小學(xué)數(shù)學(xué)精講教案7_3_1 加乘原理之綜合運(yùn)用 學(xué)生版

1、7-3-1.加乘原理之綜合運(yùn)用教學(xué)目標(biāo)1.復(fù)習(xí)乘法原理和加法原理；2.培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用加法原理和乘法原理的能力3.讓學(xué)生懂得并運(yùn)用加法、乘法原理來(lái)解決問(wèn)題，掌握常見(jiàn)的計(jì)數(shù)方法，會(huì)使用這些方法解決問(wèn)題在分類討論中結(jié)合分步分析，在分步分析中結(jié)合分類討論；教師應(yīng)該明確并強(qiáng)調(diào)哪些是分類，哪些是分步并了解與加、乘原理相關(guān)的常見(jiàn)題型：數(shù)論類問(wèn)題、染色問(wèn)題、圖形組合知識(shí)要點(diǎn)一、加乘原理概念生活中常有這樣的情況：在做一件事時(shí)，有幾類不同的方法，在具體做的時(shí)候，只要采用其中某一類中的一種方法就可以完成，并且這幾類方法是互不影響的那么考慮完成這件事所有可能的做法，就要用到加法原理來(lái)解決還有這樣的一種情況：就是在做

2、一件事時(shí)，要分幾步才能完成，而在完成每一步時(shí)，又有幾種不同的方法要知道完成這件事情共有多少種方法，就要用到乘法原理來(lái)解決二、加乘原理應(yīng)用應(yīng)用加法原理和乘法原理時(shí)要注意下面幾點(diǎn)：加法原理是把完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各類方法數(shù)之和乘法原理是把一件事分幾步完成，這幾步缺一不可，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各步方法數(shù)的乘積在很多題目中，加法原理和乘法原理都不是單獨(dú)出現(xiàn)的，這就需要我們能夠熟練的運(yùn)用好這兩大原理，綜合分析，正確作出分類和分步加法原理運(yùn)用的范圍：完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，這樣的問(wèn)題可以使用

3、加法原理解決我們可以簡(jiǎn)記為：“加法分類，類類獨(dú)立”乘法原理運(yùn)用的范圍：這件事要分幾個(gè)彼此互不影響的獨(dú)立步驟來(lái)完成，這幾步是完成這件任務(wù)缺一不可的，這樣的問(wèn)題可以使用乘法原理解決我們可以簡(jiǎn)記為：“乘法分步，步步相關(guān)”例題精講【例 1】 商店里有2種巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有2種水果糖：蘋果味、梨味、橙味小明想買一些糖送給他的小朋友如果小明只買一種糖，他有幾種選法？如果小明想買水果糖、巧克力糖各種，他有幾種選法？ 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】1星 【題型】解答 【解析】 小明只買一種糖，完成這件事一步即可完成，有兩類辦法：第一類是從種巧克力糖中選一種 有種辦法；第二類是從種水果糖中選一種

4、，有種辦法因此，小明有種選糖的方法小明完成這件事要分兩步，每步分別有種、種方法，因此有種方法【答案】 【例 2】 從2，3，5，7，11這五個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)不同的數(shù)分別當(dāng)作一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母，這樣的分?jǐn)?shù)有_個(gè)，其中的真分?jǐn)?shù)有_個(gè)?！究键c(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，二試，第7題【解析】 第一問(wèn)要用乘法原理，當(dāng)分子有5種可能時(shí)，分母有4種可能，即54=20種，所以這樣的分?jǐn)?shù)有20個(gè)。第二問(wèn)中，分母為3的真分?jǐn)?shù)有1個(gè)，分母為5的真分?jǐn)?shù)有2個(gè)，分母為7的真分?jǐn)?shù)有3個(gè)，分母為11的真分?jǐn)?shù)有4個(gè)，所以真分?jǐn)?shù)共有1+2+3+4=10個(gè)。【答案】個(gè)【例 3】 從

5、北京到廣州可以選擇直達(dá)的飛機(jī)和火車，也可以選擇中途在上?；蛘呶錆h作停留，已知北京到上海、武漢和上海、武漢到廣州除了有飛機(jī)和火車兩種交通方式外還有汽車問(wèn)，從北京到廣州一共有多少種交通方式供選擇？ 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】1星 【題型】解答 【解析】 從北京轉(zhuǎn)道上海到廣州一共有種方法，從北京轉(zhuǎn)道武漢到廣州一共也有種方法供選擇，從北京直接去廣州有2種方法，所以一共有種方法【答案】【例 4】 從學(xué)而思學(xué)校到王明家有3條路可走，從王明家到張老師家有2條路可走，從學(xué)而思學(xué)校到張老師家有3條路可走，那么從學(xué)而思學(xué)校到張老師家共有多少種走法？ 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】1星 【題型】解答

