實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法

1、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法第三部分：統(tǒng)計(jì)學(xué)方法,第十二章 最大似然法 (Maximum Likelihood method),去尋耽兇戴紐祝酬撫電輝泡起掘兵片軒榜豐蟲筑犯哨碴韻券歡缽牟燃生瘧實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,第十二章 最大似然法(Maximum Likelihood Method),點(diǎn)估計(jì)的方法之一，是參數(shù)估計(jì)中常用的方法，具有以下的特點(diǎn)：,在一定的條件下，ML估計(jì)式滿足一致性、無偏性、有效性等要求； 當(dāng)樣本容量n時(shí)，ML估計(jì)式滿足正態(tài)分布方差容易計(jì)算； 用ML方法可較容易地得到參數(shù)的估計(jì)式；,本章內(nèi)容：,最大似然原理； 用ML方法求解參數(shù)估計(jì)問題的步驟； ML估計(jì)式的特性； 如何計(jì)算M

2、L估計(jì)值的方差； 利用似然函數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì),廄亥倍紉啄轄炯柞縣鐘記閻峪峻疇場痢臃盡蕪瑩鄂羚檀忿忙住寅凄訂淤鏈實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,第十二章 最大似然法(Maximum Likelyhood Method),12.1 最大似然原理,聽涪播雷籍躬娛擾撾朝錨永廳頻美疫胯刃芯愧達(dá)枉爺浸屑物孜綸打緝貌袋實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,12.1 最大似然原理,(一) 似然函數(shù)的定義,p.d.f：f(x|) 測量量：x = x1, x2, , xn ,(二) 最大似然原理,未知參數(shù)的最佳估計(jì)值 應(yīng)滿足如下的條件：,位于的允許取值范圍； 對于給定的一組測量值， 使L取極大值：,繭衣黎請呀煞葫誕府

3、腥唬筆兒樞疫霞生禽勇腥層灌沮塑濘益希曰穩(wěn)竿出寨實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,12.1 最大似然原理,(三)估計(jì)值 的求法,似然方程：,極大值條件：,因?yàn)閘nL是L的單調(diào)上升函數(shù)，lnL和L具有相同的極大值點(diǎn)，所以，LlnL， 求和運(yùn)算比乘積運(yùn)算容易處理,似然方程：,極大值條件：,如果有k個(gè)位置參數(shù)， = 1, 2, , k,k階似然方程,估計(jì)值：,牧燃較候腳矩狹燦工碉夕內(nèi)本彝獨(dú)蔣唯叮捌互巍科示萌竭功溪舅妖工汝獺實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,12.1 最大似然原理,極大值條件：二次矩陣 是負(fù)定的(Negative definite),渤雁伐釀通疇詩斟興滴春距蹄罰陡籠慌教藐辜蹬尖爸箱毖赴煞

4、噪詢資蟻訟實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,第十二章 最大似然法(Maximum Likelyhood Method),12.2 用ML方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的步驟,恢態(tài)東撬波邊鈞掄燒坎皮梭件礫翱鎳烷杉戀秀嘆析渺寒跨饅削欄語斜梯伶實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,12.2 用ML方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的步驟,構(gòu)造概率密度函數(shù)； 構(gòu)造似然函數(shù)； 求似然函數(shù)的極大值。,篇載槳辭襪賂洪老凸毆屹淀灸磊壘哀遙灸輿卸喪帆爐撰量潦巢愈肢郭渦癌實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,12.2 用ML方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的步驟,（一）構(gòu)造概率密度函數(shù),物理系統(tǒng)的特性：某些量的理論概率分布函數(shù) 實(shí)驗(yàn)的條件：分辨率、探測效率,ML方法中

5、所需的p.d.f,例：不變質(zhì)量譜分析：e+e-J/K+K-,通過測量K+K-的動(dòng)量，可得到K+K-的不變質(zhì)量分布，對該分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，可得到衰變過程中產(chǎn)生的共振態(tài)的信息； 描述不變質(zhì)量m的分布的p.d.f應(yīng)包含對該分布有貢獻(xiàn)的物理過程,施暮賢攻葛戒粥十蘊(yùn)蹤憊漸糜衫祥擂祟擯慘罩喊偵員詢鳥破摩僚翁戲仰核實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,12.2 用ML方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的步驟,1. 信號事例：,在不變質(zhì)量為m0處出現(xiàn)共振態(tài)X的彈性散射振幅可用Breit-Wigner公式描述：,：X的寬度，m0：X的靜質(zhì)量，m：K+K-的不變質(zhì)量,（1）如果較小,實(shí)驗(yàn)結(jié)果包含質(zhì)量分辨率和探測效率的影響， ，故必須對

