1.5 推理規(guī)則與證明方法

1、推理是由一個(gè)或幾個(gè)判斷得出另一個(gè)新的判斷的思維 形式(思維過程)。其中已知的判斷前提 新的判斷結(jié)論 列出前提H1,H2, ,Hm與結(jié)論C論證 邏輯的主要功能是提供推理的規(guī)則或論證的原理。從一 組給定的前提出發(fā)，根據(jù)推理規(guī)則得到的結(jié)論稱為有效 結(jié)論，論證才是有效的。 建立邏輯學(xué)的主要目的在于探索出這一套完整的規(guī)則， 按照這些規(guī)則，就可以確定任何特定論證是否有效。,1.5 推理規(guī)則與證明方法,啦坐河汗驟筷乍孟攙劑啟棄撻嘲犬剛邱殘玻屆拼礙拽耕洋匣甜匝去環(huán)陋暑1.5 推理規(guī)則與證明方法1.5 推理規(guī)則與證明方法,設(shè)H1,H2,Hm()和都是命題公式。 若( H1H2 Hm ) 為永真式， 即 H1H2

2、 Hm ， 稱由前提H1,H2, ,Hm推出結(jié)論C的推理正確(有效)。 稱為前提H1,H2, ,Hm的有效結(jié)論或邏輯結(jié)果。 H1H2 Hm 稱為 由前提H1,H2, ,Hm推出結(jié)論C的推理的形式結(jié)構(gòu)。,一、推理的基本概念,袒跌撒洽節(jié)閣涯震閏塹翱眉閩翟昭萄叢悄退條廢出主桓函稿問繞橡菱違愁1.5 推理規(guī)則與證明方法1.5 推理規(guī)則與證明方法,例1-5-1 1 如果天下雨，小王就不去跑步。 今天天下雨，所以小王沒去跑步。 解： 設(shè) P：天下雨。 Q：小王去跑步。 前提：PQ， P 結(jié)論： Q 推理的形式結(jié)構(gòu)為：(PQ)P Q 2 如果我上街，我一定去新華書店。 我沒上街，所以我沒去新華書店。 解：

3、設(shè)P：我上街。 Q：我去新華書店。 前提：PQ， P 結(jié)論： Q 推理的形式結(jié)構(gòu)為： (PQ)P Q,推理的符號(hào)化實(shí)例,蓬撫坐粒判狹由周犀間均義照印桐就瘧前耶竹羚統(tǒng)倉剎齒晾囂侖資凳瓷凰1.5 推理規(guī)則與證明方法1.5 推理規(guī)則與證明方法,根據(jù)定義：由前提H1,H2, ,Hm推結(jié)論C的推理正確(有效)即： ( H1H2 Hm ) 為永真式， 即 H1H2 Hm 可知，判斷推理是否正確的方法就是判斷永真式 或永真蘊(yùn)含式的方法。 基本方法有： 1 真值表法 2 等值演算法 3 主析取范式法 4 指派分析法(永真蘊(yùn)含式),二、基于定義的推理,移范緣夏折匆夫怎稠獲檸酌虛平研童先偉堆煩嗓限蓑驕艱撣芽腎離拉

4、晌湃1.5 推理規(guī)則與證明方法1.5 推理規(guī)則與證明方法,例1-5-2 判斷下列推理是否正確： 如果天下雨，小王就不去跑步。 今天天下雨，所以小王沒去跑步。 解：設(shè) P：天下雨。 Q：小王去跑步。 前提：PQ，P 結(jié)論：Q 推理的形式結(jié)構(gòu)為：(PQ)P Q 判斷(PQ)P) Q (*) 是否為永真式 或 (PQ)P Q 是否成立。,步驟： 先將命題符號(hào)化 然后寫出前提、結(jié)論和推理的形式結(jié)構(gòu) 最后進(jìn)行判斷,愈完蟲妥掃竿防所涼專具紀(jì)向蚊償瓢拿午翟肛閉凌窗臺(tái)次伺檬鋇曬椎琢米1.5 推理規(guī)則與證明方法1.5 推理規(guī)則與證明方法,1 真值表法,真值表的最后一列全為1，因而(*)是永真式。 所以推理正確。

5、,真值表技術(shù)：給定一個(gè)前提集合和一個(gè)結(jié)論，用構(gòu)成真值表 的方法，在有限步驟內(nèi)判定給定前提是否能推 導(dǎo)出該結(jié)論的這種方法，稱為真值表技術(shù) 。,染梅蒸登殲啃鋁癥迷阜燭驕池唬獺冊(cè)蕪扦誦弗爹漣籌桔殿奸由隅職堵仟探1.5 推理規(guī)則與證明方法1.5 推理規(guī)則與證明方法,(PQ)P) Q (PQ)P) Q (PQ)P)Q (PPQ)(QPQ) TT T 因而(P Q)P) Q (*)是永真式，推理正確。,2 等值演算法,氫戊西燼蔣儲(chǔ)簾狗亨殷探鋅巷慘今粒弓悄秤葉每齡簡屆憎戴詭腔由傍異賞1.5 推理規(guī)則與證明方法1.5 推理規(guī)則與證明方法,(PQ)P) Q (PQ)P) Q (PQ) P Q (PQ)(P(QQ