6、 【解析】 根據(jù)乘法原理，經(jīng)過(guò)王明家到張老師家的走法一共有種方法，從學(xué)而思學(xué)校直接去張老師家一共有3條路可走，根據(jù)加法原理，一共有種走法【答案】【鞏固】 如下圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丙地有4條路，從甲地到丁地有3條路可走，從丁地到丙地也有3條路，請(qǐng)問(wèn)從甲地到丙地共有多少種不同走法？ 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】1星 【題型】解答 【解析】 從甲地到丙地有兩種方法：第一類，從甲地經(jīng)過(guò)乙地到丙地，根據(jù)乘法原理，走法一共有種方法，；第二類，從甲地經(jīng)過(guò)丁地到丙地，一共有種方法根據(jù)加法原理，一共有種走法【答案】【鞏固】 王老師從重慶到南京，他可以乘飛機(jī)、汽車直接到達(dá)，也可以先到武漢，再

7、由武漢到南京他從重慶到武漢可乘船，也可乘火車；又從武漢到南京可以乘船、火車或者飛機(jī)，如圖那么王老師從重慶到南京有多少種不同走法呢？ 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 從重慶到南京的走法有兩類：第一類從重慶經(jīng)過(guò)武漢去南京，根據(jù)乘法原理，有(種)走法；第二類不經(jīng)過(guò)武漢，有2種走法根據(jù)加法原理，從重慶到南京一共有種不同走法【答案】【例 5】 某條鐵路線上，包括起點(diǎn)和終點(diǎn)在內(nèi)原來(lái)共有7個(gè)車站，現(xiàn)在新增了3個(gè)車站，鐵路上兩站之間往返的車票不一樣，那么，這樣需要增加多少種不同的車票？ 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 1、新站為起點(diǎn)，舊站為終

8、點(diǎn)有37=21張，2、舊站為起點(diǎn)，新站為終點(diǎn)有73=21張，3、起點(diǎn)、終點(diǎn)均為新站有32=6張，以上共有21216=48張【答案】48【例 6】 如右圖所示，每個(gè)小正三角形邊長(zhǎng)為1，小蟲每步走過(guò)1，從A出發(fā)，走4步恰好回到A的路有（ ）條(途中不再回A) 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，四年級(jí)，初賽，第8題，五年級(jí)，初賽，第12題【解析】 因?yàn)榈谝弧⑷降降狞c(diǎn)一定是以A為中心的六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)，根據(jù)一定的規(guī)則進(jìn)行計(jì)數(shù)：（1） 第一步與第三步是同一個(gè)點(diǎn)的情況有：65=30（種）（2） 第一步與第三步不是同一個(gè)點(diǎn)的情況有：46=24（種） 所以共有30+24

9、=54（種）【答案】種【例 7】 如下圖，八面體有12條棱，6個(gè)頂點(diǎn)一只螞蟻從頂點(diǎn)出發(fā)，沿棱爬行，要求恰好經(jīng)過(guò)每一個(gè)頂點(diǎn)一次問(wèn)共有多少種不同的走法？ 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 走完6個(gè)頂點(diǎn)，有5個(gè)步驟，可分為兩大類：第二次走點(diǎn)：就是意味著從點(diǎn)出發(fā)，我們要先走，中間的一點(diǎn)，再經(jīng)過(guò)點(diǎn)，但之后只能走，點(diǎn)，最后選擇后面兩點(diǎn)有種(從到的話，是不能到的)；第二次不走：有種(同理，不能到)；共計(jì)：種【答案】【例 8】 有3所學(xué)校共訂300份中國(guó)少年報(bào)，每所學(xué)校訂了至少98份，至多102份問(wèn)：一共有多少種不同的訂法？【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3星 【題型】解答

