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文檔簡介
1、由題后反思培養(yǎng)學(xué)生自我探究能力“掌握數(shù)學(xué)就意味著解題”(G.波利亞),如何提高學(xué)生的解題能力正是中學(xué)教師共同的話題。我們常見到這樣的情形:課堂上聽懂了,堂上作業(yè)也做對了,可是課外再做同類的題又做不出或者做錯。這是什么原因?是學(xué)生笨嗎?當(dāng)然不是,其中一個很重要的原因就是學(xué)生做題后不反思,沒有養(yǎng)成題后反思的習(xí)慣!常常滿足于題目的做法,而不進(jìn)一步追究為什么這樣做,知其然而不知其所以然,這樣獲得的知識往往只是表面的、膚淺的。所謂反思,是指主動地對已完成的思維過程進(jìn)行周密且有批判性的再思考。是對已形成的數(shù)學(xué)思想、方法和知識從另一角度,以另一方式進(jìn)行再認(rèn)識,以求得新的認(rèn)識或提出疑問作為新的思考起點 。經(jīng)常
2、反思,能促進(jìn)學(xué)生從不同方面多角度觀察事物,并尋求不同思路,善于在學(xué)習(xí)中質(zhì)疑問難,解決問題時不滿足于常規(guī)的思考方法,同時也有利于創(chuàng)新能力的形成,有利于自我探究能力的形成。新課程理念倡導(dǎo)積極主動,勇于探索的學(xué)習(xí)方式,不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí),鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中,養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習(xí)慣。新課程標(biāo)準(zhǔn)力求在夯實基礎(chǔ)的同時,自始至終體現(xiàn)創(chuàng)新精神, 為學(xué)生提供“提出問題、探索思考和實踐應(yīng)用”的空間。那么怎樣讓學(xué)生養(yǎng)成解題后反思的習(xí)慣,培養(yǎng)自我探究能力呢?一、 反思錯解,培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性,提高自我探究能力錯誤是學(xué)生在學(xué)習(xí)中自然存在的現(xiàn)象。對錯誤反思能使學(xué)生認(rèn)識錯誤所在,自診自治,提高對
3、錯誤的免疫力。同時形成理性思維是培養(yǎng)學(xué)生具有社會責(zé)任感、學(xué)會批判思考的基本環(huán)節(jié)。反思錯解,關(guān)鍵在于找準(zhǔn)根源,教師可引導(dǎo)學(xué)生從以下幾點反思:錯誤出現(xiàn)在何處?是題意理解不完整,還是推理不嚴(yán)密,還是結(jié)論不簡潔。錯誤根源是什么?概念理解不準(zhǔn)確,公式、方法運用不當(dāng),還是書寫不規(guī)范。如何得出正確答案?教師可采用以下方式引導(dǎo)學(xué)生反思:1、 在教學(xué)中有意出現(xiàn)錯誤。教學(xué)中,教師可選準(zhǔn)時機(jī),有意按照學(xué)生的“常見病”,“多發(fā)病”的歧路出錯,把錯誤暴露給學(xué)生。例1 已知y=k(x-2)+1與y=有兩個不同的公共解,求k的取值一開始,教師有意迎合學(xué)生的習(xí)慣思維,板書錯誤解答。解:由題意得k(x-2)+1=要使兩方程有兩
4、個不同的公共解,即需至此可讓學(xué)生尋找別的解法,經(jīng)過一段時間,一些學(xué)生用解析法求出。這時學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題,習(xí)慣思維受到?jīng)_擊,有些學(xué)生發(fā)現(xiàn)老師錯誤,但不知所在,經(jīng)老師引導(dǎo),原來當(dāng)一元二次方程中未知數(shù)取值范圍受到限制時,利用判別式的取值來判定方程的解不準(zhǔn)確 ,犯了方法運用不當(dāng),推理不嚴(yán)密的錯誤。 2、一題多錯,辨別分析錯誤。教師可組織學(xué)生積極參與,辨析思維,挖掘致錯根源。師生共同探究,充分展示探究過程,達(dá)到對解題方法的透徹理解。 例2 已知a,b,且a+b=1,求證:(+ )(+ 先讓學(xué)生練習(xí),教師巡視,并讓證題出錯的學(xué)生板演。 錯證1: 錯證2: 錯證3 然后組織學(xué)生自己分析錯因,可以發(fā)現(xiàn)錯證1和錯證
