2.111 曲線的參數(shù)方程.ppt

1、2.1 曲線的參數(shù)方程,1、參數(shù)方程,一、概念的引入,已知該摩天輪半徑為51.5米，逆時針勻速旋轉(zhuǎn)一周需時20分鐘。 如圖所示，某游客現(xiàn)在P0點（其中P0點和轉(zhuǎn)軸的連線與水平面平行）。問：經(jīng)過t秒，該游客的位置在何處?,方程、是否是圓心在原點， 半徑為r的圓方程？為什么？,例一個質(zhì)點P開始時位于x軸正半軸的點P0處，按逆時針方向繞原點O以勻角速度作圓周運動，其中|OP|=r,求此質(zhì)點P的坐標(biāo)與時刻t的關(guān)系。,若要表示一個完整的圓，則t與較為 合適的取值范圍是什么？,變數(shù)t（或 ）在以上范圍內(nèi)取值時， 可以表示一個完整的圓。,二、參數(shù)方程的定義,一般地，平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線C上任意一點的坐

2、標(biāo)x,y都是某個變量t的函數(shù)， 并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點P（x,y）都在曲線C上，那么方程組就叫做曲線C的參數(shù)方程。 變量t叫做參變量或參變數(shù)，簡稱參數(shù)。,相對地,x,y滿足的方程F(x,y)=0叫做曲線的普通方程.,幾點說明：,普通方程是相對相對參數(shù)方程而言的，反 映的是變量x,y的直接關(guān)系； 參數(shù)方程是在直角坐標(biāo)系下曲線方程的另 一種形式，反映的是變量x,y的間接關(guān)系； 普通方程和參數(shù)方程是同一曲線的兩種不 同形式，他們之間可以互相轉(zhuǎn)化,二、普通方程和參數(shù)方程的互化,例1、將下列曲線的參數(shù)方程化為普通方程,練習(xí)、將下列曲線的參數(shù)方程化為普通方程,例2、作下列參數(shù)方程所表

3、示的曲線,練習(xí)、作下列參數(shù)方程所表示的曲線,化為普通方程。,A圓 B雙曲線 C橢圓(無左頂點) D橢圓(無下頂點),例3、將普通方程x2+y2-4y=0化為參數(shù)方程,按下列條件，把x2+y2-2ry=0（r0）化為參數(shù)方程: (1)以曲線上的點與圓心的連線和x軸正方向的夾角為參數(shù) (2)以曲線上的點與原點的連線和x軸正方向的夾角為參數(shù),【例4】 化下列參數(shù)方程為普通方程， 并畫出方程的曲線,【例5】將下列曲線的參數(shù)方程化為普通方程， 并指出方程所代表的曲線形狀,2.1 曲線的參數(shù)方程,2、幾種曲線的參數(shù)方程,引入?yún)?shù)的目的： 兩個變量轉(zhuǎn)化為一個變量來解決數(shù)學(xué)問題； 刻畫的點比較明顯簡潔； 有些

4、曲線上x,y的直接關(guān)系很難表示出來,1、寫出經(jīng)過定點P（3,1）且該直線的一個方 向向量為（1，-1)的直線的參數(shù)方程。,2、寫出經(jīng)過定點P（3,1）且傾斜角為 的直線l的參數(shù)方程。,一、直線的參數(shù)方程,如果直線經(jīng)過點，且的一個方向向 量為（u,v),設(shè)(x,y)是上任意一點，此時的參 數(shù)方程可寫為,例題：求直線l 上到 點P（-1，2）的距離等于2的點的坐標(biāo)。,例題：直線l的參數(shù)方程為： 求過點P（,-1）且與平行的直線m在y軸 上的截距,一、直線的參數(shù)方程,如果的傾斜角為，且的一個方向向量為 （cos，sin）（0），此時方程 可寫為,例1、寫出經(jīng)過定點P（3，1），且傾 斜角為的直線l的

5、參數(shù)方程。,練習(xí)：1、寫出傾斜角為150度，且經(jīng)過點（-1，2）的直線的參數(shù)方程,2、若直線l的參數(shù)方程為 求直線l經(jīng)過的點、參數(shù)、斜率和傾斜角。,二、圓的參數(shù)方程,如果圓C的圓心為（xo,yo）,半徑為r則此時方程可寫為,例、已知點A（x，y）在圓C： 上運動，求x+y+的最大值,例1、已知點A（x，y）在圓C： 上運動，求x+y的最大值,2、在圓x2+y2-2x=0上求一點P，使P到 直線x+y+1=0的距離最大。,練習(xí)：求橢圓的兩個焦點坐標(biāo),三、橢圓的參數(shù)方程,橢圓的參數(shù)方程為,例3,已知P（x，y）是橢圓 上的一個動點，求 的最大值,例.橢圓上任意一 點P（除短軸端點外）與短軸的兩個端