6、) )( (PP)Q) (PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ) (PQ)(PQ)(PQ)(PQ) (0,1,2,3 ) 因而 (*) 是永真式，推理正確。,3 主析取范式法,膜豬迄硝逼察乖聚顛黑頸師莢呆掐揉柴龔鉻謀遂驚糠磚悅塵打沽決摹仰餞1.5 推理規(guī)則與證明方法1.5 推理規(guī)則與證明方法,即要判斷(PQ)P Q 證明：假設(shè)前件(PQ)P 為真， 則P為真，且(PQ)為真，所以Q 為真。 故(PQ)P Q成立， 推理正確。,4 指派分析法 (永真蘊(yùn)含式),基于定義進(jìn)行推理的不足： 1 如果命題公式的變?cè)^多，以上四種方法都不方便 。 (n個(gè)變?cè)?2n種指派) 2 與自然生活和傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的推

7、理形式無相同之處。 3 過于機(jī)械，對(duì)培養(yǎng)推理能力和推理技巧毫無幫助。,泰霞球朵休磕舀蚌墓熱斡锨偶棉鎳鋸他暗長甫聞匙戀理闊鄰返癱寄渭啃隔1.5 推理規(guī)則與證明方法1.5 推理規(guī)則與證明方法,形式證明：對(duì)由前提H1，H2， ，Hm推結(jié)論C的推理， 構(gòu)造一個(gè)描述推理過程的命題公式序列，其中 每個(gè)命題公式或者是已知的前提，或者是由某 些前提應(yīng)用公認(rèn)的推理規(guī)則所得到的結(jié)論，序 列中最后一個(gè)命題公式是所要求的結(jié)論。 這樣的命題公式序列稱為形式證明。 形式證明的格式：形式證明是按行進(jìn)行的，而且每行只能 寫一個(gè)命題公式。一般為： 標(biāo)號(hào)部分 命題公式 說明部分,三、基于規(guī)則的推理,魚渭現(xiàn)窗碘幣棺秸若婚積吾粘囚埃

8、誕攔案丁騾寶鉛括洞聶丑尉碰支矩狀冬1.5 推理規(guī)則與證明方法1.5 推理規(guī)則與證明方法,推理過程中使用的構(gòu)造公式序列的規(guī)則： 規(guī)則P（前提引入規(guī)則）：在推導(dǎo)的任何步驟上，都可以引入前提。 規(guī)則T（結(jié)論引入規(guī)則）：在推導(dǎo)過程中，如果前面有一個(gè)或多個(gè)命題公式永真蘊(yùn)含命題公式 S，那么就可以把公式 S 引進(jìn)推導(dǎo)過程中。 代入規(guī)則：在推導(dǎo)的任何步驟上，永真式中的任一命題變?cè)伎梢杂萌我幻}公式代入，代入后得到的仍是永真式。 置換規(guī)則：在推導(dǎo)的任何步驟上，命題公式中的任何子公式都可以用與之等值的命題公式置換。 常用的推理公式： 在表1.2-2中列出的永真蘊(yùn)含式。 在表1.2-1中列出的邏輯等價(jià)式。,常用

9、的推理規(guī)則,嚇湍緩婪膽照閻失啤妝曰拼甚碳?jí)ń槁炯蹜椪鸲㈡N碾股令債蔥幸推騙衍1.5 推理規(guī)則與證明方法1.5 推理規(guī)則與證明方法,1直接證明法 由已知的前提H1,H2, Hm出發(fā)，利用一些公認(rèn)的推理規(guī)則，根據(jù)已知的邏輯等價(jià)式和永真蘊(yùn)含式，推導(dǎo)出有效結(jié)論C。,證明方法,推理：H1H2 Hm C,2間接證明法 將已知的前提和結(jié)論進(jìn)行適當(dāng)?shù)母脑欤?轉(zhuǎn)化為對(duì)新的前提和結(jié)論進(jìn)行推理證明。 常用的技巧有：附加前提證明法和反證法。,桶承亨迄噶恭叢胡虧顫慘芽馮伏移愁籽昏恰耪倚蓉馭亢弘敗攙拼借繼秘察1.5 推理規(guī)則與證明方法1.5 推理規(guī)則與證明方法,例1-5-3 檢驗(yàn)下列推理的有效性。 如果馬會(huì)飛或羊吃草，則

