第二章 離散型隨機(jī)變量

1、第二章 離散型隨機(jī)變量,2.1 隨機(jī)變量 2.2一維離散型隨機(jī)變量 2.3一維分布函數(shù) 2.4二維離散型隨機(jī)變量 2.5條件分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性 2.6隨機(jī)變量函數(shù)的分布,在第一章中，我們用樣本空間的子集，即基本事件的集合來(lái)表示隨機(jī)試驗(yàn)的各種結(jié)果，這種表示方式對(duì)全面討論隨機(jī)試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性及數(shù)學(xué)工具的運(yùn)用都有較大的局限。在本章中，我們將用實(shí)數(shù)來(lái)表示隨機(jī)試驗(yàn)的各種結(jié)果，即引入隨機(jī)變量的概念。這樣，不僅可以更全面揭示隨機(jī)試驗(yàn)的客觀存在的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，而且可使我們用（數(shù)學(xué)分析）微積分的方法來(lái)討論隨機(jī)試驗(yàn)。,在隨機(jī)試驗(yàn)中，如果把試驗(yàn)中觀察的對(duì)象與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，即建立對(duì)應(yīng)關(guān)系X，使其對(duì)試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果e，

2、都有一個(gè)實(shí)數(shù)X(e)與之對(duì)應(yīng)，,試驗(yàn)的結(jié)果e,實(shí)數(shù)X(e),對(duì)應(yīng)關(guān)系X,則X的取值隨著試驗(yàn)的重復(fù)而不同， X是一個(gè)變量，且在每次試驗(yàn)中，究竟取什么值事先無(wú)法預(yù)知，也就是說(shuō)X是一個(gè)隨機(jī)取值的變量。由此，我們很自然地稱(chēng)X為隨機(jī)變量。,關(guān)于隨機(jī)變量(及向量)的研究，是概率論的中心內(nèi)容這是因?yàn)?，?duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問(wèn)題有關(guān)的某個(gè)或某些量，而這些量就是隨機(jī)變量也可以說(shuō)：隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，一如數(shù)學(xué)分析中的常量與變量的區(qū)分那樣變量概念是高等數(shù)學(xué)有別于初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念同樣，概率論能從計(jì)算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個(gè)更高的理論體系

3、，其基礎(chǔ)概念是隨機(jī)變量。,2.1隨機(jī)變量的概念,定義2.1.1設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，=e是試驗(yàn)E的樣本空間，如果對(duì)于中的每一個(gè)樣本點(diǎn)e，有一實(shí)數(shù)X(e)與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)定義在上的實(shí)值函數(shù)X(e)就稱(chēng)為隨機(jī)變量。,由定義可知，隨機(jī)變量X(e)是以樣本空間為定義域的一個(gè)單值實(shí)值函數(shù)。,有關(guān)隨機(jī)變量定義的幾點(diǎn)說(shuō)明： (1)隨機(jī)變量X不是自變量的函數(shù)而是樣本點(diǎn)e的函數(shù)，常用大寫(xiě)字母X、Y、Z 或小寫(xiě)希臘字母、 等表示。 (2)隨機(jī)變量X隨著試驗(yàn)結(jié)果而取不同的值，因而在試驗(yàn)結(jié)束之前，只知道其可能的取值范圍，而事先不能預(yù)知它取什么值，對(duì)任意實(shí)數(shù)區(qū)間(a,b)，“aXb”的概率是確定的； (3)隨機(jī)變量X(e)

4、的值域即為其一切可能取值的全體構(gòu)成的集合； (4)引入隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量描述事件，而且事件的討論，可以納入隨機(jī)變量的討論中。,例2.1 一批產(chǎn)品中任意抽取20件作質(zhì)量檢驗(yàn)，作為檢驗(yàn)結(jié)果的合格品的件數(shù)用X表示，則X是隨機(jī)變量。X的一切可能取值為 0，1，2，20 X=0表示事件“抽檢的20件產(chǎn)品中沒(méi)有合格品”； X=1表示事件“抽檢的20件產(chǎn)品中恰有1件合格品”； X=k表示事件“抽檢的20件產(chǎn)品中恰有k件合格品”。,例2.2 一正整數(shù)n等可能地取1,2,3,15共十五個(gè)值，且設(shè)X=X(n)是除得盡n的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，則X是一個(gè)隨機(jī)變量，且有下表：,即可得X取各個(gè)可能值的概率為：,例2.

