小學(xué)數(shù)學(xué)精講教案7_3_1 加乘原理之綜合運(yùn)用 學(xué)生版_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

1、7-3-1.加乘原理之綜合運(yùn)用教學(xué)目標(biāo)1.復(fù)習(xí)乘法原理和加法原理;2.培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用加法原理和乘法原理的能力3.讓學(xué)生懂得并運(yùn)用加法、乘法原理來(lái)解決問(wèn)題,掌握常見(jiàn)的計(jì)數(shù)方法,會(huì)使用這些方法解決問(wèn)題在分類討論中結(jié)合分步分析,在分步分析中結(jié)合分類討論;教師應(yīng)該明確并強(qiáng)調(diào)哪些是分類,哪些是分步并了解與加、乘原理相關(guān)的常見(jiàn)題型:數(shù)論類問(wèn)題、染色問(wèn)題、圖形組合知識(shí)要點(diǎn)一、加乘原理概念生活中常有這樣的情況:在做一件事時(shí),有幾類不同的方法,在具體做的時(shí)候,只要采用其中某一類中的一種方法就可以完成,并且這幾類方法是互不影響的那么考慮完成這件事所有可能的做法,就要用到加法原理來(lái)解決還有這樣的一種情況:就是在做

2、一件事時(shí),要分幾步才能完成,而在完成每一步時(shí),又有幾種不同的方法要知道完成這件事情共有多少種方法,就要用到乘法原理來(lái)解決二、加乘原理應(yīng)用應(yīng)用加法原理和乘法原理時(shí)要注意下面幾點(diǎn):加法原理是把完成一件事的方法分成幾類,每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù),所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各類方法數(shù)之和乘法原理是把一件事分幾步完成,這幾步缺一不可,所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各步方法數(shù)的乘積在很多題目中,加法原理和乘法原理都不是單獨(dú)出現(xiàn)的,這就需要我們能夠熟練的運(yùn)用好這兩大原理,綜合分析,正確作出分類和分步加法原理運(yùn)用的范圍:完成一件事的方法分成幾類,每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù),這樣的問(wèn)題可以使用

3、加法原理解決我們可以簡(jiǎn)記為:“加法分類,類類獨(dú)立”乘法原理運(yùn)用的范圍:這件事要分幾個(gè)彼此互不影響的獨(dú)立步驟來(lái)完成,這幾步是完成這件任務(wù)缺一不可的,這樣的問(wèn)題可以使用乘法原理解決我們可以簡(jiǎn)記為:“乘法分步,步步相關(guān)”例題精講【例 1】 商店里有2種巧克力糖:牛奶味、榛仁味;有2種水果糖:蘋果味、梨味、橙味小明想買一些糖送給他的小朋友如果小明只買一種糖,他有幾種選法?如果小明想買水果糖、巧克力糖各種,他有幾種選法? 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】1星 【題型】解答 【解析】 小明只買一種糖,完成這件事一步即可完成,有兩類辦法:第一類是從種巧克力糖中選一種 有種辦法;第二類是從種水果糖中選一種

4、,有種辦法因此,小明有種選糖的方法小明完成這件事要分兩步,每步分別有種、種方法,因此有種方法【答案】 【例 2】 從2,3,5,7,11這五個(gè)數(shù)中,任取兩個(gè)不同的數(shù)分別當(dāng)作一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母,這樣的分?jǐn)?shù)有_個(gè),其中的真分?jǐn)?shù)有_個(gè)?!究键c(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,五年級(jí),二試,第7題【解析】 第一問(wèn)要用乘法原理,當(dāng)分子有5種可能時(shí),分母有4種可能,即54=20種,所以這樣的分?jǐn)?shù)有20個(gè)。第二問(wèn)中,分母為3的真分?jǐn)?shù)有1個(gè),分母為5的真分?jǐn)?shù)有2個(gè),分母為7的真分?jǐn)?shù)有3個(gè),分母為11的真分?jǐn)?shù)有4個(gè),所以真分?jǐn)?shù)共有1+2+3+4=10個(gè)。【答案】個(gè)【例 3】 從

