河南省焦作市2020學年高二數(shù)學下學期期中試題 理（含解析）（通用）

1、焦作市普通高中2020學年（下）高二期中考試數(shù)學（理科）試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 已知集合，則=A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析:先化簡集合A,再求AB.詳解：由題得=x|-2x3，AB=.故選B.點睛：本題考查集合的交集運算，屬于基礎題,注意表示的是正整數(shù)集，不包含0.2. 復數(shù)的實部與虛部的和等于A. B. C. 1 D. 3【答案】D【解析】分析：先化簡復數(shù)z,再寫出復數(shù)z的實部與虛部，最后求其實部與虛部的和.詳解：由題得z=1+2i所以復數(shù)z的實部是1，虛部是2，所以其實部與虛部的和為3

2、.故選D.點睛：本題主要考查復數(shù)的運算、復數(shù)的實部與虛部，屬于基礎題.注意復數(shù)的虛部是“i”的系數(shù)，不包含“i”.3. 下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間上單調遞增的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：利用函數(shù)的奇偶性的判斷方法判斷奇偶性，利用圖像或函數(shù)單調性的性質判斷函數(shù)的單調性.詳解：對于A選項，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，所以不選A.對于B選項，所以函數(shù)是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，所以不選B.對于C選項，所以函數(shù)是奇函數(shù)，但是函數(shù)在上不是單調遞增的，所以不選C.對于D選項，所以函數(shù)是奇函數(shù)，又因為其是上的增函數(shù)（增+增=增）.所以選D故選D.點睛：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷和函數(shù)單調性的判

3、斷，屬于基礎題.4. 已知函數(shù)，則=A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A【解析】分析：先求導，再求，再化簡得解.詳解：由題得，.因為=，=1故選A.點睛：本題主要考查導數(shù)的運算和導數(shù)的定義，屬于基礎題.5. 已知某物體作變速直線運動，其速度單位：m/s）關于時間（單位：）的關系是，則在第2s至第3s間經(jīng)過的位移是A. 10m B. 11m C. 12m D. 13m【答案】B【解析】分析：先利用定積分表示出在第2s至第3s間經(jīng)過的位移，再求定積分即得在第2s至第3s間經(jīng)過的位移.詳解：由題得在第2s至第3s間經(jīng)過的位移為. 故選B.點睛：本題主要考查定積分的實際應用和定積分的運算，屬于基

4、礎題.6. 已知實數(shù)，滿足不等式組則的最大值為A. 5 B. 10 C. 11 D. 13【答案】D【解析】分析：先作出不等式組對應的可行域，再作出直線，最后數(shù)形結合分析得到函數(shù)的最大值.詳解：不等式組對應的可行域如圖所示：由得，當直線經(jīng)過點B(3，2)時，直線的縱截距最大，z最大.所以.故選D.點睛：本題主要考查線性規(guī)劃中的最值問題，屬于基礎題.7. 已知，是實數(shù)，若，則且，用反證法證明時，可假設且；設為實數(shù)，求證與中至少有一個不小于，用反證法證明時，可假設，且.則A. 的假設正確，的假設錯誤 B. 的假設錯誤，的假設正確C. 與的假設都錯誤 D. 與的假設都正確【答案】B【解析】分析：利用

5、命題的否定的知識分析判斷.詳解：對于，用反證法證明時，應假設a,b不都等于1，而不是假設且，所以的假設錯誤.對于，用反證法證明時，可假設，且.所以的假設正確.故選B.點睛：本題主要考查反證法和命題的否定，屬于基礎題.8. 設曲線在處的切線與直線垂直，則=A. 0 B. 1 C. -1 D. -2【答案】C【解析】分析：由點（0,1）在曲線上得到b的值，再根據(jù)切線與直線y=x+5垂直得到a的值，即得a+b的值.詳解：點（0,1）在曲線上，1=0+b1，b=1.由題得，切線與直線垂直，a=-2.a+b=-1.故選C.點睛：本題主要考查求導和導數(shù)的幾何意義，屬于基礎題.9. 將石子擺成如圖的梯形形狀

6、，各圖中的石子數(shù)5，9，14，依次構成數(shù)列，則A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根據(jù)前面圖形中，編號與圖中石子的個數(shù)之間的關系，分析他們之間存在的關系，并進行歸納，用得到一般性規(guī)律，即可求得結論詳解：由已知的圖形我們可以得出圖形的編號與圖中石子的個數(shù)之間的關系為：n=1時，a1=2+3=（2+3）2；n=2時，a2=2+3+4=（2+4）3；由此我們可以推斷：an=2+3+（n+2）= 2+（n+2）（n+1）a20209=2+（2020+2）（2020+1）9=故選C.點睛：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的

