解析幾何第二章

1、解析幾何，第2章軌跡和方程，曲線和方程：定義：如果在平面上確定框架后方程與曲線有關(guān)系：(1) (x，y)滿足方程必須是曲線上某一點的坐標(biāo)；(2)曲線上任何一點的坐標(biāo)(x，y)滿足這個方程；這個方程叫做這條曲線的方程，這條曲線叫做方程的圖。曲線方程通常表示為：F(x，y)=0或y=f(x)，平面曲線方程，例1。求圓心在原點和半徑為r的圓的方程，解：普通方程x2 y2=R2，被轉(zhuǎn)換成普通方程xy=2 (x y2)，所以曲線是一個向量函數(shù)。當(dāng)移動點按照一定的規(guī)律移動時，其對應(yīng)的徑向矢量也隨著時間T(模數(shù)和方向的變化)而變化。這種徑向矢量被稱為可變矢量，它被記錄為R(。如果變量t(atb)的每個值對應(yīng)

2、于變量R的完整值(模數(shù)和方向)r(t)，則R是變量T的向量函數(shù)，表示為r=r(t) (atb)。向量函數(shù)的分量被表示，并且在平面上確定的幀是O；E1，e2，矢量函數(shù)可以表示為r(t)=x(t)e1 y(t)e2 (atb)。(1)，其中x (t)和y (t)是r(t)的分量，分別是變量t的函數(shù)。矢量參數(shù)方程，如果取(atb)的所有可能值，從(1)坐標(biāo)參數(shù)方程出發(fā)，曲線的參數(shù)方程通?？梢詫懗扇缦滦问剑哼@叫做曲線的坐標(biāo)參數(shù)方程。終點，總是在一條曲線上；相反，這條曲線上的任何點總是對應(yīng)于以它為終點的徑向向量，并且這個徑向向量可以完全由t到(1)的某個值t0(at0b)來確定，因此表達(dá)式(1)被稱為曲

3、線的向量參數(shù)方程，其中t是參數(shù)。例3表示的徑向向量r(t)。一個圓在直線上滾動而不滑動，并且在圓周上找到一個點p的軌跡。解決方法：取直角坐標(biāo)系，讓半徑為A的圓在X軸上滾動，起點P正好在原點。滾動一段時間后，圓與直線之間的切點移動到點A，圓的中心移動到點C。此時，有、和因為，所以點P的矢量參數(shù)方程為： r=a(-sin)i a(1-cos例4眾所周知，大圓的半徑是A，小圓的半徑是b。如果大圓不移動，小圓在大圓中滾動而不滑動，圓上某一點P的軌跡將移動。 參數(shù)方程為，例5將橢圓的普通方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程。方法1和方法2，讓y=tx b，將其代入原始方程，并求解。在第二個公式中，取t=0，得到x=0。因

4、此，在方法2中，如果u=-t，則得到橢圓的另一個表達(dá)式。注意：在第二個解中，讓y=tx b。此時，通過點(0，b)的y軸的斜率不存在，因此有必要補(bǔ)充點(0，-b)，或者在t時將其作為交點。在示例6中，方程y2(2a-x)=x3 (a0)是參數(shù)方程。解決方法：讓y=tx，并將其代入?yún)?shù)方程。注1:有些曲線只能用參數(shù)方程表示，不能用普通方程表示，即不能用x和y的初等函數(shù)表示。例如，注2:當(dāng)曲線的普通方程與參數(shù)方程互換時，我們必須注意兩種形式方程的等價性，即考慮參數(shù)的取值范圍。桶表面、臺燈蓋表面等。曲面在空間解析幾何中被視為點的幾何軌跡，曲面方程的定義：曲面的例子：曲面的方程，根據(jù)問題的含義，簡化得

5、到方程和解，例2得到兩個坐標(biāo)平面的平分線和二面角的方程。解：因為平分線平面是與兩個坐標(biāo)平面等距的點的軌跡，平分線平面上的充要條件是解是，根據(jù)問題的含義，方程是，特別是，當(dāng)球的中心在原點時，上、下半球的方程是：因此，球的一般方程可以從上面的方程獲得：相反，通過一般方程(*)，通過當(dāng)取可變區(qū)域中的所有值時，在徑向末端繪制的軌跡通常是曲面。曲面的矢量參數(shù)方程定義為：如果取所有可能的值，由(2)表示的徑向端點總是在曲面上；否則，這個曲面上的任何一點總是對應(yīng)于以它為終點的徑向，而這個徑向可以完全由(2)的值來確定，那么(2)被稱為曲面的向量參數(shù)方程，其中它是一個參數(shù)。曲面的坐標(biāo)參數(shù)方程，而表達(dá)式(3)稱

6、為曲面的坐標(biāo)參數(shù)方程。因為徑向向量的分量是0，所以曲面的參數(shù)方程經(jīng)常被寫入。在例1中，得到了以原點為中心、半徑為r的球面的參數(shù)方程。P，Q，因此，這是圓心在原點和半徑為r的球面的矢量參數(shù)方程。圓心在原點和半徑為r的球面的坐標(biāo)參數(shù)方程分別為(4)和(5)，其取值范圍分別為和。在例2中，得到了以z軸為對稱軸、半徑為r的圓柱面的參數(shù)方程。解：如圖所示，有，所以(6)，這是圓柱面的矢量參數(shù)方程。其坐標(biāo)參數(shù)方程為，(6)、(7)，是一個參數(shù)，其取值范圍為，和，球面坐標(biāo)系和柱面坐標(biāo)系，空間中的任何一點都可以視為球面上的一個點，但不同點所在的球面半徑不一樣。如果球面方程中的半徑變成一個變量，半徑和角度的變化

7、可以在空間中確定。在球面坐標(biāo)系中，它代表一個半平面。在球面坐標(biāo)系中，它表示錐面、柱面坐標(biāo)系和空間曲線的一般方程。曲線上的所有點都滿足方程，而不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程?？臻g曲線C可以看作是空間中兩個曲面的交點。特征：一般空間曲線方程，解：解：或?qū)戄S方程。該軸可視為兩個平面的交點，例如，在示例2中，在坐標(biāo)平面上找到半徑為R且原點為中心的圓的方程。方程組代表什么樣的曲線？解，對于圓柱面，對于平面，交點線是橢圓，例4方程，解，上半球，圓柱面，交點線如圖所示。你指的是什么樣的曲線？(viviani曲線Viviani)，空間曲線的參數(shù)方程，空間曲線的參數(shù)方程，示例53360如果空間點M在柱面x2 y2=a2上以角速度圍繞Z軸旋轉(zhuǎn)，并且同時以線速度V(其中V是常數(shù))沿著平行于Z軸的正方向上升，則由點M形成的圖形稱為圓柱螺旋線。嘗試建立其參數(shù)方程。解：將時間t作為參數(shù)，并且當(dāng)t=0時，移動點位于x軸上的點A(a，0，0)處。在時間t之后，它從a移動到m (x，y，z)，m在xOy平面上的投影是m (x，y，0)。(1)移動點在柱面上以角速度繞z軸旋轉(zhuǎn)，因此在時間t之后，aom=t，因此，x=| om |。Y=| om |螺旋線的參數(shù)方程為：x=acos y=asin z=b，當(dāng)從0變?yōu)?時，z從b 0變?yōu)閎 0 b，即m點的上升高度與om轉(zhuǎn)角成正比。特別是，當(dāng)=2時，m點的上升高