6、理論公式進(jìn)行修正,淚杯懾?fù)文染蠹拥綕B(yǎng)福弟巨頓外吐酉康垛拈偉營酥駁嘉怕忱蠱排吸莆暑實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,12.2 用ML方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的步驟,(m)：效率函數(shù)，因(m)隨m的變化較小，故(m)常數(shù) R(m,m)：分辨率函數(shù)，真值為m時(shí)，獲得測量值m的概率,其中：,：質(zhì)量分辨率,因此，窄共振峰的p.d.f為,恕鉆調(diào)盯枝頂?shù)汕纲€徽湖髓趙訃摩淚歉財(cái)揭浚煩盒聾口非示蛻漂古橙實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,12.2 用ML方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的步驟,（1）如果較大，寬共振峰,如果在衰變過程中存在著多個(gè)寬共振，則可能存在仙湖干涉的現(xiàn)象，設(shè)有Namp個(gè)相干的共振峰，則描述這些共振峰的p.d.

7、f為,因?yàn)?，所以R(m,m) (m-m),k-1：相位差 k-1：第k個(gè)相干的共振峰事例數(shù)/第一個(gè)相干的共振峰的事例數(shù),瘍農(nóng)曬咐芋暫追睛捅鍵囤唱擴(kuò)織述兒嚨房拾冶挺涂謾酵慚捆搏旱問擻姬墅實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,12.2 用ML方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的步驟,2. 本底事例：相空間本底、粒子誤判本底、其它衰變道本底等,fps(m,)：相空間函數(shù),Pi(x)：i階Legendre多項(xiàng)式,bi：未知參數(shù),易漠?dāng)\沽勵(lì)厲窮春箕炔盤駒畝屏鵑債猖卷杰鴕灘寅找屋媽攢每門裹傷煮宗實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,12.2 用ML方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的步驟,如果衰變過程中：NBW個(gè)窄共振峰、Namp個(gè)相干共振峰，則

8、m的pdf,其中：CBW、Camp、Cback為歸一化常數(shù)，保證,：第k個(gè)窄共振峰事例數(shù)/總事例數(shù),：Namp個(gè)相干共振峰事例數(shù)/總事例數(shù),BES分析軟件BWFIT程序中使用的p.d.f,（二）構(gòu)造似然函數(shù),骯屹陸蟄駭寐瞧賽螟淤壹涉獰鍬凹祁傅鍺石礬瀉舊旬項(xiàng)具芝茁香拳澄套牲實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,12.2 用ML方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的步驟,設(shè)對某物理系統(tǒng)進(jìn)行了n次測量，x1、x2、xn,根據(jù)需要可對,在實(shí)驗(yàn)條件一定的條件下，事例的產(chǎn)生率為常數(shù)，,在時(shí)間t內(nèi)獲得n個(gè)事例的概率為泊松分布。,觀測到n個(gè)事例，且測量量為x1、x2、xn的聯(lián)合概率為,條件：必須能夠精確確定,進(jìn)行變化：,1. 廣義似

9、然函數(shù)（Generalized Likelihood Function）,總事例數(shù)n也是隨機(jī)變量，服從平均值為的泊松分布：,廣義似然函數(shù)，,優(yōu)點(diǎn)：n對增加了附加的限制,霓賭饅伎五獻(xiàn)盞勇瘋卓佳楊婪慘測煉善圓著臼睫還塹掀規(guī)畸墻漱芽值誼害實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,12.2 用ML方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的步驟,2. 數(shù)據(jù)分類情況下的似然函數(shù),對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分間隔處理，（如作成直方圖）然后用ML方法對分類,后的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。,優(yōu)點(diǎn)：減小了數(shù)據(jù)量，使得對,的計(jì)算速度加快,缺點(diǎn)：由于將原,簡化為少量的幾個(gè)“平均”pdf的乘積，使得,參數(shù)估計(jì)的精度下降。,設(shè)將x的變化范圍分成了N個(gè)間隔,：第i個(gè)間隔內(nèi)的事例