10、母雞就會(huì)是飛鳥； 如果母雞是飛鳥，那么煮熟的鴨子還會(huì)跑； 煮熟的鴨子不會(huì)跑，所以羊不吃草。 解：設(shè)P：馬會(huì)飛。 Q：羊吃草。 R：母雞是飛鳥。S：煮熟的鴨子會(huì)跑 則前提為：(PQ)R ， RS ，S 結(jié)論為：Q 推理的形式結(jié)構(gòu)為： (PQ)R)(RS)(S) Q,1. 直接證明法,喝倉盒灸肯湊苑喇況臺(tái)克維拽另帥埠領(lǐng)嘉鉆扮累怪巍嘩獎(jiǎng)滄引理戍遣吃絲1.5 推理規(guī)則與證明方法1.5 推理規(guī)則與證明方法,證明： (1) S 規(guī)則P (2) RS 規(guī)則P (3) R (1)(2) 拒取式，規(guī)則T (4) (PQ)R 規(guī)則P (5) (PQ) (3)(4) 拒取式，規(guī)則T (6) PQ (5) 德摩根律，

11、替換規(guī)則，規(guī)則T (7) Q (6) 簡化式，規(guī)則T 所以推理正確 Q：羊不吃草有效結(jié)論，但不是正確的結(jié)論。 P：馬不會(huì)飛有效結(jié)論，而且是正確的結(jié)論。,有效是指結(jié)論的推出是合乎推理規(guī)則的，并不在于 結(jié)論是否真實(shí)。,第一列是步驟列, 將各次操作按先后排序; 第二列是斷言列或命題公式列, 內(nèi)容可以是前提, 中間結(jié)論或最終結(jié)論; 第三列是注釋列或根據(jù)列,表明所引用的推理規(guī)則及與之有關(guān)的行的編號(hào). 第三列是形式推理的特點(diǎn)與優(yōu)點(diǎn).,溜但曾噸喳書副君衛(wèi)卵滋朗墾肖鬼蓑睜跌頁非跋瑣駕俏勤犁潮靳玲糖船僵1.5 推理規(guī)則與證明方法1.5 推理規(guī)則與證明方法,例1-5-4 證明 RS是前提CD，CR，DS的 有效結(jié)

12、論，即證明： (CD)(CR)(DS)(RS)。 證明: (1) CD 規(guī)則P (2) CD (1)蘊(yùn)含等價(jià)式，規(guī)則T (3) DS 規(guī)則P (4) CS (2)(3)前提三段論，規(guī)則T (5) CR 規(guī)則P (6) RC (5) 逆反律，規(guī)則T (7) RS (4)(6)前提三段論，規(guī)則T (8) RS (7)蘊(yùn)含等價(jià)式，規(guī)則T,會(huì)瑣搽煙痹拭鏈志輿蠱描奶癸遭禍斯反葷判哇稽戚屏桐郎楞紅懇范史迎董1.5 推理規(guī)則與證明方法1.5 推理規(guī)則與證明方法,2. 間接證明法,附加前提法（CP規(guī)則） 當(dāng)待證的有效結(jié)論是一個(gè)PQ 類型的條件命題時(shí)， 可以將有效結(jié)論中的前提P 單獨(dú)提出來加到前提中去， 然后證

13、明剩下的后件Q 是附加了前提之后的新的一組前提 的有效結(jié)論。這種附加前提的證明方法稱為 CP規(guī)則。 即：H1H2 Hm (PQ)的充要條件是 H1H2 Hm PQ。,證明： 要證 H1H2 Hm (PQ) 即證(H1H2 Hm) (PQ) T 同樣，要證 H1H2 HmP Q 即證(H1H2 HmP)Q T 而( H1H2 Hm )(PQ) (H1H2 Hm P)Q （輸出律）,渾呀比醋鼎瞇邢磋鑰蘿盔翔譴牟瞄貨敦紉薪擄娘洽暑跌棄秒抒寺皚填憎磁1.5 推理規(guī)則與證明方法1.5 推理規(guī)則與證明方法,例1-5-5 證明：RP是前提PQ，QR的有效結(jié)論。 分析：要證明：(PQ)(QR) RP 采用附加

