線性方程與常數(shù)變易法

1、, 2.2 線性方程與常數(shù)變易法 /Linear ODE and variation of constants Method/,本節(jié)要求/Requirements/ 熟練掌握線性方程和伯努利方程的求解方法。 了解黎卡提方程的簡單性質(zhì)及其求解方法。,內(nèi)容提要/Constant Abstract/,一 、一階線性微分方程/ First-Order Linear ODE/,(2.2.1),的方程稱為一階線性微分方程(即關(guān)于 是線性的),其中,為 x 的已知函數(shù)。當,時，,稱為齊次線性方程;,當,時，稱為非齊次線性方程。,形如,一般形式,(2.2.2), 2.2 Linear ODE and vari

2、ation of constants Method,假設(shè) 函數(shù)在區(qū)間axb上連續(xù),則根據(jù)解的存在性及唯一性定理可知，在區(qū)域,方程(2.2.1)的初值問題的解是存在唯一的。,(2.2.1), 2.2 Linear ODE and variation of constants Method,（1）齊次線性方程/Homogenous Linear ODE/,解法:,分離變量，得:,積分，得:,.(2.2.2), 2.2 Linear ODE and variation of constants Method,得,因為,為(2.2.2)的解,所以其通解為:,.(2.2.3),其中c為任意常數(shù)。,滿足初

3、始條件,的解是,.(2.2.3), 2.2 Linear ODE and variation of constants Method,由公式(2.2.3)得，所求特解為:,由公式(2.2.3)得，所求通解為：,解,例1,的通解,并求滿足條件的 特解,試求微分方程, 2.2 Linear ODE and variation of constants Method,（2）非齊次線性方程/Non-Homogenous Linear ODE/,采用常數(shù)變易法求解,設(shè)想方程,有形如(2.2.3)的解，但其中的常數(shù)c變易為x的待定函數(shù),即設(shè),.(2.2.4),(2.2.3),方程的解。, 2.2 Line

4、ar ODE and variation of constants Method,上式代入方程(2.2.1)，得:,即:,積分得:, 2.2 Linear ODE and variation of constants Method,代入(2.2.4),.(2.2.5),得:,同時，方程滿足初始條件,的特解為 :, 2.2 Linear ODE and variation of constants Method,其中第一項是線性齊次方程的通解，第二項是線性非齊次方 程特解。 非齊次線性方程通解的結(jié)構(gòu)： 通解等于其對應(yīng)齊次方程通解與自身的一個特解之和。,由(2.2.5)得:, 2.2 Linear

5、 ODE and variation of constants Method,例2,解,1) 先求對應(yīng)的齊次方程通解,2) 用常數(shù)變易法求方程通解,設(shè),是方程的解，代入原方程，得, 2.2 Linear ODE and variation of constants Method,說明：對于一階線性方程，也可直接用通解公式計算得出。, 2.2 Linear ODE and variation of constants Method,例3,解,1) 轉(zhuǎn)換變量位置,2) 用公式求方程通解, 2.2 Linear ODE and variation of constants Method,有時方程關(guān)于

6、,x 為y 的函數(shù)，方程關(guān)于,于是仍可以根據(jù)上面的方法求解。,注意:,不是線性的，但如果視,是線性的，, 2.2 Linear ODE and variation of constants Method,練習, 2.2 Linear ODE and variation of constants Method,解,1)先解齊次方程,積分，得：,2) 設(shè),代入原方程，得:,練習 (1), 2.2 Linear ODE and variation of constants Method,化簡得:,所以，通解為:, 2.2 Linear ODE and variation of constants M

7、ethod,練習 (2),解,用公式求解,即:, 2.2 Linear ODE and variation of constants Method,解,方程可以改寫為:,練習 (3),故通解為:,即:, 2.2 Linear ODE and variation of constants Method,二、 可化為線性方程的方程,1 伯努利方程/Bernoulli ODE/,2* 黎卡提方程/ Riccati ODE/, 2.2 Linear ODE and variation of constants Method,1 伯努利方程/Bernoulli ODE/,形如,的方程稱為伯努利方程，其中

8、,它通過變量代換可化為線性方程。,解法：,將方程(2.2.6)的各項同乘以,得:,令, 2.2 Linear ODE and variation of constants Method,用上式求解后，代入原變量,便得原方程的通解。, 2.2 Linear ODE and variation of constants Method,例4,將方程改寫為:,解,故, 2.2 Linear ODE and variation of constants Method,2 黎卡提方程 / Riccati ODE/,形如,的方程稱為黎卡提方程。,特點:,在一般情況下，此類方程的解不能用初等函數(shù)及其積分 形示

9、表示，如果先由觀察法或其他方法知道它的一個特 解時，才可以通過初等積分法，求出它的通解。, 2.2 Linear ODE and variation of constants Method,解法,若方程有一特解為,設(shè),則,化為伯努利方程。, 2.2 Linear ODE and variation of constants Method,由觀察看出,是方程的一個特解，于是,令,，則得,解,故原方程的通解為,例5, 2.2 Linear ODE and variation of constants Method,例6 試求,形如,的特解,解此微分方程。,解,設(shè),代入方程得:,所以,故,是方程的一

10、個特解。,令,于是方程化為伯努利方程, 2.2 Linear ODE and variation of constants Method,故原方程的通解為, 2.2 Linear ODE and variation of constants Method,練習, 2.2 Linear ODE and variation of constants Method,練習,方程各項同除以,得:,解,令,于是方程化為:,即, 2.2 Linear ODE and variation of constants Method,解,經(jīng)觀察，方程有一個特解,令,練習, 2.2 Linear ODE and variation of constants Method,思考題,作業(yè)： P.38 第6，8，11，14，15，16，20，22(1)題 P.64 第36(3)題, 2.2 Linear ODE and variation of constants Method,提示:,1,2,3,（線性方程）,（伯努利方程）,（線性方程）, 2.2 Li