第三模塊--坐標(biāo)系及其變換

1、模塊三 坐標(biāo)及其變換,課題一 坐標(biāo)平移 課題二 極坐標(biāo)與參數(shù)方程 課題三 切點(diǎn) 課題四 空間曲面,坐標(biāo)平移,課 題 一,1.理解坐標(biāo)平移的定義,領(lǐng)會(huì)坐標(biāo)平移的 必要性和實(shí)際意義;,2.掌握坐標(biāo)平移公式,能夠運(yùn)用坐標(biāo)平移 公式的計(jì)算。,教學(xué)目標(biāo),下圖為一個(gè)要車削的工件，在為數(shù)控機(jī)床編制程序時(shí)，要從圓弧 過(guò)渡到圓弧 時(shí)，怎樣設(shè)計(jì)坐標(biāo)系，才能使所得到的每一段圓弧的方程盡量地簡(jiǎn)單，從而有利于程序的編制和機(jī)械加工呢？,課題提出,課題分析,選取圓弧 的圓心O為坐標(biāo)系的原點(diǎn),能得到該圓弧的方程為 。,相應(yīng)圓弧 的方程為,若將坐標(biāo)原點(diǎn)選取在,區(qū)別二圓的位置及其方程的繁簡(jiǎn)程度 。,一、定義,不改變坐標(biāo)軸的方向和

2、長(zhǎng)度單位，只把坐標(biāo)系的原點(diǎn)平移到某一個(gè)定點(diǎn)，使其變成一個(gè)新的坐標(biāo)系，叫做坐標(biāo)系的平移變換，簡(jiǎn)稱為坐標(biāo)平移。,相關(guān)知識(shí),二、坐標(biāo)平移公式,平面上任意一點(diǎn)P在坐標(biāo)系XOY中的坐標(biāo)是(x,y)，在坐標(biāo)系 中的坐標(biāo)是,設(shè) 點(diǎn)在坐標(biāo)系XOY中的坐標(biāo)為,平移變換公式是,或,例 平移坐標(biāo)軸，化簡(jiǎn)圓的方程。,解：已知圓的方程為,把原來(lái)坐標(biāo)系平移，變換為以,為原點(diǎn)的新坐標(biāo)系,根據(jù)坐標(biāo)平移公式：,方程化簡(jiǎn)為,極坐標(biāo)與參數(shù)方程,課 題 二,1.理解極坐標(biāo)的概念,能夠計(jì)算點(diǎn)的極坐標(biāo) 以及求曲線的極坐標(biāo)方程;,2.理解極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系,掌握點(diǎn)的 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式;,教學(xué)目標(biāo),3.理解參數(shù)方程的概念,能夠

3、建立曲線的參 數(shù)方程;,4.能夠運(yùn)用極坐標(biāo)或參數(shù)方程的相關(guān)知識(shí) 解決實(shí)際問(wèn)題。,上圖為機(jī)械傳動(dòng)中常見(jiàn)的阿基米德螺線，又稱為等速螺線。它是由一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M沿著一條射線l做等速直線運(yùn)動(dòng)（速度為v），同時(shí)這條射線又繞著它的端點(diǎn)O做等角速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)（角速度為 ）所形成的軌跡.,課題提出,試求該軌跡方程？,課題分析,動(dòng)點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)時(shí),它和原點(diǎn)的連線與x軸所成的夾角以及它與原點(diǎn)的距離都是時(shí)刻變化著的.因此在我們所熟悉的直角坐標(biāo)系中，其運(yùn)動(dòng)方程即等速螺線的方程式難以表達(dá).,一、極坐標(biāo)的概念,在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)。,引一條射線OX，叫做極軸。,選定一個(gè)長(zhǎng)度單位和角度單位及它的正方向（通常取逆時(shí)針?lè)较颍?這