6、 點的連線交x軸于點M，N， 求證：,*四、雙曲線的參數(shù)方程,雙曲線的參數(shù)方程為,練習(xí)：求直線 與雙曲線 的交點的坐標(biāo),例,求雙曲線 的焦點坐標(biāo)和漸近線方程。,*五、拋物線的參數(shù)方程,拋物線的參數(shù)方程為,例,拋物線y2=4x上求一點，使點P到直線 l：4x-3y+3=0的距離最短，并求此時 距離的最小值,2.1 曲線的參數(shù)方程,3、參數(shù)方程的建立,例：以原點為圓心、R為半徑做一個 圓，設(shè)定點A的坐標(biāo)是（2R，0）, B為圓上任意一點，M為線段AB的 中點，求點M軌跡的參數(shù)方程。,六、參數(shù)方程的建立,例、一木棒AB的兩端A、B各在相互垂直 的兩桿上滑動，且AB=8cm，求AB的中點 P的軌跡的參

7、數(shù)方程。,在三角形AB中,ABC=90o,|AB|=|BC|=4, 頂點A、B分別在y軸、x軸的正半軸（包括 坐標(biāo)原點）上移動，求頂點C的軌跡方程 （A、B、C按逆時針方向排列）,等邊三角形的邊長為a，當(dāng)它的兩個頂點分別在x軸、y軸的正方向上移動時， 求第三個頂點的軌跡的參數(shù)方程。,例5、設(shè)炮彈的發(fā)射角為，發(fā)射的初速度為v0，求彈道的軌跡方程（不計空氣阻力等因素）,6、一物件作斜拋運動，初速度為40米/秒， 拋射方向與水平方向成45o角， 求這物體運動的軌跡的參數(shù)方程 （不計空氣阻力等因素）,例4、已知炮彈運動軌跡的參數(shù)方程是 設(shè)vo是定值，可以變動，當(dāng)為何值時， 炮彈的射程最大？最大值是多少

8、,思考,（1）若圓的一般方程為 ，你能寫出它的一個參數(shù)方程嗎？ （2）根據(jù)引例中的實際情況，游客總是從摩天輪的最低點登上轉(zhuǎn)盤。若某游客登上轉(zhuǎn)盤的時刻記為t0，高度為h0，則經(jīng)過時間t該游客的位置在何處？你能否建立合適的參數(shù)方程，確定游客的具體位置？ （3）例題1的直線，你能否建立出其他的參數(shù)方程,在三角形ABC中,ABC=90o,|AB|=|BC|=4, 頂點A、B分別在y軸、x軸的正半軸（包括 坐標(biāo)原點）上移動，求頂點C的軌跡方程 （A、B、C按逆時針方向排列）,例2、一木棒AB的兩端A、B各在相互垂直 的兩桿上滑動，且AB=8cm，求AB的中點 P的軌跡的參數(shù)方程。,等邊三角形的邊長為a，

9、當(dāng)它的兩個頂點分別 在x軸、y軸的正方向上移動時，求第三個頂點 的軌跡的參數(shù)方程。,例3、設(shè)炮彈的發(fā)射角為，發(fā)射的初速度為v0，求彈道的軌跡方程（不計空氣阻力等因素）,一物件作斜拋運動，初速度為40米/秒， 拋射方向與水平方向成45o角，求這物體 運動的軌跡的參數(shù)方程 （不計空氣阻力等因素）,參數(shù)的選擇,求曲線的參數(shù)方程時, 參數(shù)可以選時間,角,斜率,線段長 等能反映出問題的物理意義或幾何意義 一般的，被選作參數(shù)的量，應(yīng)滿足以下兩條 (1)選定的參數(shù)可以確定曲線上所有點的位置 (2)選定的參數(shù)t和x、y的相互關(guān)系比較明顯，能較容易的列出x、y與t之間的函數(shù)關(guān)系,以原點為圓心、R為半徑做一個圓，設(shè)定點A的坐標(biāo)是（2R，0）,B為圓上任意一點，M為線段AB的中點，求點M軌跡的參數(shù)方程。,參數(shù)方程化為普通方程的基本方法是“消去參數(shù)”。 再消去參數(shù)時要注意變量x、y的取值范圍，使化成的普通方程和參數(shù)方程等價。,五、參數(shù)方程的應(yīng)用,例2、已知炮彈運動軌跡的參數(shù)方程是 設(shè)vo是定值，可以變動，當(dāng)