5、北京到廣州可以選擇直達(dá)的飛機(jī)和火車,也可以選擇中途在上?;蛘呶錆h作停留,已知北京到上海、武漢和上海、武漢到廣州除了有飛機(jī)和火車兩種交通方式外還有汽車問(wèn),從北京到廣州一共有多少種交通方式供選擇? 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】1星 【題型】解答 【解析】 從北京轉(zhuǎn)道上海到廣州一共有種方法,從北京轉(zhuǎn)道武漢到廣州一共也有種方法供選擇,從北京直接去廣州有2種方法,所以一共有種方法【答案】【例 4】 從學(xué)而思學(xué)校到王明家有3條路可走,從王明家到張老師家有2條路可走,從學(xué)而思學(xué)校到張老師家有3條路可走,那么從學(xué)而思學(xué)校到張老師家共有多少種走法? 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】1星 【題型】解答

6、 【解析】 根據(jù)乘法原理,經(jīng)過(guò)王明家到張老師家的走法一共有種方法,從學(xué)而思學(xué)校直接去張老師家一共有3條路可走,根據(jù)加法原理,一共有種走法【答案】【鞏固】 如下圖,從甲地到乙地有2條路,從乙地到丙地有4條路,從甲地到丁地有3條路可走,從丁地到丙地也有3條路,請(qǐng)問(wèn)從甲地到丙地共有多少種不同走法? 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】1星 【題型】解答 【解析】 從甲地到丙地有兩種方法:第一類,從甲地經(jīng)過(guò)乙地到丙地,根據(jù)乘法原理,走法一共有種方法,;第二類,從甲地經(jīng)過(guò)丁地到丙地,一共有種方法根據(jù)加法原理,一共有種走法【答案】【鞏固】 王老師從重慶到南京,他可以乘飛機(jī)、汽車直接到達(dá),也可以先到武漢,再

7、由武漢到南京他從重慶到武漢可乘船,也可乘火車;又從武漢到南京可以乘船、火車或者飛機(jī),如圖那么王老師從重慶到南京有多少種不同走法呢? 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 從重慶到南京的走法有兩類:第一類從重慶經(jīng)過(guò)武漢去南京,根據(jù)乘法原理,有(種)走法;第二類不經(jīng)過(guò)武漢,有2種走法根據(jù)加法原理,從重慶到南京一共有種不同走法【答案】【例 5】 某條鐵路線上,包括起點(diǎn)和終點(diǎn)在內(nèi)原來(lái)共有7個(gè)車站,現(xiàn)在新增了3個(gè)車站,鐵路上兩站之間往返的車票不一樣,那么,這樣需要增加多少種不同的車票? 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 1、新站為起點(diǎn),舊站為終

8、點(diǎn)有37=21張,2、舊站為起點(diǎn),新站為終點(diǎn)有73=21張,3、起點(diǎn)、終點(diǎn)均為新站有32=6張,以上共有21216=48張【答案】48【例 6】 如右圖所示,每個(gè)小正三角形邊長(zhǎng)為1,小蟲每步走過(guò)1,從A出發(fā),走4步恰好回到A的路有( )條(途中不再回A) 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,四年級(jí),初賽,第8題,五年級(jí),初賽,第12題【解析】 因?yàn)榈谝弧⑷降降狞c(diǎn)一定是以A為中心的六邊形的六個(gè)頂點(diǎn),根據(jù)一定的規(guī)則進(jìn)行計(jì)數(shù):(1) 第一步與第三步是同一個(gè)點(diǎn)的情況有:65=30(種)(2) 第一步與第三步不是同一個(gè)點(diǎn)的情況有:46=24(種) 所以共有30+24

9、=54(種)【答案】種【例 7】 如下圖,八面體有12條棱,6個(gè)頂點(diǎn)一只螞蟻從頂點(diǎn)出發(fā),沿棱爬行,要求恰好經(jīng)過(guò)每一個(gè)頂點(diǎn)一次問(wèn)共有多少種不同的走法? 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 走完6個(gè)頂點(diǎn),有5個(gè)步驟,可分為兩大類:第二次走點(diǎn):就是意味著從點(diǎn)出發(fā),我們要先走,中間的一點(diǎn),再經(jīng)過(guò)點(diǎn),但之后只能走,點(diǎn),最后選擇后面兩點(diǎn)有種(從到的話,是不能到的);第二次不走:有種(同理,不能到);共計(jì):種【答案】【例 8】 有3所學(xué)校共訂300份中國(guó)少年報(bào),每所學(xué)校訂了至少98份,至多102份問(wèn):一共有多少種不同的訂法?【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3星 【題型】解答