7、一般性命題（猜想）10. 如圖所示，某學習小組10名同學的一次測試成績用莖葉圖統(tǒng)計，其中甲同學的分數(shù)的個位數(shù)字模糊不清，在圖中用表示，則甲的分數(shù)大于這10名同學平均分的概率為A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先計算出10個數(shù)的平均數(shù)，再根據(jù)甲的分數(shù)大于這10名同學平均分得到甲的分數(shù)的可能情況，最后求概率.詳解：由題得，所以，x4.，x=5,6,7,8,9.故甲的分數(shù)大于這10名同學平均分的概率為.故選A.點睛：本題主要考查莖葉圖、平均數(shù)和古典概型，屬于基礎題.11. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列判斷錯誤的是A. 直線是圖象的一條對稱軸B. 點是圖象的一個對稱中心C.在區(qū)間上單調

8、遞減D.在區(qū)間上的最大值為【答案】C【解析】分析:先求函數(shù)f(x)的解析式，再逐一研究函數(shù)的圖像和性質，找到答案.詳解:由題得,.由題得,.對于選項A,把代入f(x)的解析式得，函數(shù)取到最大值，所以直線是圖象的一條對稱軸,所以選項A正確.對于選項B,把點代入f(x)的解析式成立，所以點是圖象的一個對稱中心，所以選項B正確.對于選項C,令所以區(qū)間不是函數(shù)的減區(qū)間，所以選項C錯誤.對于選項D,因為x，所以，所以f在區(qū)間上的最大值為,所以選項D正確.故選C.點睛：本題主要考查三角函數(shù)解析式的求法和三角函數(shù)的圖像和性質，要求這些基礎知識比較熟練，屬于基礎題.12. 函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)為，若恒成立

9、，且，則不等式的解集為A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：構造函數(shù)g（x）=，利用導數(shù)可判斷g（x）的單調性，再根據(jù)f（0）=2020，求得g（0）=2020，繼而求出答案詳解：xR，都有f（x）f（x）成立，f（x）f（x）0，于是有（）0，令g（x）=，則有g（x）在R上單調遞減，f（0）=2020，g（0）=2020，不等式f（x）2020ex，g（x）2020=g（0），x0.故選A.點睛：本題考查導數(shù)的運算及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，屬中檔題，解決本題的關鍵是根據(jù)選項及已知條件合理構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 已

10、知復數(shù)z滿足，則z的共軛復數(shù)z=_.【答案】1-3i【解析】分析：先求出復數(shù)z,再求復數(shù)z的共軛復數(shù).詳解:由題得，所以復數(shù)z的共軛復數(shù)為1-3i.故填1-3i.點睛：本題主要考查復數(shù)的運算與共軛復數(shù)的概念，屬于基礎題.14. 已知，若a(a+b)，則向量a與b的夾角為_.【答案】【解析】分析:由得到，再化簡即可得到兩向量的夾角.詳解:由題得,.故填.點睛：本題主要考查向量垂直和向量的數(shù)量積，屬于基礎題.15. 在某次數(shù)學考試中，甲、乙、丙三名同學中只有一人得了滿分，當他們被問到誰得了滿分時，丙說：甲得到滿分；乙說：我得了滿分；甲說：丙說的是真話.事實證明，在這三名同學中，只有一人說的是真話，

11、那么得滿分的同學是_.【答案】乙【解析】若甲得滿分,則丙說的是真話,乙說的是假話，甲說的是真話，則滿足條件，若乙得滿分，則丙說的是假話，乙說的是真話，甲說的是假話，則不滿足條件，若丙得滿分，則丙說的是假話，乙說的是假話，甲說的是假話，則不滿足條件，故得滿分的是甲，故答案為丙.16. 平面幾何中有如下結論：正方形的內切圓面積為，外接圓面積為，則.推廣到空間可以得到類似結論：已知正方體的內切球體積為，外接球的體積為，則_.【答案】【解析】分析：先求出內切球的半徑和外接球的半徑，再求的值.詳解：設正方體的邊長為a, 所以正方體的內切球半徑為，外接球的半徑為，.故填.點睛：本題主要考查幾何體的內切球和

