熱傳導(dǎo)+對(duì)流微分方程推導(dǎo)

1、熱傳導(dǎo)微分方程導(dǎo)熱又稱熱傳導(dǎo)，是兩個(gè)相互接觸的物體或同一物體的各部分之間，由于溫度不同而引起的熱量傳遞現(xiàn)象。此時(shí)熱量主要依靠分子、原子及自由電子等微觀粒子的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行傳遞，沒(méi)有明顯的物質(zhì)轉(zhuǎn)移。熱量可以通過(guò)固體、液體以及氣體進(jìn)行傳導(dǎo)，但是嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，單純的導(dǎo)熱只發(fā)生在密實(shí)的固體物質(zhì)中。1 傅立葉定律傅立葉定律是導(dǎo)熱理論的基礎(chǔ)。其向量表達(dá)式為: (2-1)式中:熱流密度，是一個(gè)向量，溫度梯度，也是一個(gè)向量，/m 。導(dǎo)熱系數(shù)，又稱熱導(dǎo)率，；式中的負(fù)號(hào)表示的方向始終與相反。2 導(dǎo)熱系數(shù)（thermal conductivity）及其影響因素導(dǎo)熱系數(shù)（）是熱傳導(dǎo)過(guò)程中一個(gè)重要的比例常數(shù)，在數(shù)值上等于每小時(shí)每

2、平方米面積上，當(dāng)物體內(nèi)溫度梯度為1/m時(shí)的導(dǎo)熱量。導(dǎo)熱系數(shù)是指在穩(wěn)定傳熱條件下，1m厚的材料，兩側(cè)表面的溫差為1度（K，C）,在1秒內(nèi)，通過(guò)1平方米面積傳遞的熱量，用表示，單位為瓦/米度，w/mk（W/mK,此處的K可用代替）。導(dǎo)熱系數(shù)為溫度梯度1/m，單位時(shí)間通過(guò)每平方米等溫面的熱傳導(dǎo)熱流量。單位是：W/(mK)。 在上述假設(shè)前提下，建立煤層瓦斯流動(dòng)數(shù)學(xué)模型的控制方程。3熱傳導(dǎo)微分方程推導(dǎo)在t時(shí)刻w界面的溫度梯度為在t時(shí)刻e界面的溫度梯度為單位時(shí)間內(nèi)六面體在方向流入的熱流量為：；單位時(shí)間內(nèi)六面體在方向流出的熱流量為：；單位時(shí)間內(nèi)六面體在方向流入的凈熱量為：PzxyesxnbtwWENSTB圖

3、3-1 微分單元體各面上進(jìn)出流量示意圖Figure3-1 The figure of flow in and out on every surface of differential unit同理，單位時(shí)間內(nèi)六面體在y方向流入的凈熱量為：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)六面體在y方向流入的凈熱量為：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流入六面體的總熱量為： (3-1)六面體內(nèi)介質(zhì)的質(zhì)量為:單位時(shí)間六面體內(nèi)熱量的變化量（增加）為: 根據(jù)熱量守恒定律: 稱為熱擴(kuò)散率或熱擴(kuò)散系數(shù)（thermal diffusivity），單位m2/s. :導(dǎo)熱系數(shù)，單位W/(mK)； ：密度，單位kg/m3 c：熱容，單位J/(kgK).思考：如果單元體內(nèi)有熱源

4、：?jiǎn)挝惑w積單位時(shí)間的散熱量是q 方程怎么變？4巖石的熱擴(kuò)散率（導(dǎo)溫系數(shù)) thermal diffusion coefficient ;thermal diffusivity; thermal degradation巖石的熱擴(kuò)散率也叫或熱擴(kuò)散系數(shù)，表示巖石在加熱或冷卻時(shí)各部分溫度趨于一致的能力。它反映巖石的熱慣性特征，是一個(gè)綜合性參數(shù)。熱擴(kuò)散率越大的巖石，熱能傳播溫度趨于一致的速度越大，透入的深度也越大。熱擴(kuò)散系數(shù)一般是根據(jù)巖石的導(dǎo)熱系數(shù)(ramuda)、和密度(rou)的測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算得到的。如果單元體內(nèi)有熱源：?jiǎn)挝惑w積單位時(shí)間的散熱量是q 則在 左邊增加熱源散發(fā)的熱量，方程變?yōu)椋?如果是流體

