湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí) 運(yùn)用向量法解題（通用）

1、湖南省長沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí)：運(yùn)用向量法解題高考要求 平面向量是新教材改革增加的內(nèi)容之一，近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大了對(duì)這部分內(nèi)容的考查力度，本節(jié)內(nèi)容主要是幫助考生運(yùn)用向量法來分析，解決一些相關(guān)問題重難點(diǎn)歸納 1 解決關(guān)于向量問題時(shí)，一要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，加深對(duì)向量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想2 向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中常用向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算來證明向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離

2、的問題3 用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進(jìn)行思考 (1)要解決的問題可用什么向量知識(shí)來解決？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個(gè)未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？(4)怎樣對(duì)已經(jīng)表示出來的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到需要的結(jié)論？典型題例示范講解 例1如圖，已知平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CB=C1CD=BCD(1)求證 C1CBD(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使A1C平面C1BD？請(qǐng)給出證明 命題意圖

3、本題主要考查考生應(yīng)用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對(duì)立體幾何圖形的解讀能力知識(shí)依托 解答本題的閃光點(diǎn)是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾何問題代數(shù)化，使繁瑣的論證變得簡單錯(cuò)解分析 本題難點(diǎn)是考生理不清題目中的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系技巧與方法 利用=0來證明兩直線垂直，只要證明兩直線對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積為零即可(1)證明 設(shè)=, =,依題意，|=|，、中兩兩所成夾角為，于是=，=()=|cos|cos=0,C1CBD(2)解 若使A1C平面C1BD，只須證A1CBD，A1CDC1，由=(+)()=|2+|2=|2|2+|c

4、os|cos=0,得當(dāng)|=|時(shí)，A1CDC1，同理可證當(dāng)|=|時(shí)，A1CBD，=1時(shí)，A1C平面C1BD例2如圖，直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn)(1)求的長；(2)求cos的值；(3)求證 A1BC1M命題意圖 本題主要考查考生運(yùn)用向量法中的坐標(biāo)運(yùn)算的方法來解決立體幾何問題知識(shí)依托 解答本題的閃光點(diǎn)是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系Oxyz,進(jìn)而找到點(diǎn)的坐標(biāo)和求出向量的坐標(biāo)錯(cuò)解分析 本題的難點(diǎn)是建系后，考生不能正確找到點(diǎn)的坐標(biāo)技巧與方法 可以先找到底面坐標(biāo)面xOy內(nèi)的A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用向量的模及方向來找出其

5、他的點(diǎn)的坐標(biāo)(1)解 如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz依題意得 B(0，1，0)，N(1，0，1)|=(2)解 依題意得 A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)=(0，1，2)=10+(1)1+22=3|=(3)證明 依題意得 C1(0，0，2)，M()A1BC1M例3三角形ABC中，A(5，1)、B(1，7)、C(1，2)，求 (1)BC邊上的中線AM的長；(2)CAB的平分線AD的長；(3)cosABC的值解 (1)點(diǎn)M的坐標(biāo)為xM=D點(diǎn)分的比為2 xD=(3)ABC是與的夾角，而=(6，8），=(2，5）學(xué)生鞏固練習(xí) 1 設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)依次是(1，0

6、)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，則四邊形ABCD為( D )A正方形B矩形 C菱形 D平行四邊形2 已知ABC中，=，=，0，SABC=,|=3,| |=5,則與的夾角是( C )A30B150C150 D30或1503 將二次函數(shù)y=x2的圖象按向量平移后得到的圖象與一次函數(shù)y=2x5的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)(3，1)，則向量=_(2,0)_ _4 等腰ABC和等腰RtABD有公共的底邊AB，它們所在的兩個(gè)平面成60角，若AB=16 cm,AC=17 cm,則CD=_13 cm_5 如圖，在ABC中，設(shè)=， =， =, =,(01), = (01),試用向量，表示 6 正三棱柱ABCA1

7、B1C1的底面邊長為a,側(cè)棱長為a(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出A、B、A1、C1的坐標(biāo)；(2)求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角參考答案 5 解 與共線，=m=m()=m(),=+=+m()=(1m) +m又與共線，=n=n()=n(),=+=+n()=n+(1n) 由，得(1m）+m=n+(1n) 與不共線，解方程組得 m=代入式得=(1m) +m=(1-) +(1-)6 解 (1)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，以AB所在直線為Oy軸，以AA1所在直線為Oz軸，以經(jīng)過原點(diǎn)且與平面ABB1A1垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標(biāo)系由已知，得A(0，0，0），B(0，a,0）,A1(0,0,a),C1(a)(2)取A1B1的中點(diǎn)M，于是有M(0，a），連