兩個重要極限

1、第四節(jié) 兩個重要極限,兩個重要的極限,1-4,預備知識,1.有關三角函數(shù)的知識,2.有關對數(shù)函數(shù)的知識,以e為底的指數(shù)函數(shù)y=ex的反函數(shù) y = logex，叫做自然對數(shù)，在工程技術中經(jīng)常被運用，常簡記為 y = ln x.,數(shù) e 是一個無理數(shù)，它的前八位數(shù)是：,e = 2.718 281 8 ,3.有關指數(shù)運算的知識,4.極限的運算法則,1. 夾逼準則,準則,滿足下列條件:,如果數(shù)列,那么數(shù)列,的極限存在,且,一、極限運算準則,x 1 0.5 0.1 0.01 0.001 . 0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998,x 1 0.5 0.1 0.

2、01 0.001 . 0.84147 0.95885 0.99833 0.99998 0.9999998,第一個重要極限,O,x,B,A,C,D,證,解,這個結果可以作為公式使用,例 1求,例 2,注：在運算熟練后可不必代換，直接計算：,練習1. 求下列極限:,例 3,解,例 4,解,思考題,練習3：下列等式正確的是（ ）,練習4：下列等式不正確的是（ ）,練習5. 下列極限計算正確的是（ ）,練習6. 已知,當（ ）時，,為無窮小量.,，當 時，,為無窮小量,練習7. 已知,練習8.,練習9.,2. 單調(diào)有界準則,幾何解釋:,單調(diào)有界數(shù)列必有極限.,單調(diào)有界,有極限,有界,第二個重要極限,解

3、因為,所以，有,例 1,例 2,解方法一令 u = -x， 因為 x 0 時 u 0，,所以,方法二掌握熟練后可不設新變量,例3,解,練習1.,解,練習2.,解,兩個重要極限:,小結,練 習 題,思考題,解因為,所以令 u = x - 3 ，當 x 時 u ，,因此,第一章 作業(yè)2,作業(yè),附錄,兩個重要極限的證明,O,x,R,A,B,C,證 AOB 面積 扇形AOB 面積 AOC 面積, 即,例,兩個重要極限的證明,因為,所以再次運用定理 6 即可得,重要極限1,其中的兩個等號只在x=0時成立.,證,設圓心角 過點A作圓的切線與OB的延長線交于點C，又作,則sin x =BD，tan x=AC

4、，,這就證明了不等式(7).,從而有,重要極限2,證,這是重要極限2常用的另一種形式.,分析：此是一個和式的極限，顯然第一項及第二項函數(shù)中分子、分母的極限均存在且分式函數(shù)中分母的極限不等于零，因此可以直接利用極限的運算法則求解。,極限綜合練習題(一),例3 求下列極限：,解： 當x從0的左側趨于0時，,當x從0的右側趨于0時,例5 求下列極限,分析：本例中均是求分式的極限問題，且在各自的極限過程中，分子、分母的 極限均為零，不能直接用極限商的運算法則。求解此類極限的關鍵是找出分子、分母中共同的致零因式，把它們約去后再求解。,尋找致零因式常用的方法為： 若是有理分式的極限，則需把分子分母、分別分

5、解因式（一般采用：“十字相乘法”、公式法、或提取公因式法）； 若是無理分式的極限，則需要把分子、分母有理化。,解：（1）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求極限。,求解。又當x0時，ax0，bx0，于是有,分析：當x0時，分子，分母的極限均為0，且分子是一個無理函數(shù)，分母是正弦函數(shù)，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以 ，然后看是否可利用第1個重要極限。,解法2：,分析：當 x0時，分式中分子分母的極限均為0，不能直接使用極限的運算法則，但前面所介紹“分解因式”、“有理化”的方法在此又不適用。能否利用第1個重要極限呢？這就需要首先利用三角恒等式對函數(shù)進行適當?shù)淖冃巍?解：因當x時，sinx

6、的極限不存在，故不能用極限的運算法則求解，考慮到,解,1. 求極限:,極限綜合練習題(二),解:利用第一重要極限和函數(shù)的連續(xù)性計算，即,2.求下列極限：,解:對分子進行有理化，然后消去零因子，再利用四則運算法則和第一重要極限計算，即,3. 求下列極限：,分析：此極限屬于時有理分式的極限問題，且m=n，可直接利用上述結論得出結果，也可用分子、分母同除以x15來計算。 解：分子分母同除以x15，有,=2 2 + 1 = 5,解,5. 求,解,6. 求極限,解：容易算出分式分子的最高次項是 ，分式分母的最高次項是 ，所以,7. 求極限,8. 求極限,9. 設函數(shù),問：（1）當a為何值時，f(x)在x=0右連續(xù)； （2）a ,b為何值時，f(x)在x=0處有極限存在； （3）當a