4、樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系。,O,相關(guān)知識(shí),極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定：,對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M，用 表示線段OM的長(zhǎng)度，用 表示從OX到OM 的角度， 叫做點(diǎn)M的極徑， 叫做點(diǎn)M的極角，有序數(shù)對(duì)（，）就叫做M的極坐標(biāo)。,強(qiáng)調(diào)：表示線段OM的長(zhǎng)度，即點(diǎn)M到極點(diǎn)O的距離；表示從OX到OM的角度，即以O(shè)X（極軸）為始邊，OM 為終邊的角。,練習(xí)：說(shuō)出下圖中各點(diǎn)的極坐標(biāo)。,二、曲線的極坐標(biāo)方程,與直角坐標(biāo)系里的情況一樣，求曲線的極坐標(biāo)方程就是找出曲線上動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)與之間的關(guān)系，然后列出方程f(,)=0 ，再化簡(jiǎn)并說(shuō)明。,例 求過(guò)極點(diǎn)，傾角為 的射線的極坐標(biāo)方程。,分析：,如圖，所求的射線上任一 點(diǎn)的極角

5、都是 ，其極 徑可以取任意的非負(fù)數(shù)。故所求直線的極坐標(biāo)方程為,例 求過(guò)點(diǎn)A(a,0)(a0)，且垂直于極軸的直線L的極坐標(biāo)方程。,解 如圖，設(shè)點(diǎn),為直線L上除點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)，連接OM,在 中有,即,可以驗(yàn)證，點(diǎn)A的坐標(biāo)也滿足上式。,根據(jù)所求曲線即等速螺線的定義,整理可得等速螺線的極坐標(biāo)方程,建立極坐標(biāo)系,初始位置,求等速螺線的極坐標(biāo)方程,在機(jī)械傳動(dòng)中，利用凸輪將旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)變?yōu)橹本€運(yùn)動(dòng)，凸輪的輪廓曲線就是等速螺線。,在直角坐標(biāo)系中, 以原點(diǎn)作為極點(diǎn),X軸的正半軸作為極軸, 并且兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位。,設(shè)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(,),點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為,三、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系,設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是

6、 (x, y)，極坐標(biāo)是 (,),的大小由點(diǎn)(x, y)所在的象限確定。,例 將點(diǎn)M 的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)。,所以, 點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為,解:,例 將點(diǎn)M 的直角坐標(biāo)化成極坐標(biāo)。,因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限, 所以,解:,所以, 點(diǎn)M的極坐標(biāo)為,四、參數(shù)方程,由等速螺線的方程,其中t把兩個(gè)變量聯(lián)系在一起。,定義：在坐標(biāo)平面內(nèi)，如果一條曲線F(x,y)=0上任意一點(diǎn)(x,y)的坐標(biāo)都可以表示為某一個(gè)變量的函數(shù)，即,該方程組為曲線稱為曲線F(x,y)=0的參數(shù)方程,漸開線,將一直線沿著一個(gè)半徑r為的圓周作相切滾動(dòng)，則此直線上任意一點(diǎn) 的軌跡就稱為該圓的漸開線，該圓稱為漸開線的基圓。,漸開線的一個(gè)重要性質(zhì)：該曲

7、線上的任一點(diǎn)M到基圓的切線MB恰是漸開線在M點(diǎn)處的法線。,在機(jī)械制造中，大多數(shù)齒輪的輪廓線為圓的漸開線，采用這種齒形的齒輪，具有加工較為簡(jiǎn)單，磨損少，傳動(dòng)平穩(wěn)等特點(diǎn)。,為參數(shù),漸開線的參數(shù)方程為,切 點(diǎn),課 題 三,掌握?qǐng)A的切線方程、直線與圓弧以及圓弧 與圓弧相切的切點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算公式和計(jì)算方 法。,教學(xué)目標(biāo),在下圖所示的數(shù)控加工零件圖樣中，A、B、C各點(diǎn)都是該零件輪廓上的基點(diǎn)，試求這些點(diǎn)的坐標(biāo)。,課題提出,圖樣中的B、C是一個(gè)圓與兩條直線相切的切點(diǎn)問(wèn)題。,課題分析,在工程技術(shù)和機(jī)械加工，特別是在數(shù)控加工中，有些圓弧的位置和聯(lián)接點(diǎn)往往在零件圖樣上不加標(biāo)注，這時(shí)就需要我們用坐標(biāo)的方法來(lái)計(jì)算。,用r