5、除了熱傳導(dǎo)外，還有流體流動(dòng)帶入和帶出微元體的熱量PzxyesxnbtwWENSTB圖3-1 微分單元體各面上進(jìn)出流量示意圖Figure3-1 The figure of flow in and out on every surface of differential unit在t時(shí)刻w界面流體速度為U，流體溫度為T單位時(shí)間流入微元體的流體質(zhì)量為： 帶入微元體的熱量為：e界面流體速度為,流體溫度為單位時(shí)間流出微元體的流體質(zhì)量為：帶出微元體的熱量為: 如果不考慮x方向速度變化，略去高階微量，則e界面帶出微元體的熱量為：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)在方向流入六面體的凈熱流量為：；同理， y方向： z方向：將上述三項(xiàng)加

6、入到熱傳導(dǎo)方程（左邊，進(jìn)入微元體的熱量）： （能量方程）2.2巷壁與風(fēng)流間的對(duì)流換熱運(yùn)動(dòng)著的流體與所接觸的固體壁面之間的熱量傳遞過(guò)程稱為對(duì)流換熱，它是流體(液體或氣體)由于宏觀相對(duì)運(yùn)動(dòng)，從某一區(qū)域遷移到溫度不同的另一區(qū)域時(shí)引起熱量傳遞的現(xiàn)象。固體壁面與流體之間存在溫度差將產(chǎn)生對(duì)流換熱，由于實(shí)際流體的粘性和壁面摩擦的共同影響，近壁流體分層流動(dòng)，尤其與壁面直接接觸的幾何面上，總有一層很薄的流體粘附于表面，該層流體處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以熱流通過(guò)表面層的傳遞只能依靠導(dǎo)熱。顯然，在流體發(fā)生熱對(duì)流的同時(shí)，由于流體中溫度分布的不均勻，也將伴隨產(chǎn)生導(dǎo)熱現(xiàn)象。因此，對(duì)流換熱過(guò)程實(shí)際上是熱對(duì)流和熱傳導(dǎo)的綜合作用過(guò)程。

7、牛頓冷卻公式對(duì)流換熱過(guò)程是一個(gè)受很多因素影響的復(fù)雜過(guò)程，如流體的流動(dòng)狀況、流體的物理性質(zhì)、壁的形狀和大小、表面粗糙度等。一般情況下對(duì)流換熱的計(jì)算可采用牛頓冷卻公式。根據(jù)對(duì)流換熱定律，可以計(jì)算出從壁面某處進(jìn)入通風(fēng)風(fēng)流的顯熱熱流密度： (3)式中：= 巷道壁面的溫度；= 巷道內(nèi)風(fēng)流的平均溫度；= 巷道壁面的換熱系數(shù)。在圍巖與風(fēng)流的熱交換過(guò)程中，多半是井巷低溫風(fēng)流流經(jīng)高溫巖壁，井巷壁面向風(fēng)流放熱，所以礦內(nèi)常把上式中的對(duì)流換熱系數(shù)（）稱為巷壁與風(fēng)流的換熱系數(shù)，簡(jiǎn)稱為放熱系數(shù)。TTw圓形巷道（柱體）圍巖與風(fēng)流換熱控制方程地?zé)嵬ㄟ^(guò)圍巖向風(fēng)流的傳熱現(xiàn)象與圍巖本身的熱傳導(dǎo)、巷道壁面向風(fēng)流的對(duì)流換熱以及壁面上的水分蒸發(fā)等因素有關(guān)。由于實(shí)際情況下圍巖的散熱是一個(gè)很復(fù)雜的過(guò)程，為了方便本論文的研究，對(duì)要研究的物理模型做了簡(jiǎn)化和假設(shè)：1) 巷道為圓形、無(wú)限擴(kuò)展，圍巖巖石均質(zhì)、各向同性；2) 不考慮圍巖壁面的熱輻射作用。根據(jù)上述假設(shè)，可得到描述考慮壁面水分蒸發(fā)時(shí)圍巖與風(fēng)流熱質(zhì)傳遞的數(shù)學(xué)方程，如式（3-1）： (3-1)式中：R調(diào)熱圈半徑，m；其他符號(hào)的意義同前章所述。圖3-1 巷道圍巖內(nèi)節(jié)點(diǎn)劃分Fig.3-1 N