《第1章特殊的平行四邊形》單元測試卷及答案解析

1、北師大新版九年級上冊第1章 特殊的平行四邊形2015年單元測試卷一、選擇題：（每小題3分，共36分）1下列判定正確的是( )A對角線互相垂直的四邊形是菱形B兩條對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形C四邊相等且有一個角是直角的四邊形是正方形D一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形是平行四邊形2下列說法中，錯誤的是( )A平行四邊形的對角線互相平分B對角線互相平分的四邊形是平行四邊形C菱形的對角線互相垂直D對角線互相垂直的四邊形是菱形3下列命題原命題與逆命題都是真命題的是( )A矩形的對角線相等B對角線互相平分且相等的四邊形是矩形C矩形有一個內(nèi)角是直角D對角線互相垂直且平分的四邊形是矩形4既是中心對稱

2、圖形又是軸對稱圖形，且只有兩條對稱軸的四邊形是( )A正方形B矩形C菱形D矩形或菱形5兩條對角線相等的平行四邊形一定是( )A矩形B菱形C矩形或正方形D正方形6如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，H為AD邊中點，菱形ABCD的周長為28，則OH的長等于( )A3.5B4C7D147順次連接矩形四條邊的中點，所得到的四邊形一定是( )A矩形B菱形C正方形D平行四邊形8如圖，以正方形ABCD的對角線AC為一邊作菱形AEFC，則FAB=( )A30B45C22.5D1359如圖，已知點E為正方形ABCD對角線BD上一點，且BE=BC，則DCE的度數(shù)為( )A30B22.5C15D451

3、0如圖：長方形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如圖的方式折疊，使點B與點D重合折痕為EF，則DE長為( )A4.8B5C5.8D611如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，若兩個小正方形的面積分別為S1、S2，則S1+S2的值為( )A16B17C18D1912如圖，正方形ABCD的面積為4，ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為( )A2B3CD二、填空題（每小題3分，共12分）13已知菱形的周長為40cm，兩個相鄰角度數(shù)比為1：2，則較短的對角線長為_，面積為_14如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將

4、ABE折疊后得到GBE，延長BG交CD于點F，若CF=1，F(xiàn)D=2，則BC的長為_15在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，P是AD上的動點，PEAC于點E，PFBD于點F，則PE+PF=_16如圖，菱形ABCD的周長為24cm，A=120，E是BC邊的中點，P是BD上的動點，則PEPC的最小值是_三、解答題：17如圖，菱形ABCD的對角線AC、BC相交于點O，BEAC，CEDB求證：四邊形OBEC是矩形18已知，如圖，AD是ABC的角平分線，DEAC，ED=AF求證：四邊形AEDF是菱形19已知：如圖，菱形ABCD中，E、F分別是CB、CD上的點，且BE=DF求證：AEF=AFE20已知：

5、如圖，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足為點D，AN是ABC外角CAM的平分線，CEAN，垂足為點E，（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）當ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明21已知：如圖，在ABC中，AB=AC，D是的BC邊的中點，DEAC，DFAB，垂足分別是E、F（1）求證：DE=DF；（2）只添加一個條件，使四邊形EDFA是正方形，并給出證明22如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O，AOD=60，AB=，AEBD于點E，求OE的長23已知，如圖1，BD是邊長為1的正方形ABCD的對角線，BE平分DBC交DC于點E，延長BC到點F，使CF=CE，

6、連接DF，交BE的延長線于點G（1）求證：BCEDCF； （2）求CF的長；（3）如圖2，在AB上取一點H，且BH=CF，若以BC為x軸，AB為y軸建立直角坐標系，問在直線BD上是否存在點P，使得以B、H、P為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的P點坐標；若不存在，說明理由北師大新版九年級上冊第1章 特殊的平行四邊形2015年單元測試卷一、選擇題：（每小題3分，共36分）1下列判定正確的是( )A對角線互相垂直的四邊形是菱形B兩條對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形C四邊相等且有一個角是直角的四邊形是正方形D一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形是平行四邊形【考點】多邊形 【分