8、 表示圓的半徑，d 表示圓心到直線的距離，則,觀 察,直線與圓的位置關(guān)系,相關(guān)知識(shí),思考,1.圓的切線有哪些性質(zhì)？,2.求切線方程的關(guān)鍵是什么？,3.切線的斜率一定存在嗎？,已知圓的方程是 ，求經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn) 的切線的方程。,一、求圓上一點(diǎn)的切線方程,分析：利用平面向量知識(shí).,x0 x +y0 y = r2,設(shè)P（x,y)是切線上不同于M的任意一點(diǎn),則,當(dāng)P與M重合時(shí)，P的坐標(biāo)仍滿足上面方程。,已知圓的方程是 ，求經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn) 的切線的方程。,自圓 外一點(diǎn) 向圓作切線并求切點(diǎn)P 的坐標(biāo)。,過(guò) 點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)是,則切線方程為,解方程組,得 為,其中,二、求圓外一點(diǎn)向圓作切線所得切點(diǎn)的坐標(biāo),三、

9、求直線與橢圓相切的切點(diǎn)坐標(biāo),如圖所示，直線段AB與標(biāo)準(zhǔn)橢圓相切于點(diǎn)B，試求切點(diǎn)B的坐標(biāo)。,分析 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系， 可設(shè)AB的直線方程為,由于直線AB與橢圓相切，利用一元二次方程只有一個(gè)解的條件，可求出b，然后求出切點(diǎn)。,解 建立坐標(biāo)系如圖,由于,解得,故切點(diǎn)B的坐標(biāo)為,聯(lián)立,得,四、求兩圓內(nèi)切的切點(diǎn)坐標(biāo),五、求兩圓外切的切點(diǎn)坐標(biāo),練習(xí)：下圖所示的是某數(shù)控加工零件的圖樣，現(xiàn)要加工型面，試求其中 的圓心位置 。,空間曲面,課 題 四,1.理解空間直角坐標(biāo)系的概念;,2.掌握空間兩點(diǎn)間距離的公式；,教學(xué)目標(biāo),3.理解空間曲面方程的概念，能夠求出空 間動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；,4.了解幾種常見(jiàn)曲面的

10、曲面方程。,課題提出,在大型的熱力電廠，我們經(jīng)?？梢钥吹叫螤钊鐖D所示的高大冷卻塔， 它的曲面是根據(jù)什么建造出來(lái)的呢？,課題分析,事實(shí)上，冷卻塔的表面可以視為是由空間的一條曲線C ：,繞著它的中軸（Z軸）旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)曲面。,X橫軸,Y縱軸,Z 豎軸,定點(diǎn),空間直角坐標(biāo)系,三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合右手系。,一、空間直角坐標(biāo)系,相關(guān)知識(shí),面,面,面,空間直角坐標(biāo)系把空間隔離成了八個(gè)部分,空間的點(diǎn),有序數(shù)組,特殊點(diǎn)的表示:,坐標(biāo)軸上的點(diǎn),坐標(biāo)面上的點(diǎn),空間兩點(diǎn)間的距離,特殊地：若兩點(diǎn)分別為,解,原結(jié)論成立。,如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系:,(1) 曲面 S 上的

11、任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;,則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形。,(2) 不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,二、曲面方程的定義,求到兩定點(diǎn)A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的,化簡(jiǎn)得,即,說(shuō)明: 動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段 AB 的垂直平分面.,例,顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程。,解 設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為,軌跡方程。,故所求方程為,方程。,特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為,解 設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為,即,依題意,距離為 R 的軌跡,表示上(下)球面 。,例 求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)

12、,平行定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 l 形成的軌跡叫做柱面。,表示拋物柱面,母線平行于 Z 軸;,準(zhǔn)線為XOY 面上的拋物線。,C 叫做準(zhǔn)線, l 叫做母線。,三、幾種常見(jiàn)曲面的曲面方程,1.柱面,表示母線平行于 Z 軸的橢圓柱面。,表示母線平行于Z 軸的平面。,(且 Z 軸在平面上),例 分析方程,表示怎樣的曲面。,的坐標(biāo)也滿足方程,解在 XOY面上，,表示圓C,沿曲線C平行于Z 軸的一切直線所形成的曲面稱為圓柱面。其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,故在空間,過(guò)此點(diǎn)作,平行 Z 軸的直線 l ,對(duì)任意 z ,表示圓柱面,在圓C上任取一點(diǎn),一條平面曲線繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面。,該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸。,例如 :,2.旋轉(zhuǎn)曲面,故旋轉(zhuǎn)曲面方程為,當(dāng)繞