10、 【解析】 可以分三種情況來(lái)考慮:3所學(xué)校訂的報(bào)紙數(shù)量互不相同,有98,100,102;99,100,101兩種組合,每種組各有種不同的排列,此時(shí)有種訂法3所學(xué)校訂的報(bào)紙數(shù)量有2所相同,有98,101,101;99,99,102兩種組合,每種組各有3種不同的排列,此時(shí)有種訂法3所學(xué)校訂的報(bào)紙數(shù)量都相同,只有100,100,100一種訂法由加法原理,不同的訂法一共有種【答案】【例 9】 玩具廠生產(chǎn)一種玩具棒,共4節(jié),用紅、黃、藍(lán)三種顏色給每節(jié)涂色。這家玩具廠共可生產(chǎn) 種顏色不同的玩具棒。【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,五年級(jí),初賽,第10題【解析】 總共有

11、45種,分三類:只有一種顏色的有:3種;有兩種顏色的有:;有種顏色的有:所以共有:(種)【答案】種【例 10】 如果從3本不同的語(yǔ)文書、4本不同的數(shù)學(xué)書、5本不同的外語(yǔ)書中選取2本不同學(xué)科的書閱讀,那么共有多少種不同的選擇?【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 因?yàn)閺?qiáng)調(diào)2本書來(lái)自不同的學(xué)科,所以共有三種情況:來(lái)自語(yǔ)文、數(shù)學(xué):34=12;來(lái)自語(yǔ)文、外語(yǔ):35=15;來(lái)自數(shù)學(xué)、外語(yǔ):45=20;所以共有121520=47【答案】47【例 11】 過(guò)年了,媽媽買了7件不同的禮物,要送給親朋好友的5個(gè)孩子每人一件其中姐姐的兒子小強(qiáng)想從智力拼圖和遙控汽車中選一個(gè),朋友的女兒小

12、玉想從學(xué)習(xí)機(jī)和遙控汽車中選一件那么媽媽送出這5件禮物共有_種方法 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯,中年級(jí),決賽,7題【解析】 假如給小強(qiáng)的是智力拼圖,則有(種)方法假如給小強(qiáng)的是遙控汽車,則有(種)方法總共有(種)方法【答案】種【例 12】 某件工作需要鉗工2人和電工2人共同完成現(xiàn)有鉗工3人、電工3人,另有1人鉗工、電工都會(huì)從7人中挑選4人完成這項(xiàng)工作,共有多少種方法? 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 分兩類情況討論:都會(huì)的這1人被挑選中,則有:如果這人做鉗工的話,則再按乘法原理,先選一名鉗工有 3種方法,再選2名電工也

13、有3種方法;所以有種方法;同樣,這人做電工,也有9種方法都會(huì)的這一人沒(méi)有被挑選,則從3名鉗工中選2人,有3種方法;從3名電工中選2人,也有3種方法,一共有種方法所以,根據(jù)加法原理,一共有種方法【答案】【例 13】 某信號(hào)兵用紅,黃,藍(lán),綠四面旗中的三面從上到下掛在旗桿上的三個(gè)位置表示信號(hào)每次可掛一面,二面或三面,并且不同的順序,不同的位置表示不同的信號(hào)一共可以表示出多少種不同的信號(hào)? 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 由于每次可掛一面、二面或三面旗子,我們可以根據(jù)旗桿上旗子的面數(shù)分三類考慮:第一類,可以從四種顏色中任選一種,有4種表示法; 第二類,要分兩步完成:

14、第一步,第一面旗子可以從四種顏色中選一種,有4種選法;第二步,第二面旗子可從剩下的三種中選一種,有3種選法根據(jù)乘法原理,共有種表示法; 第三類,要分三步完成:第一步,第一面旗子可以從四種顏色中選一種,有4種選法;第二步,第二面旗子可從剩下的三種中選一種,有3種選法;第三步,第三面旗子可從剩下的兩種顏色中選一種,有2種選法根據(jù)乘法原理,共有種表示法 根據(jù)加法原理,一共可以表示出種不同的信號(hào)【答案】【鞏固】 五面五種顏色的小旗,任意取出一面、兩面或三面排成一行表示各種信號(hào),問(wèn):共可以表示多少種不同的信號(hào)? 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 分3種情況:取出一面,有5