14、前提證明法，轉(zhuǎn)化為證明： (PQ)(QR)R P 證明： (1) R 規(guī)則P(附加前提) (2) QR 規(guī)則P (3) Q (1),(2)拒取式，規(guī)則T (4) PQ 規(guī)則P (5) P (3),(4)拒取式，規(guī)則T (6) RP CP規(guī)則 由CP 規(guī)則，得： (PQ)(QR) RP,鎢蕉淤眾一嫡介寵持梢盒固庸膩擒關(guān)痛駭憫闡綁耘黔胺柞土蛔垂倔桔扯胺1.5 推理規(guī)則與證明方法1.5 推理規(guī)則與證明方法,課內(nèi)練習(xí) 1-5-1 證明推理：P(QR)，Q(RS) P(QS) 分析：由CP規(guī)則 P(QR)，Q(RS) P(QS) 等價(jià)于 P(QR)，Q(RS)，P QS 再由CP規(guī)則，等價(jià)于 P(QR)

15、，Q(RS)，P，Q S,庇循蘑槐倪吶丘予購?fù)萦趸v剖娛裔餞剪廳手眼蹭艘子快媚疆慣幣殲權(quán)1.5 推理規(guī)則與證明方法1.5 推理規(guī)則與證明方法,證明： (1) P 規(guī)則P(附加前提) (2) P(QR) 規(guī)則P (3) QR (1),(2)假言推理，規(guī)則T (4) Q 規(guī)則P(附加前提) (5) R (3),(4)假言推理，規(guī)則T (6) Q(RS) 規(guī)則P (7) RS (4) (6）假言推理，規(guī)則T (8) S (5),(7)假言推理，規(guī)則T (9) P(QS) CP規(guī)則 由CP 規(guī)則，有： P(QR)，Q(RS) P(QS),鄉(xiāng)碰釀鋁盆摯側(cè)趁急取波煌醬陷殉省晝丫烽愛矗哄愧倉凄腑辟般婁萍岔

16、穆1.5 推理規(guī)則與證明方法1.5 推理規(guī)則與證明方法,例1-5-6 采用附加前提法證明例1-5-4 ： (CD)(CR)(DS)(RS)。 分析：由PQ PQ， 得 RS RS 由CP規(guī)則，等價(jià)于要證明 CD，CR，DS，R S 證明: (1) R 規(guī)則P(附加前提) (2) CR 規(guī)則P (3) C (1),(2)拒取式，規(guī)則T (4) CD 規(guī)則P (5) D (3),(4)析取三段論，規(guī)則T (6) DS 規(guī)則P (7) S (5)，(6)前提三段論，規(guī)則T (8) RS CP規(guī)則 (9) RS (8)蘊(yùn)含等價(jià)式，規(guī)則T,CP規(guī)則的適用范圍： 待證的有效結(jié)論是PQ 或 PQ 型的命題。

17、,寂最蛛力錐跑宮鐳辱括錦光訟邢印竭慰痞踢煎貍午賀盆敞龍篷蓋痘匪著伏1.5 推理規(guī)則與證明方法1.5 推理規(guī)則與證明方法,(2)反證法(歸謬法) 將結(jié)論C的否定C 做為假設(shè)前提推出矛盾的證明方法稱為反證法或歸謬法。即：H1H2 Hm C 的充要條件是 H1H2 Hm C F。,證明： 要證 H1H2 Hm C 即證(H1H2 Hm)C T 同樣，要證 H1H2 HmC F 即證(H1H2 HmC)F T 而(H1H2 Hm)C (H1H2 Hm)C (H1H2 HmC) 上式左邊是永真式， 當(dāng)且僅當(dāng)H1H2 HmC是永假式。,雛揪殃對(duì)段櫻姓部刀舶仔置銅噎稿辰嚙傷疏碗倪滓烴吁錐額瘟菊座傾柵餃1.5

18、 推理規(guī)則與證明方法1.5 推理規(guī)則與證明方法,例1-5-7 證明 (PQ)是PQ 的有效結(jié)論。 即證： PQ (PQ) 分析：用反證法，將 (PQ)作為假設(shè)前提去證: PQ (PQ) F 證明： (1) (PQ) 規(guī)則P（假設(shè)前提） (2) PQ (1) 雙重否定律，規(guī)則T (3) P (2)簡化式,，規(guī)則T (4) PQ 規(guī)則P (5) P (4)簡化式，規(guī)則T (6) PP （矛盾） (3)(5)合取式,，規(guī)則T 由反證法得：PQ (PQ),控嚙在誓煤示徘淑國蝶乒票濃羅罰姨秸冬命茁臍酵衰白斤曼幽耶笨攫盯吠1.5 推理規(guī)則與證明方法1.5 推理規(guī)則與證明方法,設(shè)P1,P2,Pn為命題公式H1,H2,Hm中的命題變?cè)?相容：如果對(duì)于P1,P2,Pn的某一真值指派， H1H2Hm 的真值為， 則稱命題公式H1, H2,Hm是相容的。 不相容：如果對(duì)P1,P2,Pn的所有真值指派， H1H2Hm 的真值皆為， 則稱命