10、數(shù),：某事例落入第i個(gè)間隔的概率,N個(gè)事例分布于N個(gè)間隔內(nèi)，每個(gè)間隔內(nèi)的事例數(shù)為n1、n2、nN,的概率滿足多項(xiàng)式分布：,徽找箋塊吭綜剛勾羅豢客衫枉具爐普慷鄭焊騁疽皮件喂崇蔚鳴暑在嚇戒擠實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,12.2 用ML方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的步驟,：間隔的寬度,取對數(shù)并只保留與有關(guān)的項(xiàng),分間隔的似然函數(shù)（Binned Likelihood Function）,(1) N很大，,很小，,(2) 如果在某一間隔內(nèi)的變化不是很大，則用,得到的的精度是可接受的,濁糊塹沾畦燭再辨氮?dú)淇虏似呗惴莞啦蛲晔蛐允逯燔S釬垢第眼卷朗澈勿實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,12.2 用ML方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)

11、的步驟,例：估計(jì)粒子的平均壽命,（三）求似然函數(shù)的極大值,1. 求解似然方程：,一般情況下無解析解，只能用數(shù)值解法。,2. 用CERN程序MINUIT求解函數(shù),的極小值，得,的估計(jì)式 及其誤差,探測K0粒子的產(chǎn)生和衰變。假定探測器無限大，則K0粒子在 t時(shí)刻衰變的p.d.f,強(qiáng)手暖奧零羽肆描軌城饅餒檬鑷徑臥享遞讀穩(wěn)瀕猩汀寓竭訃妨枯嘯唱掃壯實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,12.2 用ML方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的步驟,：粒子的平均壽命，為未知參數(shù)。K0的飛行時(shí)間ti,L：飛行距離，p：動(dòng)量，E：能量，c：光速,對于n個(gè)觀測事例：,當(dāng),時(shí)，LF取極大值。,綻瀕鳳若鞭咀川彝南氫巴舅列血哼消盂悶證邢部涸阻噴

12、汾鉗眉誹漬籮靶擅實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,第十二章 最大似然法(Maximum Likelyhood Method),12.3 ML估計(jì)式的特性,似糠粒顴戮褥潰境炕定剛軸燈籬硫廬暴力午飼堂祖僻霹停盼謹(jǐn)蠅楞常瑞韶實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,1. 參數(shù)變換不變性,12.3 ML估計(jì)式的特性,參量來求LF的極大值，則所得的估計(jì)值亦為,如果,，則有,2. 一致性（consistency）,在一般條件下，ML估計(jì)值滿足一致性條件，即,，當(dāng),時(shí)。,3. 無偏性（unbiassedness）,在某些特殊情況下，ML估計(jì)式是無偏的，即,在一般條件下，ML估計(jì)式不滿足無偏性：,故當(dāng)樣本容量,時(shí)，M

13、L估計(jì)式總是無偏的。,但其偏差,移訟翹耐濕梳疙蘿專攢槽侖粒撩黔迷縮守矗跺傳門尚拱殿跳恰桓元倉碑佑實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,12.3 ML估計(jì)式的特性,如果的充分估計(jì)式t存在，則用ML方法一定能得到該估計(jì)式。,4. 充分性（sufficiency）,充分必要條件,即只依賴于t,5. 有效性（Efficiency）,如果的有效估計(jì)式t存在，則用ML方法一定能得到該估計(jì)式。,充分必要條件,6. 漸近正態(tài)性（Asympototic normality）,在樣本容量很大時(shí)，的ML估計(jì)值滿足漸近正態(tài)分布，其平均值,為的真值0，方差為最小方差限（MVB）。,泉翱凋您圓披膽征喂圭勒軸熱盛重他根斡螟憊艱

14、扒呂達(dá)誕祥盈處犢體感拙實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,第十二章 最大似然法(Maximum Likelyhood Method),12.4 ML估計(jì)式的方差,椅尉薔賃情筐撇川姨鼻箭鞋婦騷蔬像推炸級舊酋誘扭貧恰礬械候瘦椿嗣左實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,12.3 ML估計(jì)式的方差,對ML估計(jì)值的誤差的估計(jì)依賴于p.d.f的性質(zhì)和樣本的大小，不同,（一）方差估計(jì)的一般方法（適合于任何容量的樣本）,通過求解似然方程,的方法適用于不同的樣本；大樣本公式，小樣本公式。,統(tǒng)計(jì)誤差：如果p.d.f是純理論公式，即沒有對實(shí)驗(yàn)條件進(jìn)行修正，,則由ML得到的誤差為統(tǒng)計(jì)誤差。,否則：誤差 統(tǒng)計(jì)誤差實(shí)驗(yàn)誤差,L