5、3 一個(gè)地鐵車(chē)站，每隔5分鐘有一列地鐵通過(guò)該站。一位乘客不知列車(chē)通過(guò)該站的時(shí)間，他在一個(gè)任意時(shí)刻到達(dá)該站，則他候車(chē)的時(shí)間X是一個(gè)隨機(jī)變量，而且X的取值范圍是 0，5,?,請(qǐng)舉幾個(gè)實(shí)際中隨機(jī)變量的例子,2.2 一維離散型隨機(jī)變量,一、 一維離散型隨機(jī)變量及其分布律,1、離散型隨機(jī)變量的概念（定義2.2.1),若某個(gè)隨機(jī)變量的所有可能取值是有限多個(gè)或可列無(wú)限多個(gè)，則稱(chēng)這個(gè)隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量。 討論隨機(jī)變量的目的是要研究其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，要知道離散型隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)規(guī)律必須且只須知道X的所有可能取值以及X取每一個(gè)可能值的概率。,2、分布律,設(shè)離散型隨機(jī)變量X，其所有可能取值為x1, x2, , x

6、k, , 且取這些值的概率依次為p1, p2, , pk, , 即,則稱(chēng)P(X=xk)=pk(k=1, 2, ) 為隨機(jī)變量X 的概率分布律，簡(jiǎn)稱(chēng)分布律。 分布律可用概率分布表 表示為：,P(X=xk)=pk, (k=1, 2, ) 而且滿足（1）P(X=xk)=pk0，(k=1, 2, ) （2）,分布律也可用概率分布圖表示：,或?qū)懽?X,解 設(shè)Ai 第i次射擊時(shí)命中目標(biāo)，i=1,2,3,4,5 則A1, A2，A5相互獨(dú)立，且 P(Ai)=p,i=1,2,5。SX=0,1,2,3,4,5,例2.4 某射手對(duì)目標(biāo)獨(dú)立射擊5次，每次命中目標(biāo)的概率為p，以X表示命中目標(biāo)的次數(shù)，求X的分布律。,解

7、:設(shè)Ai表示第i個(gè)零件不合格,它們之間互相獨(dú)立.,例2.5 用一臺(tái)機(jī)器獨(dú)立地制造3個(gè)同種零件,第i個(gè)零件不合格的概率為pi=1/(i+1), i=1,2,3.以X表示三個(gè)零件中不合格品的個(gè)數(shù)，求X的分布律。,X,二、常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布1.幾何分布,設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值是1,2,3,且 P(X=k)=(1-p)k-1p=qk-1p，k=1，2，3， , 其中0p1是參數(shù)，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從參數(shù)p為的幾何分布。,幾何分布背景：,隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果只有2種，A與,試驗(yàn)進(jìn)行到A發(fā)生為止的概率P(X=k)，即k次試驗(yàn)，前k-1次失敗，第k次成功。如射擊某個(gè)目標(biāo)，直到擊中為止。,2、（0，1）分

8、布 若隨機(jī)變量X的分布律為： P(X=k)=pk(1-p)1-k， k=0，1，(0p1) 則稱(chēng)X服從以p為參數(shù)的0-1分布，記為XB(1,p)。,0-1分布的分布律也可寫(xiě)成,即隨機(jī)變量只可能取0，1兩個(gè)值，且取1的概率為p，取0的概率為1-p (0p1)，亦即 P(X=1)=p， P(X=0)=1-p。,若某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，如產(chǎn)品是否合格，試驗(yàn)是否成功，擲硬幣是否出現(xiàn)正面等等，它們的樣本空間為S=e1,e2,我們總能定義一個(gè)服從0-1分布的隨機(jī)變量,即它們都可用0-1分布來(lái)描述，只不過(guò)對(duì)不同的問(wèn)題參數(shù)p的值不同而已。,3、超幾何分布（參見(jiàn)第一章）,4、二項(xiàng)分布,(1)貝努里(Ber

