隨機過程-第四章2

1、3. 時間連續(xù)狀態(tài)離散的馬氏過程,一、定義,轉移概率函數(shù),pij (s) = pij (t，t+s)=px(t+s)=j | x(t)=i t0，s0,我們只討論時齊馬氏過程，以后不再說“時齊”二字。,7 絕對概率被初始概率和轉移概率所確定,定義：過程 x(t)，t(0，+) 狀態(tài)有限e= 1，2，n ,9轉移密度矩陣（速率（度）矩陣，也稱q矩陣）,稱為馬氏過程的速度函數(shù)或由狀態(tài)i 轉移到狀態(tài)j的轉移概率密度。,上面兩個定義是一樣的,qij表示在單位時間內(nèi)，由狀態(tài)i轉移到狀態(tài)j的 平均概率。,說明：（qii是跳離i的轉移密度）,注：qii表示在單位時間內(nèi)跳離i的平均概率， 而不是在單位時間內(nèi)停

2、留在i的概率。,（3）速率函數(shù)的性質, qii0，i=1，2，n, qij0 ij i，j=1，2，n,下面介紹pij(t)滿足的微分方程組及其求解。,注意：二個方程都是關于pij(t)的線性微分方 程組，各包含(n+1)2個方程，,可通過解方程組加初始條件求 也可通過拉氏變換求解。,介紹負指數(shù)分布的無記憶性。,應用舉例：一般步驟：,1.寫出狀態(tài)轉移矩陣，并畫出狀態(tài)轉移圖,(1) 定義系統(tǒng)狀態(tài),要保證所定義的狀態(tài)是能區(qū)分系統(tǒng)的的各種不同狀態(tài)，,如：系統(tǒng)工作（1），系統(tǒng)故障（0）. e0，1。,（2）定義隨機過程，,2 求轉移速率矩陣,1. (1) 1表示系統(tǒng)在工作，0表示系統(tǒng)故障.e0,1,

3、分布特點，負指數(shù)分布無記憶性，知它是馬氏過程。,(3) 馬氏過程曲線圖 狀態(tài)轉移圖,系統(tǒng)工作1，系統(tǒng)故障0。,獨立性 機器的各次運轉期相互獨立， 各次修復時間也相互獨立，,故障工作,每一行之和等于1,2. 求速率函數(shù)。,速率矩陣,每行之和0,四個方程組，可求出其中兩個，問題可解,求解 柯爾莫哥洛夫向前方程,代入上面甲式,可以得到,可以用拉氏變換求解,將系數(shù)代入各項，且寫成部分分式形式,4.求過程在時刻t的狀態(tài)概率分布。,例3 目的：考察一個服務窗口前顧客排隊的情況。,第一步：定義x(t)，寫出p(t),負指數(shù)分布函數(shù),第二步 求q速率矩陣,注意：q每行之和是0,速率矩陣為,3.柯爾英哥洛夫向前

4、方程 見書p212,4.求p（t）？,2. 當馬氏過程有遍歷性時,四. 獨立增量過程 p215,是m1個相互獨立的r.v.， 那么稱x(t)是獨立增量過程,注：此定義并不要求過程的狀態(tài)是離散的。,如：關于電話交換站的例子。 x（t）是平穩(wěn)獨立的增量過程。,2 2. 定理：若 x(t)，t0，+) 是狀態(tài)離散的平穩(wěn) 獨立增量過程，則它是時齊馬氏過程。 證明：見p215。,4 泊松過程及其性質,一、 概念 p206 例1.是以電話呼叫過程為例建立poisson 過程的數(shù)學模型。,（1）x(0)=0,(2) x(t)是平穩(wěn)獨立增量過程；,2poisson過程的數(shù)學模型, 普通性：在充分小的時間間隔內(nèi)

5、來到的呼叫數(shù) 最多只有一次。,3.推證方法： 推證法一： 書 p206 例1 推證法二： 介紹,以上兩個公式刻劃了泊松過程。,(1) 用laplace 變換求解泊松方程。,3兩個定義是等價的 p217 定理1 證明,以上兩種定義中的條件是（1）是相同的， 只是條件（2）不同。,定義一是從宏觀上給出增量的概率分布，,實用上，經(jīng)驗證滿足上述模型的四個條件， 可用泊松過程來描述。,獨立的泊松過程之和仍是泊松過程，此結論可以直接用。,四計數(shù)過程與泊松過程,1定義三,由定義出發(fā)，可知任一計數(shù)過程應滿足下列條件：,(1) n(t)是一個非負整數(shù)，,p218直觀看法,p219 定理證明,3. poisson過程的到達時間與點間間隔分布,五泊松過程與均勻分布的關