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1、第三節(jié) 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù),協(xié)方差 相關(guān)系數(shù) 課堂練習(xí) 小結(jié),前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差,對于二維隨機(jī)變量(X,Y),我們除了討論X與Y的數(shù)學(xué)期望和方差以外,還要討論描述X和Y之間關(guān)系的數(shù)字特征,這就是本講要討論的,協(xié)方差和相關(guān)系數(shù),量E X-E(X)Y-E(Y) 稱為隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差,記為Cov(X,Y) ,即, Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y), Cov(X,Y)= Cov(Y,X),一、協(xié)方差,2.簡單性質(zhì), Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常數(shù),Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) ,1.定義,
2、Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y),可見,若X 與 Y 獨立, Cov(X,Y)= 0 .,3. 計算協(xié)方差的一個簡單公式,由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì),可得,Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) ,=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y),即,D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y),4. 隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系,特別地,協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系,但它還受X與Y本身度量單位的影響.,為了克服這一缺點,對協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化,這就引入了相關(guān)系數(shù) .,二、相關(guān)系數(shù),為隨機(jī)變
3、量 X 和 Y 的相關(guān)系數(shù) .,在不致引起混淆時,記 為 .,相關(guān)系數(shù)的性質(zhì):,由于當(dāng)X和Y獨立時,Cov(X,Y)= 0.,故,= 0,請看下例.,2. X和Y獨立時, =0,但其逆不真.,事實上,X的密度函數(shù),例1 設(shè)X服從(-1/2, 1/2)內(nèi)的均勻分布 , 而Y=cos X,不難求得,存在常數(shù) a,b(b0),,使 PY= a + b X=1,,即 X 和 Y 以概率 1 線性相關(guān).,因而 =0,,即X和Y不相關(guān) .,但Y與X有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系,,即X和Y不獨立 .,相關(guān)系數(shù)刻劃了X和Y間“線性相關(guān)”的程度.,若 =0, Y 與 X 無線性關(guān)系;,若0| |1,| | 的值越接近于1,
4、 Y 與 X 的線性相關(guān)程度越高;,| | 的值越接近于0, Y與X的線性相關(guān)程度越弱.,但對下述情形,獨立與不相關(guān)等價,前面,我們已經(jīng)看到:,若 X 與 Y 獨立,則X與Y不相關(guān),,但由X與Y不相關(guān),不一定能推出X與Y獨立.,三、課堂練習(xí),1、,2、,1、解,2、解,四、小結(jié),這一節(jié)我們介紹了協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、,相關(guān)系數(shù)是刻劃兩個變量間線性相關(guān)程度的一個重要的數(shù)字特征.,注意獨立與不相關(guān)并不是等價的.,當(dāng)(X,Y) 服從二維正態(tài)分布時,有,第四節(jié) 矩、協(xié)方差矩陣,原點矩 中心矩 協(xié)方差矩陣 布置作業(yè),一、 原點矩 中心矩,定義 設(shè)X和Y是隨機(jī)變量,若,存在,稱它為X的k階原點矩,簡稱 k階矩,存在,稱它為X的k階中心矩,可見,均值 E(X)是X一階原點矩,方差D(X),是X的二階中心矩。,協(xié)方差Cov(X,Y)是X和Y的二階混合中心矩.,稱它為 X 和 Y 的 k+L 階混合(原點)矩.,稱它為X 和 Y 的 k+L 階混合中心矩.,可見,,二、協(xié)方差矩陣,將二維隨機(jī)變量(X1,X2)的四個二階中心矩,排成矩陣的形式:,稱此矩陣為(X1,X2)的協(xié)方差矩陣.,類似定義n 維隨機(jī)變量(X1,X2, ,Xn) 的協(xié)方差矩陣
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