7、析】根據(jù)平行四邊形的判定，菱形的判定，正方形的判定，可得答案【解答】解：A、對角線互相平分且互相垂直的四邊形是菱形，故A錯誤；B、兩條對角線相等且平分且互相垂直的四邊形是正方形，故B正確；C、四邊相等且有一個角是直角的四邊形是正方形，故C正確；D、一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形可能是平行四邊形、可能是等腰梯形，故D錯誤；故選：B【點評】本題考查了多邊形，熟記平行四邊形的判定與性質(zhì)、特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵2下列說法中，錯誤的是( )A平行四邊形的對角線互相平分B對角線互相平分的四邊形是平行四邊形C菱形的對角線互相垂直D對角線互相垂直的四邊形是菱形【考點】菱形的判定與性質(zhì)；平行四

8、邊形的判定與性質(zhì) 【分析】根據(jù)平行四邊形和菱形的性質(zhì)對各個選項進行分析從而得到最后答案【解答】解：根據(jù)平行四邊形和菱形的性質(zhì)得到ABC均正確，而D不正確，因為對角線互相垂直的四邊形也可能是梯形，故選：D【點評】主要考查了平行四邊形和特殊平行四邊形的特性，并利用性質(zhì)解題平行四邊形基本性質(zhì)：平行四邊形兩組對邊分別平行；平行四邊形的兩組對邊分別相等；平行四邊形的兩組對角分別相等；平行四邊形的對角線互相平分菱形的特性是：四邊相等，對角線互相垂直平分3下列命題原命題與逆命題都是真命題的是( )A矩形的對角線相等B對角線互相平分且相等的四邊形是矩形C矩形有一個內(nèi)角是直角D對角線互相垂直且平分的四邊形是矩形

9、【考點】命題與定理 【分析】分別寫出四個命題的逆命題，再判斷是否是真命題即可【解答】解：A、矩形的對角線相等，逆命題是對角線相等的四邊形是矩形，錯誤；B、對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，逆命題是矩形的對角線互相平分且相等，正確；C、矩形有一個內(nèi)角是直角，逆命題是有一個內(nèi)角是直角的四邊形是矩形，錯誤；D、對角線互相垂直且平分的四邊形是矩形，錯誤故選B【點評】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；題設與結(jié)論互換的兩個命題互為逆命題；正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫假命題；經(jīng)過推論論證得到的真命題稱為定理4既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，且只有兩條對稱軸的四邊形是( )A正方形B矩形C菱形

10、D矩形或菱形【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形 【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解【解答】解：正方形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，有4條對稱軸；矩形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，有2條對稱軸；菱形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，有2條對稱軸故選D【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合5兩條對角線相等的平行四邊形一定是( )A矩形B菱形C矩形或正方形D正方形【考點】矩形的判定 【分析】根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形，直接得出答案即可【解答】解：因為對角線

11、相等的平行四邊形是矩形故選：A【點評】此題考查了特殊平行四邊形的判定，需熟練掌握各特殊平行四邊形的特點是解題關(guān)鍵6如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，H為AD邊中點，菱形ABCD的周長為28，則OH的長等于( )A3.5B4C7D14【考點】菱形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理 【分析】根據(jù)菱形的四條邊都相等求出AB，菱形的對角線互相平分可得OB=OD，然后判斷出OH是ABD的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得OH=AB【解答】解：菱形ABCD的周長為28，AB=284=7，OB=OD，H為AD邊中點，OH是ABD的中位線，OH=AB

12、=7=3.5故選：A【點評】本題考查了菱形的對角線互相平分的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵7順次連接矩形四條邊的中點，所得到的四邊形一定是( )A矩形B菱形C正方形D平行四邊形【考點】中點四邊形 【分析】因為題中給出的條件是中點，所以可利用三角形中位線性質(zhì)，以及矩形對角線相等去證明四條邊都相等，從而說明是一個菱形【解答】解：連接AC、BD，在ABD中，AH=HD，AE=EBEH=BD，同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，又在矩形ABCD中，AC=BD，EH=HG=GF=FE，四邊形EFGH為菱形故選B【點評】本題考查了菱形的判定，菱形的判別

