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文檔簡介

1、第三章 一階微分方程的解的存在定理,需解決的問題,歷史回顧：,1、Cauchy(1789-1857)在十九世紀(jì)二十年代第一個(gè)成功地建立了微分方程初值問題解的存在性和唯一性；(因此后人將初值問題稱為Cauchy問題) 2、1876年，Lipschitz(1832-1903)減弱了Cauchy定理的條件； 3、1893年，Picard(1856-1941)用逐次逼近法在Lipschitz條件下對(duì)定理給出新證明； 4、Peano(1858-1932)在更一般的條件下建立了Cauchy問題解的存在性定理(不顧及唯一性)。,3.1 解的存在唯一性定理與逐步逼近法,一 存在唯一性定理,1 定理1 考慮初值

2、問題,證明思路,(2) 構(gòu)造(3.5)近似解函數(shù)列,(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法),這是為了,即,下面分五個(gè)命題來證明定理,為此先給出,積分方程的解,如果一個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系式中含有定積分符號(hào)且在定積分符號(hào)下含有未知函數(shù), 則稱這樣的關(guān)系式為積分方程.,積分方程,命題1 初值問題(3.1)等價(jià)于積分方程,證明:,即,反之,故對(duì)上式兩邊求導(dǎo),得,且,構(gòu)造Picard逐步逼近函數(shù)列,問題:這樣構(gòu)造的函數(shù)列是否行得通, 即上述的積分 是否有意義?,注,命題2,證明:(用數(shù)學(xué)歸納法),命題3,證明:,考慮函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),它的前n項(xiàng)部分和為,對(duì)級(jí)數(shù)(3.9)的通項(xiàng)進(jìn)行估計(jì),于是由數(shù)學(xué)歸納法得知,對(duì)所有正整數(shù)n,有,現(xiàn)設(shè),命題4,證明:,即,命題5,證明:,由,綜合命題15得到存在唯一性定理的證明.,一 存在唯一性定理,1 定理1 考慮初值問題,2 存在唯一性定理的說明,解的存在區(qū)間：,注：,定理2：考慮一階隱方程,則方程(3.5)存在唯一解,滿足初始條件,注：,證明： (思路：利用隱函數(shù)存在定理將這里的初值問題轉(zhuǎn)化為前述的初值問題處理),三、初值問題解的存在唯一性定理的應(yīng)用,1、求精確解,解,與初值問題等價(jià)的積分方程為,其迭代序列分別為,取極限得,即初值問題的解為,2 近似計(jì)算和誤差估計(jì),求方

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