5、2中等號成立的條件均為a=b=1,這與條件a+b=1相悖。錯證3則是應(yīng)用了異向不等式相加的錯誤推理,較為隱蔽。 反思錯因,促進(jìn)了正確思路的萌生。在分析中,學(xué)生能掌握證題的關(guān)鍵是抓住等號成立的條件,容易估猜當(dāng)a=b=時等號成立。學(xué)生在這個原則指導(dǎo)下,探索了多種證法,現(xiàn)舉一種。正解: 通過以上的教學(xué)形式,可幫助學(xué)生形成反思錯解的習(xí)慣 也知道如何去尋找錯因,從而總結(jié)教訓(xùn),避免再犯;同時也加深了對概念、法則、定理、公式的理解,訓(xùn)練了思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性,也促進(jìn)了知識的同化和順應(yīng)。師生共同參與,揭示探究過程,在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生的自我探究能力。 二、反思突破口,培養(yǎng)思維的開闊性和靈活性,提高自我探究能力
6、 有些題學(xué)生往往感到無法入手,或做到中途無法繼續(xù)。其實解不出的題往往只是某個小知識點或某種處理方法沒有掌握,只要找到阻礙思路的地方,弄通它,思路就豁然開朗了。解題不僅僅是知道解法,更重要是反思解題過程,從中找出卡住思路的地方,這些常常也是題目的突破口,從而逐步積累解題經(jīng)驗,為進(jìn)一步探究打下堅實的基礎(chǔ)。 例3、已知橢圓,問是否存在斜率為k(k0)的直線L,使L與橢圓交與兩個不同點M,N,且|AM|=|AN|,若存在,求k的取值范圍,若不存在,請說明理由。 此題設(shè)L:y=kx+b與橢圓方程聯(lián)立,先找k與b的關(guān)系,再由聯(lián)立的方程的0建立k的不等式,相當(dāng)繁瑣,參數(shù)太多,學(xué)生往往在中途會做不下去。 解:
7、假設(shè)存在斜率為k的直線L,令M(x1,y1),N(x2,y2)中點為P(x0,y0),由|AM|=|AN|得LLAP即kAp= -(1) 由 與 得 k= -(2) 由(1),(2)得因P點在橢圓內(nèi),所以解得故L存在教師給出此解法后讓學(xué)生反思,學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)解法是從L的斜率k出發(fā),借助|AM|=|AN|,得出LLAP,P為MN的中點,用k表示P點,再考慮P點在橢圓內(nèi) ,從而建立k的不等式。解法關(guān)鍵在于控制P點在橢圓內(nèi),從而避開了繁瑣的計算。這也是一大類有關(guān)圓錐曲線和直線,點的對稱問題的關(guān)鍵所在。用此法可較容易解決下題:例4已知橢圓C的方程為,試確定m的取值范圍,使得對于直線y=4x+m,橢圓C上
8、有不同的兩點關(guān)于該直線對稱(廣東高考題)。三、反思總結(jié),擴(kuò)大成果,培養(yǎng)思維的發(fā)散性和創(chuàng)新性,提高自我探究能力解題不在多而在深。膚淺的解決很多問題,在題海里浮游,就捕撈不到有價值的東西;反之認(rèn)真研究一個問題,總結(jié)出幾條借鑒的規(guī)律,以后在遇到類似的或相近的題目,就不但會解,還可以多方面去解,甚至推而廣之,以一當(dāng)十。因此,每解一道新題,都要反思,爭取得到盡可能多的收獲。“一個大的發(fā)現(xiàn)可以解決一個新的問題,但在解決任何一個問題里都有一點點發(fā)現(xiàn)”。若能在解題中注重積累“一點點的發(fā)現(xiàn)”,從量變到質(zhì)變,慢慢就可培養(yǎng)出一種善于思考問題和解決問題的能力,有能力進(jìn)行自我探究。1、反思解法,尋求一題多解。題目往往由
9、于審題的角度不同,得出多種解題方法。教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行多角度觀察,聯(lián)想,找到更多的思維通道,探索更好的解題途徑。一題多解的訓(xùn)練,能開闊思維,增強(qiáng)綜合運用數(shù)學(xué)知識的能力,利于培養(yǎng)創(chuàng)造性的發(fā)散思維。例5 求使關(guān)于x的方程2x=22(x-a)2恰有一實數(shù)解的a的取值范圍解法一:原方程可化為22x=2(x-a)2 等價于 得x2-(2a+2)x+a2=0當(dāng)時a=,可得滿足。(注:多數(shù)高三學(xué)生只能做到這里)當(dāng)時即得其中滿足題意要使原方程只有一解只需得綜上,當(dāng)或a=時原方程有唯一解此解法較繁,中用求根公式較少見,絕大多數(shù)學(xué)生想不到。教師可引導(dǎo)學(xué)生回到等價轉(zhuǎn)換的地方再觀察,不難發(fā)現(xiàn)問題實質(zhì)是要使方程2x=(
10、x-a)2在(a,+)恰有一解,由此產(chǎn)生下列解法。解法二:要使方程2x=(x-a)2在(a,+)恰有一解當(dāng)時a=,可得滿足。當(dāng)時,由2x=(x-a)2得x2-(2a+2)x+a2=0,令f(x)= x2-(2a+2)x+a2則的圖像在(a,+)內(nèi)與x軸恰有一交點,而另一交點在(-,a,只需,(后略)此法較簡,但仍需分情況討論,可否不分呢?再回到等價轉(zhuǎn)換的地方,可發(fā)現(xiàn)恰有一解,可利用兩函數(shù)的圖像只有一個公共點實現(xiàn)。解法三:令t=(t0)得a=(t0)由圖可知當(dāng)或a=,兩函數(shù)的圖像只有一交點,即原方程恰有一解可見后兩種解法較簡,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合,正如華羅庚教授所說:“數(shù)缺形時少直覺,形少數(shù)時難入微,
