高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 由題后反思培養(yǎng)學(xué)生自我探究能力（通用）

1、由題后反思培養(yǎng)學(xué)生自我探究能力“掌握數(shù)學(xué)就意味著解題”（G.波利亞），如何提高學(xué)生的解題能力正是中學(xué)教師共同的話題。我們常見到這樣的情形：課堂上聽懂了,堂上作業(yè)也做對了，可是課外再做同類的題又做不出或者做錯。這是什么原因？是學(xué)生笨嗎?當(dāng)然不是，其中一個很重要的原因就是學(xué)生做題后不反思，沒有養(yǎng)成題后反思的習(xí)慣！常常滿足于題目的做法，而不進(jìn)一步追究為什么這樣做，知其然而不知其所以然，這樣獲得的知識往往只是表面的、膚淺的。所謂反思，是指主動地對已完成的思維過程進(jìn)行周密且有批判性的再思考。是對已形成的數(shù)學(xué)思想、方法和知識從另一角度，以另一方式進(jìn)行再認(rèn)識，以求得新的認(rèn)識或提出疑問作為新的思考起點 。經(jīng)常

2、反思，能促進(jìn)學(xué)生從不同方面多角度觀察事物，并尋求不同思路，善于在學(xué)習(xí)中質(zhì)疑問難，解決問題時不滿足于常規(guī)的思考方法，同時也有利于創(chuàng)新能力的形成，有利于自我探究能力的形成。新課程理念倡導(dǎo)積極主動，勇于探索的學(xué)習(xí)方式，不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習(xí)慣。新課程標(biāo)準(zhǔn)力求在夯實基礎(chǔ)的同時，自始至終體現(xiàn)創(chuàng)新精神， 為學(xué)生提供“提出問題、探索思考和實踐應(yīng)用”的空間。那么怎樣讓學(xué)生養(yǎng)成解題后反思的習(xí)慣，培養(yǎng)自我探究能力呢？一、 反思錯解，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性，提高自我探究能力錯誤是學(xué)生在學(xué)習(xí)中自然存在的現(xiàn)象。對錯誤反思能使學(xué)生認(rèn)識錯誤所在，自診自治，提高對

3、錯誤的免疫力。同時形成理性思維是培養(yǎng)學(xué)生具有社會責(zé)任感、學(xué)會批判思考的基本環(huán)節(jié)。反思錯解，關(guān)鍵在于找準(zhǔn)根源，教師可引導(dǎo)學(xué)生從以下幾點反思：錯誤出現(xiàn)在何處？是題意理解不完整，還是推理不嚴(yán)密，還是結(jié)論不簡潔。錯誤根源是什么？概念理解不準(zhǔn)確，公式、方法運用不當(dāng)，還是書寫不規(guī)范。如何得出正確答案？教師可采用以下方式引導(dǎo)學(xué)生反思：1、 在教學(xué)中有意出現(xiàn)錯誤。教學(xué)中，教師可選準(zhǔn)時機(jī)，有意按照學(xué)生的“常見病”，“多發(fā)病”的歧路出錯，把錯誤暴露給學(xué)生。例1 已知y=k(x-2)+1與y=有兩個不同的公共解,求k的取值一開始，教師有意迎合學(xué)生的習(xí)慣思維，板書錯誤解答。解：由題意得k(x-2)+1=要使兩方程有兩

4、個不同的公共解，即需至此可讓學(xué)生尋找別的解法，經(jīng)過一段時間，一些學(xué)生用解析法求出。這時學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，習(xí)慣思維受到?jīng)_擊，有些學(xué)生發(fā)現(xiàn)老師錯誤，但不知所在，經(jīng)老師引導(dǎo)，原來當(dāng)一元二次方程中未知數(shù)取值范圍受到限制時，利用判別式的取值來判定方程的解不準(zhǔn)確 ，犯了方法運用不當(dāng)，推理不嚴(yán)密的錯誤。 2、一題多錯，辨別分析錯誤。教師可組織學(xué)生積極參與，辨析思維，挖掘致錯根源。師生共同探究,充分展示探究過程，達(dá)到對解題方法的透徹理解。 例2 已知a,b，且a+b=1,求證：（+ ）(+ 先讓學(xué)生練習(xí)，教師巡視，并讓證題出錯的學(xué)生板演。 錯證1： 錯證2： 錯證3 然后組織學(xué)生自己分析錯因，可以發(fā)現(xiàn)錯證1和錯證