13、方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：定義，四邊相等，對角線互相垂直平分8如圖，以正方形ABCD的對角線AC為一邊作菱形AEFC，則FAB=( )A30B45C22.5D135【考點】菱形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì) 【分析】由正方形的性質(zhì)得對角線AC平分直角，因為菱形的對角線平分所在的角，所以FAB為直角的【解答】解：因為AC為正方形ABCD的對角線，則CAE=45，又因為菱形的每一條對角線平分一組對角，則FAB=22.5，故選：C【點評】此題主要考查了正方形、菱形的對角線的性質(zhì)9如圖，已知點E為正方形ABCD對角線BD上一點，且BE=BC，則DCE的度數(shù)為( )A30B22.5C15

14、D45【考點】正方形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì) 【分析】由正方形的性質(zhì)得到BC=CD，DBC=BDC=45，根據(jù)BE=BC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出BEC=BCE=67.5，根據(jù)DCE=BCDBCE即可求出答案【解答】解：正方形ABCD，BC=CD，DBC=BDC=45，BE=BC，BEC=BCE=67.5，DCE=BCDBCE=9067.5=22.5，故選B【點評】本題主要考查對正方形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能根據(jù)這些性質(zhì)求出DCE的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵，題型較好，難度適中10如圖：長方形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如圖的方式折疊，

15、使點B與點D重合折痕為EF，則DE長為( )A4.8B5C5.8D6【考點】翻折變換（折疊問題） 【專題】數(shù)形結(jié)合【分析】注意發(fā)現(xiàn)：在折疊的過程中，BE=DE，從而設BE即可表示AE，在直角三角形ADE中，根據(jù)勾股定理列方程即可求解【解答】解：設DE=xcm，則BE=DE=x，AE=ABBE=10x，在RTADE中，DE2=AE2+AD2，即x2=（10x）2+16解得：x=5.8（cm）故選C【點評】此題考查了翻折變換的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握翻折前后對應線段相等，另外要熟練運用勾股定理解直角三角形11如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，若兩個小正方形的面積分別為S1、S2，則S1+

16、S2的值為( )A16B17C18D19【考點】勾股定理 【分析】由圖可得，S2的邊長為3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分別算出S1、S2的面積，即可解答【解答】解：如圖，設正方形S1的邊長為x，ABC和CDE都為等腰直角三角形，AB=BC，DE=DC，ABC=D=90，sinCAB=sin45=，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD，AC=BC=2CD，又AD=AC+CD=6，CD=2，EC2=22+22，即EC=2；S1的面積為EC2=22=8；MAO=MOA=45，AM=MO，MO=MN，AM=MN，M為AN的中點，S2的邊長為3，S2

17、的面積為33=9，S1+S2=8+9=17故選B【點評】本題考查了勾股定理，要充分利用正方形的性質(zhì)，找到相等的量，再結(jié)合三角函數(shù)進行解答12如圖，正方形ABCD的面積為4，ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為( )A2B3CD【考點】軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì) 【專題】幾何圖形問題【分析】由于點B與D關(guān)于AC對稱，所以連接BE，與AC的交點即為P點此時PD+PE=BE最小，而BE是等邊ABE的邊，BE=AB，由正方形ABCD的面積為4，可求出AB的長，從而得出結(jié)果【解答】解：連接BD，與AC交于點F點B與D關(guān)于AC對稱

18、，PD=PB，PD+PE=PB+PE=BE最小正方形ABCD的面積為4，AB=2又ABE是等邊三角形，BE=AB=2所求最小值為2故選：A【點評】此題主要考查軸對稱最短路線問題，要靈活運用對稱性解決此類問題二、填空題（每小題3分，共12分）13已知菱形的周長為40cm，兩個相鄰角度數(shù)比為1：2，則較短的對角線長為10cm，面積為50cm2【考點】菱形的性質(zhì) 【專題】計算題【分析】根據(jù)已知可求得菱形的邊長及其兩內(nèi)角的度數(shù)，根據(jù)勾股定理可求得其對角線的長，根據(jù)菱形的面積等于兩對角線乘積的一半求得其面積【解答】解：根據(jù)已知可得，菱形的邊長AB=BC=CD=AD=10cm，ABC=60，BAD=120

