 物線的準線與 x 軸的交點為 K，點 A 在拋物線上且|AK| 2|AF|，則AFK 的面積為() A4B8C16D32 自主解答(1)法一：設直線 ya 與 y 軸交于點 M，拋物線 yx2上要存在點 C，只 要以|AB|為直徑的圓與拋物線 yx2有交點即可，也就是使|AM|MO|，即 aa(a0)，所以 a1. uuu r 法二：易知 a0，設A( a，

17、a)，B( a，a)，則AC (m a， uuu ruuu ruuu r 22ma)，BC(m a，m a)，因為 ACBC，所以 m2am42am2a20，可得(m2 C(m，m2)，由已知可令 a)(m21a)0.因為由題易知 m2a，所以 m2a10，故 a1，) (2)由題意知，拋物線焦點坐標為(4,0)作 AA垂直于拋物線的準線，垂足為 A，根 據(jù)拋物線定義知|AA|AF|，所以在AAK 中，|AK| 2|AA|，故KAA45.此時不 妨認為直線 AK 的傾斜角為 45， 則直線 AK 的方程為 yx4， 代入拋物線方程 y216x 中， 1 得y216(y4)， 即y216y640

18、， 解得y8， 點A的坐標為(4,8)， 故AFK的面積為 88 2 32. 答案(1)1，)(2)D 規(guī)律總結 求解直線與圓錐曲線的位置關系的方法 在涉及直線與二次曲線的兩個交點坐標時，一般不是求出這兩個點的坐標，而是設出 這兩個點的坐標， 根據(jù)直線方程和曲線方程聯(lián)立后所得方程的根的情況， 使用根與系數(shù)的關 系進行整體代入，這種設而不求的思想是解析幾何中處理直線和二次曲線相交問題的最基 本方法 uuu r x2y2 5已知點A(1,0)，橢圓C： 1，過點A 作直線交橢圓 C 于 P，Q 兩點，AP2 43 uur QA，則直線 PQ 的斜率為( ) A. 5 2 2 5 B. 2 2 5 C 5 5 D 2 uuruuu r 解析：選 D設點 P，Q 坐標分別為 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則AP(x11，y1)，QA uuruuu r (1x2，y2)因為AP2QA，所以 x112(1x2)，整理得 x12x23.設直線 PQ 的斜率為 k，則其方程為 yk(x1)，代入橢圓方程，得(4k23)x28k2x4k2120.于是 4k212 8k2 x1x2 2 ，x1x2 2 .聯(lián)立， 4k 3 4k 3 5 解得 k . 2 6已知拋物線 C 的頂點在坐