10、 【解析】 可以分三種情況來(lái)考慮：3所學(xué)校訂的報(bào)紙數(shù)量互不相同，有98，100，102；99，100，101兩種組合，每種組各有種不同的排列，此時(shí)有種訂法3所學(xué)校訂的報(bào)紙數(shù)量有2所相同，有98，101，101；99，99，102兩種組合，每種組各有3種不同的排列，此時(shí)有種訂法3所學(xué)校訂的報(bào)紙數(shù)量都相同，只有100，100，100一種訂法由加法原理，不同的訂法一共有種【答案】【例 9】 玩具廠生產(chǎn)一種玩具棒，共4節(jié)，用紅、黃、藍(lán)三種顏色給每節(jié)涂色。這家玩具廠共可生產(chǎn) 種顏色不同的玩具棒。【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，五年級(jí)，初賽，第10題【解析】 總共有

11、45種，分三類：只有一種顏色的有：3種；有兩種顏色的有：；有種顏色的有：所以共有：（種）【答案】種【例 10】 如果從3本不同的語(yǔ)文書、4本不同的數(shù)學(xué)書、5本不同的外語(yǔ)書中選取2本不同學(xué)科的書閱讀，那么共有多少種不同的選擇？【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 因?yàn)閺?qiáng)調(diào)2本書來(lái)自不同的學(xué)科，所以共有三種情況：來(lái)自語(yǔ)文、數(shù)學(xué)：34=12；來(lái)自語(yǔ)文、外語(yǔ)：35=15；來(lái)自數(shù)學(xué)、外語(yǔ)：45=20；所以共有121520=47【答案】47【例 11】 過(guò)年了，媽媽買了7件不同的禮物，要送給親朋好友的5個(gè)孩子每人一件其中姐姐的兒子小強(qiáng)想從智力拼圖和遙控汽車中選一個(gè)，朋友的女兒小

12、玉想從學(xué)習(xí)機(jī)和遙控汽車中選一件那么媽媽送出這5件禮物共有_種方法 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級(jí)，決賽，7題【解析】 假如給小強(qiáng)的是智力拼圖，則有（種）方法假如給小強(qiáng)的是遙控汽車，則有（種）方法總共有（種）方法【答案】種【例 12】 某件工作需要鉗工2人和電工2人共同完成現(xiàn)有鉗工3人、電工3人，另有1人鉗工、電工都會(huì)從7人中挑選4人完成這項(xiàng)工作，共有多少種方法？ 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 分兩類情況討論：都會(huì)的這1人被挑選中，則有：如果這人做鉗工的話，則再按乘法原理，先選一名鉗工有 3種方法，再選2名電工也

13、有3種方法；所以有種方法；同樣，這人做電工，也有9種方法都會(huì)的這一人沒(méi)有被挑選，則從3名鉗工中選2人，有3種方法；從3名電工中選2人，也有3種方法，一共有種方法所以，根據(jù)加法原理，一共有種方法【答案】【例 13】 某信號(hào)兵用紅，黃，藍(lán)，綠四面旗中的三面從上到下掛在旗桿上的三個(gè)位置表示信號(hào)每次可掛一面，二面或三面，并且不同的順序，不同的位置表示不同的信號(hào)一共可以表示出多少種不同的信號(hào)？ 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 由于每次可掛一面、二面或三面旗子，我們可以根據(jù)旗桿上旗子的面數(shù)分三類考慮：第一類，可以從四種顏色中任選一種，有4種表示法； 第二類，要分兩步完成：

14、第一步，第一面旗子可以從四種顏色中選一種，有4種選法；第二步，第二面旗子可從剩下的三種中選一種，有3種選法根據(jù)乘法原理，共有種表示法； 第三類，要分三步完成：第一步，第一面旗子可以從四種顏色中選一種，有4種選法；第二步，第二面旗子可從剩下的三種中選一種，有3種選法；第三步，第三面旗子可從剩下的兩種顏色中選一種，有2種選法根據(jù)乘法原理，共有種表示法 根據(jù)加法原理，一共可以表示出種不同的信號(hào)【答案】【鞏固】 五面五種顏色的小旗，任意取出一面、兩面或三面排成一行表示各種信號(hào)，問(wèn)：共可以表示多少種不同的信號(hào)？ 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 分3種情況：取出一面，有5