9、noulli)試驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)滿足： 1在相同條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)； 2每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生； 3在每次試驗(yàn)中，A發(fā)生的概率均一樣，即P(A)=p； 4各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的， 則稱(chēng)這種試驗(yàn)為貝努里概型或n重貝努里試驗(yàn)。 在n重貝努里試驗(yàn)中，人們感興趣的是事件A發(fā)生的次數(shù)。,以隨機(jī)變量X表示n次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，X可能取值為0,1,2,3,n。設(shè)每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率為p，,發(fā)生的概率為1-p=q。,(X=k)表示事件“n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)k次”，即,這里每一項(xiàng)表示k次試驗(yàn)中出現(xiàn)A，而另外n-k次試驗(yàn)中出現(xiàn),，且每一項(xiàng)兩兩互不相容，一共有Cnk項(xiàng)。,由4獨(dú)立性可

10、知每一項(xiàng)的概率均為pk(1-p)1-k，因此,此為n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)k次的概率計(jì)算公式，記為,（2）二項(xiàng)分布定義（P24）,若隨機(jī)變量X具有概率分布律,其中p+q=1，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從以n，p為參數(shù)的二項(xiàng)分布，記為XB(n,p) （或稱(chēng)貝努里分布）。 可以證明：,正好是二項(xiàng)式(p+q)n展開(kāi)式的一般項(xiàng)，故稱(chēng)二項(xiàng)分布。特別地，當(dāng)n=1時(shí)P(X=k)=pkq1-k(k=0,1)即為0-1分布。,例2.6 某廠長(zhǎng)有7個(gè)顧問(wèn)，假定每個(gè)顧問(wèn)貢獻(xiàn)正確意見(jiàn)的概率為0.6，且設(shè)顧問(wèn)與顧問(wèn)之間是否貢獻(xiàn)正確意見(jiàn)相互獨(dú)立?，F(xiàn)對(duì)某事可行與否個(gè)別征求各顧問(wèn)的意見(jiàn)，并按多數(shù)顧問(wèn)的意見(jiàn)作出決策，試求作出正確決策的概率

11、。,解 設(shè)X=k表示事件“7個(gè)顧問(wèn)中貢獻(xiàn)正確意見(jiàn)的人數(shù)”， 則X可能取值為0，1，2，7。 （視作7重貝努里實(shí)驗(yàn)中恰有k次發(fā)生，k個(gè)顧問(wèn)貢獻(xiàn)出正確意見(jiàn)）,XB(7,0.6)。 因此X的分布律為,所求概率為,例2.7 從某大學(xué)到火車(chē)站途中有6個(gè)交通崗,假設(shè)在各個(gè)交通崗是否遇到紅燈相互獨(dú)立,并且遇到紅燈的概率都是1/3。 (1)設(shè)X為汽車(chē)行駛途中遇到的紅燈數(shù),求X的分布律； (2)求汽車(chē)行駛途中至少遇到5次紅燈的概率。,解 (1)由題意，XB(6,1/3)，故X的分布律為：,例2.8 某人獨(dú)立地射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.02，射擊400次，求至少擊中目標(biāo)兩次的概率。,解 每次射擊看成一次試驗(yàn)，

12、設(shè)擊中次數(shù)為X， 則 XB(400,0.02)， X的分布律為,所求概率為,泊松(Poisson)定理 設(shè)0，n是正整數(shù)，若npn=，則對(duì)任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有,即當(dāng)隨機(jī)變量XB(n, p)，(n0,1,2,)，且n很大，p很小時(shí)，記=np，則,抽取的模型中有放回抽樣的情形，可以用二項(xiàng)分布來(lái)考察。,例2.8可用泊松定理計(jì)算。 取 =np=4000.028, 近似地有 P(X2)1 P(X0)P(X1) 1(18)e80.996981,5、泊松(Poisson)分布,若隨機(jī)變量X所有可能取值為0,1,2,，且,其中0是常數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為的泊松分布，記為XP()。,泊松定理表明，泊松分布是二