15、種信號(hào);取出兩面:可以表示種信號(hào);取出三面:可以表示:種信號(hào);由加法原理,一共可以表示:種信號(hào)【答案】【例 14】 五種顏色不同的信號(hào)旗,各有5面,任意取出三面排成一行,表示一種信號(hào),問(wèn):共可以表示多少種不同的信號(hào)? 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 方法一:取出的3面旗子,可以是一種顏色、兩種顏色、三種顏色,應(yīng)按此進(jìn)行分類 一種顏色: 5種可能; 兩種顏色: 三種顏色: 所以,一共可以表示種不同的信號(hào)方法二:每一個(gè)位置都有5種顏色可選,所以共有種【答案】【鞏固】 紅、黃、藍(lán)、白四種顏色不同的小旗,各有2,2,3,3面,任意取出三面按順序排成一行,表示一種信號(hào),

16、問(wèn):共可以表示多少種不同的信號(hào)?如果白旗不能打頭又有多少種? 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 (一)取出的3面旗子,可以是一種顏色、兩種顏色、三種顏色,應(yīng)按此進(jìn)行分類第一類,一種顏色:都是藍(lán)色的或者都是白色的,2種可能;第二類,兩種顏色: 第三類,三種顏色: 所以,根據(jù)加法原理,一共可以表示種不同的信號(hào)(二)白棋打頭的信號(hào),后兩面旗有種情況所以白棋不打頭的信號(hào)有種【答案】【例 15】 小紅和小明舉行象棋比賽,按比賽規(guī)定,誰(shuí)先勝頭兩局誰(shuí)贏,如果沒(méi)有勝頭兩局,誰(shuí)先勝三局誰(shuí)贏共有 種可能的情況 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】1星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】清華附

17、中【解析】 小紅和小明如果有誰(shuí)勝了頭兩局,則勝者贏,此時(shí)共2種情況;如果沒(méi)有人勝頭兩局,即頭兩局中兩人各勝一局,則最少再進(jìn)行兩局、最多再進(jìn)行三局,必有一人勝三局,如果只需再進(jìn)行兩局,則這兩局的勝者為同一人,對(duì)此共有種情況;如果還需進(jìn)行三局,則后三局中有一人勝兩局,另一人只勝一局,且這一局不能為最后一局,只能為第三局或第四局,此時(shí)共有種情況,所以共有種情況【答案】【例 16】 玩具廠生產(chǎn)一種玩具棒,共節(jié),用紅、黃、藍(lán)三種顏色給每節(jié)涂色這家廠共可生產(chǎn)_種顏色不同的玩具棒 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 每節(jié)有種涂法,共有涂法(種)但上述種涂法中,有些涂法屬于重復(fù)計(jì)

18、算,這是因?yàn)橛行┯螒虬舻惯^(guò)來(lái)放時(shí)的顏色與順著放時(shí)的顏色一樣,卻被我們當(dāng)做兩種顏色計(jì)算了兩次可以發(fā)現(xiàn)只有游戲棒的顏色關(guān)于中點(diǎn)對(duì)稱時(shí)才沒(méi)有被重復(fù)計(jì)算,關(guān)于中點(diǎn)對(duì)稱的游戲棒有(種)故玩具棒最多有種不同的顏色【答案】【例 17】 奧蘇旺大陸上的居民使用的文字非常獨(dú)特,他們文字的每個(gè)單詞都由個(gè)字母、組成,并且所有的單詞都有著如下的規(guī)律,字母不打頭,單詞中每個(gè)字母后邊必然緊跟著字母,和不會(huì)出現(xiàn)在同一個(gè)字母之中,那么由四個(gè)字母構(gòu)成的單詞一共有多少種? 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 分為三種:第一種:有兩個(gè)的情況只有1種 第二種,有一個(gè)的情況,又分3類第一類,在第一個(gè)位置,則在第二個(gè)位置,后邊的排列有種,減去、同時(shí)出現(xiàn)的兩種,總共有14種,第二類,在第二個(gè)位置,則在第三個(gè)位置,總共有種.第三類,在第三個(gè)位置,則在第四個(gè)位置,總共有種. 第三種,沒(méi)有的情況:分別計(jì)算沒(méi)有的情況:種.沒(méi)有的情況:種.沒(méi)有、的情況:種.由容斥原理得到一共有種.所以,根據(jù)加法原理,一共有種【答案】【例 18】 從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加接力賽,求滿足下列條件的參賽方案各有多少種:甲不能跑第一棒和第四棒;甲

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