15、種信號(hào)；取出兩面：可以表示種信號(hào)；取出三面：可以表示：種信號(hào)；由加法原理，一共可以表示：種信號(hào)【答案】【例 14】 五種顏色不同的信號(hào)旗，各有5面，任意取出三面排成一行，表示一種信號(hào)，問(wèn)：共可以表示多少種不同的信號(hào)？ 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 方法一：取出的3面旗子，可以是一種顏色、兩種顏色、三種顏色，應(yīng)按此進(jìn)行分類 一種顏色： 5種可能； 兩種顏色： 三種顏色： 所以，一共可以表示種不同的信號(hào)方法二：每一個(gè)位置都有5種顏色可選，所以共有種【答案】【鞏固】 紅、黃、藍(lán)、白四種顏色不同的小旗，各有2，2，3，3面，任意取出三面按順序排成一行，表示一種信號(hào)，

16、問(wèn)：共可以表示多少種不同的信號(hào)？如果白旗不能打頭又有多少種？ 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 (一)取出的3面旗子，可以是一種顏色、兩種顏色、三種顏色，應(yīng)按此進(jìn)行分類第一類，一種顏色：都是藍(lán)色的或者都是白色的，2種可能；第二類，兩種顏色： 第三類，三種顏色： 所以，根據(jù)加法原理，一共可以表示種不同的信號(hào)(二)白棋打頭的信號(hào)，后兩面旗有種情況所以白棋不打頭的信號(hào)有種【答案】【例 15】 小紅和小明舉行象棋比賽，按比賽規(guī)定，誰(shuí)先勝頭兩局誰(shuí)贏，如果沒(méi)有勝頭兩局，誰(shuí)先勝三局誰(shuí)贏共有 種可能的情況 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】1星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】清華附

17、中【解析】 小紅和小明如果有誰(shuí)勝了頭兩局，則勝者贏，此時(shí)共2種情況；如果沒(méi)有人勝頭兩局，即頭兩局中兩人各勝一局，則最少再進(jìn)行兩局、最多再進(jìn)行三局，必有一人勝三局，如果只需再進(jìn)行兩局，則這兩局的勝者為同一人，對(duì)此共有種情況；如果還需進(jìn)行三局，則后三局中有一人勝兩局，另一人只勝一局，且這一局不能為最后一局，只能為第三局或第四局，此時(shí)共有種情況，所以共有種情況【答案】【例 16】 玩具廠生產(chǎn)一種玩具棒，共節(jié)，用紅、黃、藍(lán)三種顏色給每節(jié)涂色這家廠共可生產(chǎn)_種顏色不同的玩具棒 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 每節(jié)有種涂法，共有涂法(種)但上述種涂法中，有些涂法屬于重復(fù)計(jì)

18、算，這是因?yàn)橛行┯螒虬舻惯^(guò)來(lái)放時(shí)的顏色與順著放時(shí)的顏色一樣，卻被我們當(dāng)做兩種顏色計(jì)算了兩次可以發(fā)現(xiàn)只有游戲棒的顏色關(guān)于中點(diǎn)對(duì)稱時(shí)才沒(méi)有被重復(fù)計(jì)算，關(guān)于中點(diǎn)對(duì)稱的游戲棒有(種)故玩具棒最多有種不同的顏色【答案】【例 17】 奧蘇旺大陸上的居民使用的文字非常獨(dú)特，他們文字的每個(gè)單詞都由個(gè)字母、組成，并且所有的單詞都有著如下的規(guī)律，字母不打頭，單詞中每個(gè)字母后邊必然緊跟著字母，和不會(huì)出現(xiàn)在同一個(gè)字母之中，那么由四個(gè)字母構(gòu)成的單詞一共有多少種？ 【考點(diǎn)】加乘原理之綜合運(yùn)用 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 分為三種：第一種：有兩個(gè)的情況只有1種 第二種，有一個(gè)的情況，又分3類第一類，在第一個(gè)位置，則在第二個(gè)位置，后邊的排列有種，減去、同時(shí)出現(xiàn)的兩種，總共有14種，第二類，在第二個(gè)位置，則在第三個(gè)位置，總共有種.第三類，在第三個(gè)位置，則在第四個(gè)位置，總共有種. 第三種，沒(méi)有的情況:分別計(jì)算沒(méi)有的情況:種.沒(méi)有的情況：種.沒(méi)有、的情況：種.由容斥原理得到一共有種.所以，根據(jù)加法原理，一共有種【答案】【例 18】 從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4人參加接力賽，求滿足下列條件的參賽方案各有多少種：甲不能跑第一棒和第四棒；甲