11、數(shù)形結(jié)合百般好,割裂分家萬事非?!蓖ㄟ^以上多解訓(xùn)練,學(xué)生加深了對一元二次方程,一元二次函數(shù)的圖像與性質(zhì),一元二次不等式的深刻理解。達(dá)到一線串珠的效果,培養(yǎng)了學(xué)生思維的發(fā)散性和靈活性。2、反思結(jié)論與條件。去掉題目條件的某些約束,使特殊條件一般化,推廣到較普遍性的新命題,能夠證明嗎?保持條件不變,把結(jié)論開拓引申,又可使題目深化。例如把射影定理的結(jié)論加以開拓引申,就得到勾股定理。如例5由解法三可知當(dāng)或a=時原方程有唯一解;a時方程無實數(shù)解;a0時原方程有兩個不同的實數(shù)解。3、反思解題規(guī)律,總結(jié)數(shù)學(xué)思想、方法、技巧。數(shù)學(xué)習(xí)題千變?nèi)f化,但變化之中也有規(guī)律可找。掌握了解題規(guī)律,就能提高解題速度。例如有時根
12、據(jù)需要把某些字母(或式)看作未知數(shù)而把其他字母看作常數(shù),或把等式看作方程,這是靈活運用方程觀點分析解題思路的常用方法。又例如證面面垂直時,總是先證線面垂直;而條件給出面面垂直時,又常轉(zhuǎn)化成線面垂直,線線垂直。例6,(2020高考廣東18題)設(shè)函數(shù)f(x)=-x3+3x+2分別在x1,x2處取得極小值,極大值。xoy平面上點A、B的坐標(biāo)分別為(x1,f(x1)、(x2,f(x2),該平面上動點P滿足=4,點Q是點P關(guān)于直線y=2(x-4)的對稱點。求(1) 求點A、B的坐標(biāo);(2) 求動點Q的軌跡方程。解:(1)對y=-x3+3x+2求導(dǎo)得y=-3x2+3,令y=0解得x=1當(dāng)x-1時,y0;當(dāng)
13、-1x0;當(dāng)x1時,y0所以y在x=-1處取得極小值0,在x=1處取得極大值4。即點A、B的坐標(biāo)分別為(-1,0)、(1,4)。(2)設(shè)P(x,y),則=(-1-x,-y),=(1-x,4-y),由=4(-x-1)(1-x)+(-y)(4-y)=4 即x2+(y-2)2=32方法一:因點Q是點P關(guān)于直線y=2(x-4)的對稱點,所以動點Q的軌跡是一個以C0( x0,y0)為圓心,半徑為3的圓,其中C0(x0,y0)和C(0,2)關(guān)于直線y=2(x-4)對稱,于是有故動點Q軌跡方程為(x-8)2+(y+2)2=9方法二:設(shè)Q(u,v),因P、Q關(guān)于直線y=2(x-4)對稱,故代入x2+(y-2)
14、2=32化簡得(u-8)2+(v+2)2=9Q軌跡方程為(x-8)2+(y+2)2=9題目解完后,可引導(dǎo)學(xué)生反思解題規(guī)律: 數(shù)學(xué)思想在解題中的運用。題中條件=4的處理,是將向量問題坐標(biāo)化,化歸為代數(shù)問題處理,這是方程思想和化歸思想的聯(lián)合應(yīng)用。事實上,當(dāng)我們拿到一個新的數(shù)學(xué)問題而不知如何下手時,首先要想到的是用方程或函數(shù)的觀點去看問題,往往能迅速抓住問題的實質(zhì)。方法與技巧的運用。求點的軌跡有兩種基本處理方法:(1)直接法,在知道軌跡是圓的情況下,可以直接求圓心和半徑;(2)相關(guān)點法,這是通法,在不知道軌跡的情況下,將Q的問題轉(zhuǎn)化到P點處理,也是化歸思想的體現(xiàn)。解法的選擇。在解題中要先想一想解決問題有幾種方案,哪種方案較好,然后從最優(yōu)方案入手。這也是考試時的重要解題策略。例如我們應(yīng)該選擇方法一,在高考時就可以節(jié)省大量時間去做其它難題。通過反思,學(xué)生加深了對數(shù)學(xué)思想方法與實際應(yīng)用的領(lǐng)悟,逐步學(xué)會了歸納和總結(jié)。一段時間的積累后,就可達(dá)到快速解決問題的目的??梢姡此际侵R轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。同時也使得我們有能力去做進(jìn)一步的探究,會發(fā)現(xiàn)一些我們意想不到的結(jié)論。有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,有利于增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,有利于擴(kuò)展學(xué)生的視野。教師應(yīng)經(jīng)常的有目的多角度引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會題后反思,教會學(xué)生反思,錘煉思維,
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