19、，ABC為等邊三角形，AC=AB=10cm，AO=CO=5cm，在RtAOB中，根據(jù)勾股定理得：BO=5，BD=2BO=10（cm），則S菱形ABCD=ACBD=1010 =50（cm2）；故答案為：10cm，50cm2【點評】本題考查的是菱形的面積求法及菱形性質(zhì)的綜合菱形的面積有兩種求法（1）利用底乘以相應底上的高（2）利用菱形的特殊性，菱形面積=兩條對角線的乘積14如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將ABE折疊后得到GBE，延長BG交CD于點F，若CF=1，F(xiàn)D=2，則BC的長為【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì) 【專題】壓軸題【分析】首先過點E作EMBC于M，交BF于N，易證得

20、ENGBNM（AAS），MN是BCF的中位線，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求得GN=MN，由折疊的性質(zhì)，可得BG=3，繼而求得BF的值，又由勾股定理，即可求得BC的長【解答】解：過點E作EMBC于M，交BF于N，四邊形ABCD是矩形，A=ABC=90，AD=BC，EMB=90，四邊形ABME是矩形，AE=BM，由折疊的性質(zhì)得：AE=GE，EGN=A=90，EG=BM，在ENG和BNM中，ENGBNM（AAS），NG=NM，CM=DE，E是AD的中點，AE=ED=BM=CM，EMCD，BN：NF=BM：CM，BN=NF，NM=CF=，NG=，BG=AB=CD=CF+DF=3，BN=BGNG=3=，

21、BF=2BN=5，BC=2故答案為：2【點評】此題考查了矩形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)此題難度適中，注意輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用15在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，P是AD上的動點，PEAC于點E，PFBD于點F，則PE+PF=【考點】矩形的性質(zhì) 【分析】連接PO，過D作DMAC于M，求出AC、DM，根據(jù)三角形面積公式得出PE+PF=DM，即可得出答案【解答】解：連接PO，過D作DMAC于M，四邊形ABCD是矩形，ADC=90，AB=CD=5，AD=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，OA=OD，由勾股定理得：AC=13，O

22、A=OD=6.5，SADC=125=13DM，DM=，SAOD=SAPO+SDPO，AOPE+ODPF=AODM，PE+PF=DM=，故答案為：【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積的應用，關(guān)鍵是求出DM長和得出PE+PF=DM16如圖，菱形ABCD的周長為24cm，A=120，E是BC邊的中點，P是BD上的動點，則PEPC的最小值是3【考點】軸對稱-最短路線問題；菱形的性質(zhì) 【專題】探究型【分析】先求出菱形各邊的長度，作點E關(guān)于直線BD的對稱點E，連接CE交BD于點P，則CE的長即為PEPC的最小值，由菱形的性質(zhì)可知E為AB的中點，由直角三角形的判定定理可得出BCE是直角三角形

23、，利用勾股定理即可求出CE的長【解答】解：菱形ABCD的周長為24cm，AB=BC=6cm，作點E關(guān)于直線BD的對稱點E，連接CE交BD于點P，則CE的長即為PEPC的最小值，四邊形ABCD是菱形，BD是ABC的平分線，E在AB上，由圖形對稱的性質(zhì)可知，BE=BE=BC=6=3，BE=BE=BC，BCE是直角三角形，CE=3，故PEPC的最小值是3【點評】本題考查的是軸對稱最短路線問題及菱形的性質(zhì)、直角三角形的判定定理，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出圖形是解答此題的關(guān)鍵三、解答題：17如圖，菱形ABCD的對角線AC、BC相交于點O，BEAC，CEDB求證：四邊形OBEC是矩形【考點】矩形的判定；菱形的性