13、項(xiàng)分布的極限分布， 當(dāng)n很大，p很小時(shí)，二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù)=np的泊松分布。,例2.9 某商店出售某種商品，具歷史記錄分析，每月銷(xiāo)售量服從參數(shù)=5的泊松分布。問(wèn)在月初進(jìn)貨時(shí)，要庫(kù)存多少件此種商品，才能以0.999的概率充分滿足顧客的需要？,解 用X表示每月銷(xiāo)量，則XP()= P(5)。由題意，要求k，使得P(Xk)0.999，即,這里的計(jì)算通過(guò)查Poisson分布表(p.170)得到,=5,i=k+1=14時(shí),i=k+1=13時(shí),k+1=14，k=13 即月初進(jìn)貨庫(kù)存要13件。,例2.10 設(shè)某國(guó)每對(duì)夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為的泊松分布,且知一對(duì)夫婦有不超過(guò)1個(gè)孩子的概率為3e-2。求

14、任選一對(duì)夫婦,至少有3個(gè)孩子的概率。,解 由題意,2.3 一維分布函數(shù),前一節(jié)介紹的離散型隨機(jī)變量，我們可用分布律來(lái)完整地描述。而對(duì)于非離散型隨機(jī)變量，由于其取值不可能一個(gè)一個(gè)列舉出來(lái)，而且它們?nèi)∧硞€(gè)值的概率可能是零。例如：在測(cè)試燈泡的壽命時(shí)，可以認(rèn)為壽命X的取值充滿了區(qū)間0,+)，事件X=x0表示燈泡的壽命正好是x0,在實(shí)際中，即使測(cè)試數(shù)百萬(wàn)只燈泡的壽命，可能也不會(huì)有一只的壽命正好是x0，也就是說(shuō)，事件(X=x0)發(fā)生的頻率在零附近波動(dòng)，自然可以認(rèn)為P(X=x0)=0。 由于許多隨機(jī)變量的概率分布情況不能以其取某個(gè)值的概率來(lái)表示，因此我們往往關(guān)心隨機(jī)變量X取值落在某區(qū)間 (a,b上的概率(a

15、b)。 由于axb=xb-xa,(ab)，因此對(duì)任意xR，只要知道事件Xx發(fā)生的概率，則X落在(a,b的概率就立刻可得。因此我們用P(Xx)來(lái)討論隨機(jī)變量X的概率分布情況。P(Xx)：“隨機(jī)變量X取值不超過(guò)x的概率”。,定義 設(shè)X是一隨機(jī)變量（離散或非離散），X是任意實(shí)數(shù)，則實(shí)值函數(shù) F(x)P Xx， x(-，+) 稱(chēng)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。 有了分布函數(shù)定義，任意x1，x2R， x1x2，隨機(jī)變量X落在(x1,x2里的概率可用分布函數(shù)來(lái)計(jì)算： P x1X x2PX x2PXx1 F(x2)F(x1).,在這個(gè)意義上可以說(shuō)，分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，或者說(shuō)，分布函數(shù)完整地表示

16、了隨機(jī)變量的概率分布情況。,一、分布函數(shù)的概念,例2.11 設(shè)一汽車(chē)在開(kāi)往目的地的道路上需經(jīng)過(guò)3盞信號(hào)燈。每盞信號(hào)燈以概率1/2允許汽車(chē)通過(guò)或禁止汽車(chē)通過(guò)。以X表示汽車(chē)首次停下時(shí)，它已通過(guò)的信號(hào)燈的盞數(shù)(各信號(hào)燈工作相互獨(dú)立)。求X的分布律、分布函數(shù)以及概率,解 設(shè)p為每盞信號(hào)燈禁止汽車(chē)通過(guò)的概率，則 P(X=k)=p(1-p)k，k=0,1,2；P(X=3)=(1-p)3，故X的分布律為：,X的分布函數(shù)：,所求概率為,一般地，X是離散型隨機(jī)變量，其概率分布律為 P(X=xk)=pk, (k=1, 2, ) 則X的分布函數(shù)F(x)為,F(x)的圖像：非降，右連續(xù)，且在x1，x2 ，xk，處跳躍