5、2中等號成立的條件均為a=b=1，這與條件a+b=1相悖。錯證3則是應(yīng)用了異向不等式相加的錯誤推理，較為隱蔽。 反思錯因，促進(jìn)了正確思路的萌生。在分析中，學(xué)生能掌握證題的關(guān)鍵是抓住等號成立的條件，容易估猜當(dāng)a=b=時等號成立。學(xué)生在這個原則指導(dǎo)下，探索了多種證法，現(xiàn)舉一種。正解： 通過以上的教學(xué)形式，可幫助學(xué)生形成反思錯解的習(xí)慣 也知道如何去尋找錯因，從而總結(jié)教訓(xùn)，避免再犯；同時也加深了對概念、法則、定理、公式的理解，訓(xùn)練了思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性，也促進(jìn)了知識的同化和順應(yīng)。師生共同參與，揭示探究過程，在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生的自我探究能力。 二、反思突破口，培養(yǎng)思維的開闊性和靈活性，提高自我探究能力

6、 有些題學(xué)生往往感到無法入手，或做到中途無法繼續(xù)。其實解不出的題往往只是某個小知識點或某種處理方法沒有掌握，只要找到阻礙思路的地方，弄通它，思路就豁然開朗了。解題不僅僅是知道解法，更重要是反思解題過程，從中找出卡住思路的地方，這些常常也是題目的突破口，從而逐步積累解題經(jīng)驗，為進(jìn)一步探究打下堅實的基礎(chǔ)。 例3、已知橢圓，問是否存在斜率為k(k0)的直線L,使L與橢圓交與兩個不同點M,N,且|AM|=|AN|，若存在,求k的取值范圍,若不存在，請說明理由。 此題設(shè)L:y=kx+b與橢圓方程聯(lián)立,先找k與b的關(guān)系,再由聯(lián)立的方程的0建立k的不等式,相當(dāng)繁瑣,參數(shù)太多,學(xué)生往往在中途會做不下去。 解：

7、假設(shè)存在斜率為k的直線L,令M(x1,y1),N(x2,y2)中點為P(x0,y0),由|AM|=|AN|得LLAP即kAp= -(1) 由 與 得 k= -(2) 由（1），（2）得因P點在橢圓內(nèi)，所以解得故L存在教師給出此解法后讓學(xué)生反思，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)解法是從L的斜率k出發(fā)，借助|AM|=|AN|，得出LLAP，P為MN的中點，用k表示P點,再考慮P點在橢圓內(nèi) ，從而建立k的不等式。解法關(guān)鍵在于控制P點在橢圓內(nèi)，從而避開了繁瑣的計算。這也是一大類有關(guān)圓錐曲線和直線，點的對稱問題的關(guān)鍵所在。用此法可較容易解決下題：例4已知橢圓C的方程為，試確定m的取值范圍,使得對于直線y=4x+m，橢圓C上

8、有不同的兩點關(guān)于該直線對稱(廣東高考題)。三、反思總結(jié)，擴(kuò)大成果，培養(yǎng)思維的發(fā)散性和創(chuàng)新性，提高自我探究能力解題不在多而在深。膚淺的解決很多問題，在題海里浮游，就捕撈不到有價值的東西；反之認(rèn)真研究一個問題，總結(jié)出幾條借鑒的規(guī)律，以后在遇到類似的或相近的題目，就不但會解，還可以多方面去解，甚至推而廣之，以一當(dāng)十。因此，每解一道新題，都要反思，爭取得到盡可能多的收獲。“一個大的發(fā)現(xiàn)可以解決一個新的問題，但在解決任何一個問題里都有一點點發(fā)現(xiàn)”。若能在解題中注重積累“一點點的發(fā)現(xiàn)”，從量變到質(zhì)變，慢慢就可培養(yǎng)出一種善于思考問題和解決問題的能力，有能力進(jìn)行自我探究。1、反思解法，尋求一題多解。題目往往由