24、質(zhì) 【分析】根據(jù)平行四邊形的判定推出四邊形OBEC是平行四邊形，根據(jù)菱形性質(zhì)求出AOB=90，根據(jù)矩形的判定推出即可【解答】證明：BEAC，CEDB，四邊形OBEC是平行四邊形，又四邊形ABCD是菱形，ACBD，AOB=90，平行四邊形OBEC是矩形【點評】本題考查了菱形性質(zhì)，平行四邊形的判定，矩形的判定的應用，主要考查學生的推理能力18已知，如圖，AD是ABC的角平分線，DEAC，ED=AF求證：四邊形AEDF是菱形【考點】菱形的判定；角平分線的定義；平行線的性質(zhì) 【專題】證明題【分析】由已知易得四邊形AEDF是平行四邊形，由角平分線和平行線的定義可得FAD=FDA，則可求得AF=DF，故可

25、證明四邊形AEDF是菱形【解答】證明：AD是ABC的角平分線EAD=FADDEAC，ED=AF四邊形AEDF是平行四邊形EAD=ADFFAD=FDAAF=DF四邊形AEDF是菱形【點評】此題主要考查菱形的判定、角平分線的定義和平行線的性質(zhì)此題運用了菱形的判定方法“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”19已知：如圖，菱形ABCD中，E、F分別是CB、CD上的點，且BE=DF求證：AEF=AFE【考點】菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì) 【專題】證明題【分析】在菱形中，由SAS求得ABEADF，再由等邊對等角得到AEF=AFE【解答】證明：ABCD是菱形，AB=AD，B=D又EB=DF，ABEADF，

26、AE=AF，AEF=AFE【點評】本題利用了菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊對等角求解20已知：如圖，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足為點D，AN是ABC外角CAM的平分線，CEAN，垂足為點E，（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）當ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明【考點】矩形的判定；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；正方形的判定 【專題】證明題；開放型【分析】（1）根據(jù)矩形的有三個角是直角的四邊形是矩形，已知CEAN，ADBC，所以求證DAE=90，可以證明四邊形ADCE為矩形（2）根據(jù)正方形的判定，我們可以假設當AD=BC，由已知可得，DC=B

27、C，由（1）的結(jié)論可知四邊形ADCE為矩形，所以證得，四邊形ADCE為正方形【解答】（1）證明：在ABC中，AB=AC，ADBC，BAD=DAC，AN是ABC外角CAM的平分線，MAE=CAE，DAE=DAC+CAE=180=90，又ADBC，CEAN，ADC=CEA=90，四邊形ADCE為矩形（2）當ABC滿足BAC=90時，四邊形ADCE是一個正方形理由：AB=AC，ACB=B=45，ADBC，CAD=ACD=45，DC=AD，四邊形ADCE為矩形，矩形ADCE是正方形當BAC=90時，四邊形ADCE是一個正方形【點評】本題是以開放型試題，主要考查了對矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的

28、性質(zhì)，及角平分線的性質(zhì)等知識點的綜合運用21已知：如圖，在ABC中，AB=AC，D是的BC邊的中點，DEAC，DFAB，垂足分別是E、F（1）求證：DE=DF；（2）只添加一個條件，使四邊形EDFA是正方形，并給出證明【考點】正方形的判定 【分析】（1）連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AD是BAC的角平分線，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=DF；（2）添加BAC=90，根據(jù)三角形是直角的四邊形是矩形可得四邊形AFDE是矩形，再由條件DF=DE可得四邊形EDFA是正方形【解答】解：（1）連接AD，AB=AC，D是的BC邊的中點，AD是BAC的角平分線，DEAC，DFAB，DF=DE；（2）添加BAC=90，DEAC，DFAB，AFD=AED=90，四邊形AFDE是矩形，DF=DE，四邊形EDFA是正方形【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及正方形的判定，關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)22如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O，AOD=60，AB=，AEBD于點E，求OE的長【考點】矩形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì) 【專題】計算題【分析】矩形對角線相等且互相平分，即OA=OD，根據(jù)AOD=60可得AOD為等邊三角形，即OA=AD，AEBD，E為OD的中點，即可求OE的值【解答】解：對角線相等且互相平分，