12、外接球的體積，屬于基礎題.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17. 已知復數(shù).（）求；（）若復數(shù)z是方程的一個根，求實數(shù)，的值.【答案】（1）（2）a=b=2.【解析】分析：（）先求出z,再求|z|. ()把z的值代入方程化簡，再根據(jù)復數(shù)相等的概念概念得到實數(shù)a,b的值.詳解：（）.（）因為復數(shù)z是方程的一個根，所以， 所以解得a=b=2.點睛：本題主要考查復數(shù)的運算和復數(shù)相等的概念，屬于基礎題.18. 用數(shù)學歸納法證明：對于任意的，.【答案】見解析【解析】分析：按照數(shù)學歸納法的原理證明不等式.詳解：當n=1時，左邊右邊，命題成立. 假設當命題成立，即； 當n=k+

13、1時，左邊，即當n=k+1時，命題成立. 綜上所述，對于任意的，.點睛：本題主要考查數(shù)學歸納法證明不等式，屬于基礎題.19. 已知數(shù)列的首項，.（）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（）設，數(shù)列的前項和為，求證：.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】分析：（）利用等差數(shù)列的定義證明數(shù)列是等差數(shù)列. （）先計算出再利用裂項相消求出，再證明不等式：.詳解：（）由于，顯然，所以兩邊同除以可得，所以數(shù)列是1為首項，2為公差的等差數(shù)列. （）由（）知， 所以.所以， 所以.點睛：本題主要考查等差數(shù)列的證明和裂項相消求和，屬于基礎題.20. 已知函數(shù)，若曲線在點處的切線斜率為1，且x=1時，y=f(x）取極值.（

14、）求函數(shù)的解析式；（）求函數(shù)在上的最大值和最小值；（）若方程有三個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）最大值為4，最小值為-146.（3）【解析】分析：（）根據(jù)已知條件得到關于a,b的方程組，再解方程得到a,b的值，即得函數(shù)的解析式. （）先求出函數(shù)在上的極值和端點函數(shù)值，再比較它們，即得函數(shù)在上的最大值和最小值. （）先作出函數(shù)y=f(x)的圖像，再觀察它和直線y=m的關系得到實數(shù)m的取值范圍.詳解：（）， 由題意得，解得所以.（）由（）知，令，得， ，的值隨x的變化情況如下表：x-4（-4,1）12+0-0+單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增函數(shù)值-14644，在-4,

15、2上的最大值為4，最小值為-146. （）方程f(x)=m有三個不同的實數(shù)根，即的圖象與直線y=m有三個交點.由（）分析可得，函數(shù)在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，而，所以.點睛：本題主要考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)求函數(shù)的最值和導數(shù)研究函數(shù)的零點問題，屬于中檔題.21. 已知拋物線的焦點F與橢圓的右焦點重合.（）求拋物線C的標準方程；（）斜率為-1的直線l交拋物線C于不同兩點A，B，求證：.【答案】（1）（2）見解析【解析】分析：（）根據(jù)已知得到p的值，即得到拋物線C的標準方程. （）先利用韋達定理求出，再利用基本不等式證明不等式.詳解：（）由，所以橢圓在右焦點F(1,0)，即p=2.所以拋物

16、線C的標準方程為.（）設直線l的方程為y=-x+b，將它代入拋物線.得，設，則，.又由直線l交拋物線C于不同兩點A，B，可得，所以.而， 令t=b+3，則t2.所以.當，即，時，等號成立.點睛：求變量的取值范圍常用函數(shù)的方法.一般先求變量的解析式，再求函數(shù)的定義域，再求函數(shù)的取值范圍. 所以本題先求利用韋達定理求出，再求b的范圍，最后利用基本不等式證明不等式.這種方法在高中數(shù)學中常用，大家要注意理解掌握和靈活運用.22. 某公司為了獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷，經(jīng)調查，每年投入廣告費t百萬元，可增加銷售額約為百萬元.（）若該公司將一年的廣告費控制在4百萬元之內，則應投入多少

17、廣告費，才能使該公司由此增加的收益最大？（）現(xiàn)該公司準備共投入5百萬元，分別用于廣告促銷和技術改造，經(jīng)預測，每投入技術改造費百萬元，可增加的銷售額約為百萬元，請設計一個資金分配方案，使該公司由此增加的收益最大.（注：收益=銷售額-投入，這里除了廣告費和技術改造費，不考慮其他的投入）【答案】（1）投入3百萬元的廣告費時，該公司由此增加的收益最大.（2）4百萬元用于技術改造，1百萬元用于廣告促銷，該公司由此增加的收益最大【解析】分析：（）先寫出收益f(t)的解析式，再利用二次函數(shù)的圖像和性質求最大值和此時t 的值. （）設由此增加的收益是g(x)百萬元,再寫出g(x)的解析式，再利用導數(shù)求函數(shù)的最值，即得資金分配方案.詳解：（）