17、。,二、分布函數(shù)的性質(zhì),1、單調(diào)不減性：若x1x2, 則F(x1)F(x2)； 2、歸一 性：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，0F(x)1，且,3、右連續(xù)性：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，,反之，具有上述三個(gè)性質(zhì)的實(shí)函數(shù)，必是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。故該三個(gè)性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。,事件(X=c)并非不可能事件，它是會(huì)發(fā)生的，也就是說(shuō)零概率事件也是有可能發(fā)生的。如X為被測(cè)燈泡的壽命。若燈泡壽命都在1000小時(shí)以上，而P(X=1000)=0，但事件(X=1000)是一定會(huì)發(fā)生的，否則不會(huì)出現(xiàn)事件(X1000)，所以 不可能事件的概率為零，但概率為零的事件不一定是不可能事件。 同樣，必然事件的概率為1，但概率為1的事件不一定

18、是必然事件。,例2.12 設(shè)隨機(jī)變量X具分布律如下表,解,試求出X的分布函數(shù)。,2.4.1聯(lián)合分布,1、二維隨機(jī)變量 設(shè) =e是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，X=X(e)，Y=Y(e)是定義在上的隨機(jī)變量，則由它們構(gòu)成的一個(gè)二維向量(X,Y)=(X(e), Y(e)稱(chēng)為二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量。 二維隨機(jī)變量(X,Y)的性質(zhì)不僅與X及Y有關(guān)，而且還依賴(lài)于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系。因此，單獨(dú)討論X和Y的性質(zhì)是不夠的，需要把(X,Y)作為一個(gè)整體來(lái)討論。隨機(jī)變量X常稱(chēng)為一維隨機(jī)變量。,一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù),一維隨機(jī)變量XR1上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)； 二維隨機(jī)變量(X,Y)R2上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)； n維隨機(jī)變

19、量(X1,X2,Xn)Rn上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo)。 多維隨機(jī)變量的研究方法也與一維類(lèi)似，用分布函數(shù)、概率密度、或分布律來(lái)描述其統(tǒng)計(jì)規(guī)律。,二、二維離散型隨機(jī)變量及其分布,1、二維離散型隨機(jī)變量 若二維隨機(jī)變量(X,Y)的所有可能取值是有限多對(duì)或可列無(wú)限多對(duì)，則稱(chēng)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量。,2、聯(lián)合分布律 設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，其所有可能取值為(xi,yi)，i=1,2,，j=1,2,。若(X,Y)取數(shù)對(duì)(xi,yi)的概率P(X=xi, Y=yi)=pij，滿足 (1)pij0 ；(2),則稱(chēng)P(X=xi, Y=yi)=pij ，i=1,2,，j=1,2,為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y

20、)的聯(lián)合分布律或分布律。,二維離散型隨機(jī)變量的分布律也可用概率分布表的形式表示為：,例2.15 設(shè)袋中有a+b個(gè)球，a只紅球，b只白球。今從中任取一球，觀察其顏色后將球放回袋中，并再加入與所取的球相同顏色的球c只，然后再?gòu)拇腥稳∫磺?，設(shè),求二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律。 解 X的可能取值為0，1，Y的可能取值為0，1。,表格形式略,例2.16 袋里有5個(gè)編號(hào)的球，其中1個(gè)球編號(hào)為1，有2個(gè)球編號(hào)均為2，有2個(gè)球編號(hào)均為3。每次從中任取兩個(gè)球，以X和Y分別表示這兩個(gè)球中編號(hào)最小的號(hào)碼和最大的號(hào)碼。求X和Y的聯(lián)合分布律。,解 (X,Y)的全部可能取值為(1,2),(1,3),(2,2),(2,

21、3),(3,3)，5個(gè)球從中任取2個(gè)，共有C52=10種取法。試驗(yàn)樣本點(diǎn)總數(shù)為10，,用表格表示為,定義2.4.3 設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，二元實(shí)值函數(shù) F(x,y)=P(XxYy)=P(Xx,Yy) x(-,+),y(-,+) 稱(chēng)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)，或稱(chēng)X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。 即F(x,y)為事件Xx與Yy同時(shí)發(fā)生的概率。,2、二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù),幾何意義： 若把二維隨機(jī)變量(X,Y)看成平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，則分布函數(shù)F(x,y)在(x,y)處的函數(shù)值F(x0,y0)就表示隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在區(qū)域 -X x0， -Y y0 中的概率。如圖陰影部分：,(x0,y0)