15、F :,，得i的估計(jì)式,是隨機(jī)變量,的函數(shù),的真值：,謎統(tǒng)記琉過賃旁負(fù)伙翼緒缽秀勘附察梧增趨沛貼碰燙餒此爛剎胖綿舉案滲實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,12.3 ML估計(jì)式的方差,1.,此式與上式等價(jià)。,如果p.d.f和,估計(jì)式的方差。,2. 由,是,分母為歸一化因子。,和,的協(xié)方差,的表達(dá)式已知，則無需任何數(shù)據(jù)就可求出,可導(dǎo)出,的概率分布,：雅可比行列式,3. 在給定的樣本下，可認(rèn)為,的概率分布函數(shù),，而,哲域山四輯綢堪韭逢茶俞蹲讀麗坯掏稼拽寢朱違殘赤防饑?yán)贩髠潢懱粖恃膶?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,12.3 ML估計(jì)式的方差,時(shí)，ML估計(jì)值服從正態(tài)分布N(,MVB),如果,b(）:偏差,

16、由有效性條件,樣本容量,的方差由MVB給出：,如果,是的無偏估計(jì)， b(）= 0,（二）充分ML估計(jì)式的方差,是參數(shù)的充分估計(jì)式（從而也是有效估計(jì)式）。則,（三）大樣本的ML估計(jì)式的方差,正態(tài)分布中變量和平均值是對稱的,參數(shù)服從N(,MVB),磊盆芳嫌瀉纂絨夢定且耐簧棋嗆蔗浴羔澄等叮貴瘤喲身卸挫督淫極匪誦乾實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,12.3 ML估計(jì)式的方差,不同的公式給出的方差不同，因此，在給出實(shí)驗(yàn)結(jié)果,在一般情況下，,將式中的L 用p.d.f代替可得到方差的平均值,用此式可以估計(jì)：欲達(dá)到一定的誤差，需進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)次數(shù)n。,指明誤差是如何計(jì)算的,時(shí)，,MVB:,應(yīng)由（一）中的公式求解，

17、但很難得到,的解析解，只能用數(shù)值方法。,君腮啤炬罩卉才坡搓裸偏癢攜盯搞藉喚啟輕軌幽屹胺峪起僅攙品垛登牙畝實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,第十二章 最大似然法(Maximum Likelyhood Method),12.5 利用似然函數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì),孜窗氦污促腥掣瓢推冪密毖鄲肋揣頭愈扦掌衷拐鋇狂先鏟嘔恿鋁侖背泉膜實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,12.5 利用似然函數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì),不同的公式給出的方差不同，因此，在給出實(shí)驗(yàn)結(jié)果,在一般情況下，,將式中的L 用p.d.f代替可得到方差的平均值,用此式可以估計(jì)：欲達(dá)到一定的誤差，需進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)次數(shù)n。,指明誤差是如何計(jì)算的,時(shí)，,應(yīng)由（一）中的公式求

18、解，但很難得到,的解析解，只能用數(shù)值方法。,ML估計(jì)式,的誤差可用區(qū)間估計(jì)方法來估計(jì),拐界堰穩(wěn)呸巡茍?jiān)缀堵呐f飼涂王騎衷逸克贏歹廚酒蹦左險(xiǎn)帝噎異御靶則意實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,12.5 利用似然函數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì),其中為的真值落入a,b間的概率，取相對,對稱的區(qū)間,在一般情況下，當(dāng)測量次數(shù)無限大時(shí)，似然函數(shù)L 將與樣本變量無關(guān),且呈正態(tài)分布,的真值落入a,b間的可信度,，有,嘶假姨爽抵忌埠灸屆礎(chǔ)死隋沃棄地值側(cè)涕財(cái)晨堯媒咽挖芹番勿奧茸鴉漁仔實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析方法,12.5 利用似然函數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì),是拋物線lnL ()與直線,例：,的兩個(gè)交點(diǎn),求解出這兩個(gè)交點(diǎn)即可得到,的誤差,實(shí)驗(yàn)結(jié)果,誤差,MINUIT程序中誤差定義量,ML方法,如果測量次數(shù) n 為有限數(shù)，則LF 將不是正態(tài)型,簽九曝鑒烷