協(xié)方差及相關系數(shù)

1、第三節(jié) 協(xié)方差及相關系數(shù),協(xié)方差 相關系數(shù) 課堂練習 小結,前面我們介紹了隨機變量的數(shù)學期望和方差，對于二維隨機變量（X，Y），我們除了討論X與Y的數(shù)學期望和方差以外，還要討論描述X和Y之間關系的數(shù)字特征，這就是本講要討論的,協(xié)方差和相關系數(shù),量E X-E(X)Y-E(Y) 稱為隨機變量X和Y的協(xié)方差,記為Cov(X,Y) ，即, Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y), Cov(X,Y)= Cov(Y,X),一、協(xié)方差,2.簡單性質, Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常數(shù),Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) ,1.定義,

2、Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y),可見，若X 與 Y 獨立， Cov(X,Y)= 0 .,3. 計算協(xié)方差的一個簡單公式,由協(xié)方差的定義及期望的性質，可得,Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) ,=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y),即,D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y),4. 隨機變量和的方差與協(xié)方差的關系,特別地,協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關系，但它還受X與Y本身度量單位的影響.,為了克服這一缺點，對協(xié)方差進行標準化，這就引入了相關系數(shù) .,二、相關系數(shù),為隨機變

3、量 X 和 Y 的相關系數(shù) .,在不致引起混淆時，記 為 .,相關系數(shù)的性質：,由于當X和Y獨立時，Cov(X,Y)= 0.,故,= 0,請看下例.,2. X和Y獨立時， =0，但其逆不真.,事實上，X的密度函數(shù),例1 設X服從(-1/2, 1/2)內的均勻分布 , 而Y=cos X,不難求得,存在常數(shù) a,b(b0），,使 PY= a + b X=1，,即 X 和 Y 以概率 1 線性相關.,因而 =0，,即X和Y不相關 .,但Y與X有嚴格的函數(shù)關系，,即X和Y不獨立 .,相關系數(shù)刻劃了X和Y間“線性相關”的程度.,若 =0， Y 與 X 無線性關系;,若0| |1,| | 的值越接近于1,

4、 Y 與 X 的線性相關程度越高;,| | 的值越接近于0, Y與X的線性相關程度越弱.,但對下述情形，獨立與不相關等價,前面，我們已經看到：,若 X 與 Y 獨立，則X與Y不相關，,但由X與Y不相關，不一定能推出X與Y獨立.,三、課堂練習,1、,2、,1、解,2、解,四、小結,這一節(jié)我們介紹了協(xié)方差、相關系數(shù)、,相關系數(shù)是刻劃兩個變量間線性相關程度的一個重要的數(shù)字特征.,注意獨立與不相關并不是等價的.,當(X,Y) 服從二維正態(tài)分布時，有,第四節(jié) 矩、協(xié)方差矩陣,原點矩 中心矩 協(xié)方差矩陣 布置作業(yè),一、 原點矩 中心矩,定義 設X和Y是隨機變量，若,存在，稱它為X的k階原點矩，簡稱 k階矩,存在，稱它為X的k階中心矩,可見，均值 E（X）是X一階原點矩，方差D（X）,是X的二階中心矩。,協(xié)方差Cov(X,Y)是X和Y的二階混合中心矩.,稱它為 X 和 Y 的 k+L 階混合（原點）矩.,稱它為X 和 Y 的 k+L 階混合中心矩.,可見，,二、協(xié)方差矩陣,將二維隨機變量（X1,X2）的四個二階中心矩,排成矩陣的形式:,稱此矩陣為（X1,X2）的協(xié)方差矩陣.,類似定義n 維隨機變量(X1,X2, ,Xn) 的協(xié)方差矩陣