22、,x,y,O,對(duì)于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 )，則隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在矩形區(qū)域x1X x2，y1Yy2內(nèi)的概率可用分布函數(shù)表示為 P(x1X x2，y1Yy2) F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1),(x1, y1),(x2, y2),O x1 x2 x,y1,y2,y,(x1, y2),(x2, y1),分布函數(shù)F(x, y)具有如下性質(zhì)：,(1)對(duì)任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1。 (2)F(x, y)是變量x或y的非降(單調(diào)不減)函數(shù)，即 對(duì)任意yR, 當(dāng)x1x2時(shí)，F(xiàn)(x1,y)F(

23、x2,y)； 對(duì)任意xR, 當(dāng)y1y2時(shí)，F(xiàn)(x,y1)F(x,y2)。 (3),(4)函數(shù)F(x,y)關(guān)于x是右連續(xù)的，關(guān)于y也是右連續(xù)的，即對(duì)任意xR，yR，有,(5)對(duì)于任意(x1, y1)，(x2, y2)R2，(x1x2，y1y2)， F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)F(x1,y1)0。,反之，任一滿足上述五個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù)F(x,y)都可以作為某個(gè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)。,3 邊緣分布,一、二維隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù) 二維隨機(jī)變量(X,Y)作為一個(gè)整體，具有聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)，而X和Y都是隨機(jī)變量，各自也有它們的分布函數(shù)，記 X的分布函數(shù)為FX(x)

24、，稱(chēng)為隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)； Y的分布函數(shù)為FY(y)，稱(chēng)為隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)。 由分布函數(shù)的定義可得到聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)的關(guān)系,邊緣分布的幾何意義,FX(x)的函數(shù)值表示隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落入如下左圖所示區(qū)域內(nèi)的概率； FY(y)的函數(shù)值表示隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落入如下右圖所示區(qū)域內(nèi)的概率。,O x x,O x,y,y,y,二、二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律,由(X,Y)的聯(lián)合分布律P(Xxi,Yyjpij，i,j1,2,i1,2,j1,2,其中pi.和p.j分別為表示,的記號(hào)。,它們分別是事件(X=xi)和(Y=yj) 的概率，且有,pi.0，,p.

25、j0，,稱(chēng)P(Xxi)pi.，(i1, 2, ) 為二維離散型隨機(jī)變量(X, Y)關(guān)于X的邊緣分布律；,稱(chēng)P(Yyj)p.j，(j1, 2, ) 為二維離散型隨機(jī)變量(X, Y)關(guān)于Y的邊緣分布律。,以表格形式表示為,例2.17 已知(X,Y)的分布律為,故關(guān)于X和Y的邊緣分布律分別為：,求X、Y的邊緣分布律。,解,例2.18 設(shè)隨機(jī)變量(r.v.)X在1，2，3，4四個(gè)整數(shù)中等可能地取值，另一個(gè)r.v.在1至X中等可能地取一整數(shù)值，試求(X,Y)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律。,解 事件(X=i,Y=j)中i的取值為1、2、3、4，而j取不大于i的整數(shù)，因此,i=1,2,3,4，ji,i=1,2,

26、3,4,j=1,2,3,4,X和Y的邊緣分布律分別為,例2.19 一枚硬幣連續(xù)拋擲3次,每次正面出現(xiàn)的概率都是0.6, X:出現(xiàn)正面的次數(shù); Y:出現(xiàn)正面的次數(shù)與出現(xiàn)反面的次數(shù)之差. 求: (X,Y)的邊緣分布律及聯(lián)合分布律.,解:X=0,1,2,3.,Y=,Y=3,1,1,3.,XB(3,0.6),聯(lián)合分布律不同，而邊緣分布律可能相同，僅有邊緣分布律一般不能得到聯(lián)合分布律。即聯(lián)合分布律可以確定邊緣分布律，而邊緣分布律不一定能確定聯(lián)合分布律。,2.5 條件分布與 隨機(jī)變量的獨(dú)立性,稱(chēng)為Y=yi的條件下X的條件分布。同理定義X=xi的條件下Y的條件分布。,條件概率：,隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布

27、律為：,條件分布仍滿足性質(zhì)：,注意：其中條件是固定的。,例2.20 盒中有3黑,2紅,2白7只球,從中任取4只, X:取到的黑球個(gè)數(shù);Y:取到的紅球個(gè)數(shù). 求: (1)(X,Y)的聯(lián)合分布及邊緣分布; (2)事件A:取得的黑球數(shù)與紅球數(shù)相等,求P(A); (3)設(shè)聯(lián)合分布函數(shù)為F,求F(1,0.5),F(1,2.5),F(2.1,2.5) ,F(3,2). (4)條件概率P(Y=1|X=2),P(X=2|Y=2),及X=2(Y=2) 的條件下Y(X)的條件分布律.,解:X,Y的可能取值為,(2)P(X=Y)=P(X=Y=1)+P(X=Y=2)=12/35+3/35=3/7,(3)F(1,0.5

28、)=F()=0;,F(1,2.5)=F(X=0,Y=2)+,F(X=1,Y=1)+,F(X=2,Y=0)=21/35;,F(2.1,1.5)=F(X=1,Y=1)+,F(X=2,Y=1)+,F(X=1,Y=2)=13/35;,F(3,2)=1.,(4)P(Y=1|X=2)=,P(X=2|Y=2)=,P(Y=0|X=2)=,同理得P(Y=2|X=2)=1/6; P(X=0|Y=2)=1/10; P(X=1|Y=2)=6/10.,X=2(Y=2)下的條件分布律為:,定理2.5.1 X,Y是兩相互獨(dú)立的離散型隨機(jī)變量,這時(shí)聯(lián)合分布與邊緣分布可以相互確定.,如果Y=yj發(fā)生與否與X=xi的概率無(wú)關(guān),即

29、,由上述定理也可得到相互獨(dú)立是聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)也可以分離開(kāi)來(lái)的結(jié)論.并可以作為獨(dú)立性的定義來(lái)使用. 定義2.5.3 設(shè)F(x,y)是二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)，F(xiàn)X(x)，F(xiàn)Y(y)分別是X與Y的邊緣分布函數(shù)，若對(duì)一切x,yR，均有 P(Xx,Yy)=P(Xx) P(Yy) 即 F(x,y)= FX(x)FY(y) 則稱(chēng)隨機(jī)變量X與Y是相互獨(dú)立的。 隨機(jī)變量X與Y是相互獨(dú)立的充要條件是事件(Xx)與事件(Yy)相互獨(dú)立。,若(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為 P(X=xi,Y=yj)= pij ，i,j=1,2, 則X與Y相互獨(dú)立的充分必要條件是對(duì)任意i，j， P(X=

30、xi,Y=yj)= P(X=xi)P(Y=yj)，即pij =pipj 。 若(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量(未講到,但有類(lèi)似結(jié)論)，則由分布函數(shù)與概率密度函數(shù)的關(guān)系可知，X與Y相互獨(dú)立，即F(x,y)=FX(x)FY(y)成立的充分必要條件是f(x,y)=fX(x)fY(y)在平面上幾乎處處成立。,由上述結(jié)論可知，要判斷兩個(gè)隨機(jī)變量X與Y的獨(dú)立性，只需求出它們各自的邊緣分布，再看是否對(duì)(X,Y)的每一對(duì)可能取值點(diǎn),邊緣分布的乘積都等于聯(lián)合分布即可。,例2.21 已知(X,Y)的聯(lián)合分布律為,試確定常數(shù)a,b，使X與Y相互獨(dú)立。,解 先求出(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布律,要使X與Y相互獨(dú)立，可用pij =pipj來(lái)確定a,b 。 P(X=2,Y=2)= P(X=2)P(Y=2)， P(X=3,Y=2)= P(X=3)P(Y=2)，即,因此， (X,Y)的聯(lián)合分布律和邊緣分布律為,經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)X與Y是相互獨(dú)立的。,一、一維離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布律,2.6 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,設(shè)X一個(gè)隨