9、于審題的角度不同，得出多種解題方法。教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行多角度觀察，聯(lián)想，找到更多的思維通道，探索更好的解題途徑。一題多解的訓(xùn)練，能開闊思維，增強(qiáng)綜合運用數(shù)學(xué)知識的能力，利于培養(yǎng)創(chuàng)造性的發(fā)散思維。例5 求使關(guān)于x的方程2x=22(x-a)2恰有一實數(shù)解的a的取值范圍解法一：原方程可化為22x=2(x-a)2 等價于 得x2-(2a+2)x+a2=0當(dāng)時a=,可得滿足。（注：多數(shù)高三學(xué)生只能做到這里）當(dāng)時即得其中滿足題意要使原方程只有一解只需得綜上，當(dāng)或a=時原方程有唯一解此解法較繁，中用求根公式較少見，絕大多數(shù)學(xué)生想不到。教師可引導(dǎo)學(xué)生回到等價轉(zhuǎn)換的地方再觀察，不難發(fā)現(xiàn)問題實質(zhì)是要使方程2x=(

10、x-a)2在(a,+)恰有一解,由此產(chǎn)生下列解法。解法二：要使方程2x=(x-a)2在(a,+)恰有一解當(dāng)時a=,可得滿足。當(dāng)時，由2x=(x-a)2得x2-(2a+2)x+a2=0，令f(x)= x2-(2a+2)x+a2則的圖像在(a,+)內(nèi)與x軸恰有一交點,而另一交點在(-,a，只需,(后略)此法較簡，但仍需分情況討論，可否不分呢？再回到等價轉(zhuǎn)換的地方，可發(fā)現(xiàn)恰有一解，可利用兩函數(shù)的圖像只有一個公共點實現(xiàn)。解法三：令t=(t0)得a=(t0)由圖可知當(dāng)或a=，兩函數(shù)的圖像只有一交點，即原方程恰有一解可見后兩種解法較簡，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合，正如華羅庚教授所說：“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微，

11、數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事非?！蓖ㄟ^以上多解訓(xùn)練，學(xué)生加深了對一元二次方程，一元二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，一元二次不等式的深刻理解。達(dá)到一線串珠的效果，培養(yǎng)了學(xué)生思維的發(fā)散性和靈活性。2、反思結(jié)論與條件。去掉題目條件的某些約束，使特殊條件一般化，推廣到較普遍性的新命題，能夠證明嗎？保持條件不變，把結(jié)論開拓引申，又可使題目深化。例如把射影定理的結(jié)論加以開拓引申，就得到勾股定理。如例5由解法三可知當(dāng)或a=時原方程有唯一解；a時方程無實數(shù)解；a0時原方程有兩個不同的實數(shù)解。3、反思解題規(guī)律，總結(jié)數(shù)學(xué)思想、方法、技巧。數(shù)學(xué)習(xí)題千變?nèi)f化，但變化之中也有規(guī)律可找。掌握了解題規(guī)律，就能提高解題速度。例如有時根

12、據(jù)需要把某些字母（或式）看作未知數(shù)而把其他字母看作常數(shù)，或把等式看作方程，這是靈活運用方程觀點分析解題思路的常用方法。又例如證面面垂直時，總是先證線面垂直；而條件給出面面垂直時，又常轉(zhuǎn)化成線面垂直，線線垂直。例6，（2020高考廣東18題）設(shè)函數(shù)f(x)=-x3+3x+2分別在x1,x2處取得極小值，極大值。xoy平面上點A、B的坐標(biāo)分別為(x1,f(x1)、(x2,f(x2),該平面上動點P滿足=4，點Q是點P關(guān)于直線y=2(x-4)的對稱點。求(1) 求點A、B的坐標(biāo)；(2) 求動點Q的軌跡方程。解：(1)對y=-x3+3x+2求導(dǎo)得y=-3x2+3,令y=0解得x=1當(dāng)x-1時，y0;當(dāng)

13、-1x0;當(dāng)x1時，y0所以y在x=-1處取得極小值0，在x=1處取得極大值4。即點A、B的坐標(biāo)分別為(-1,0)、(1,4)。(2)設(shè)P(x,y),則=(-1-x,-y),=(1-x,4-y),由=4(-x-1)(1-x)+(-y)(4-y)=4 即x2+(y-2)2=32方法一：因點Q是點P關(guān)于直線y=2(x-4)的對稱點，所以動點Q的軌跡是一個以C0( x0,y0)為圓心，半徑為3的圓，其中C0(x0,y0)和C(0,2)關(guān)于直線y=2(x-4)對稱，于是有故動點Q軌跡方程為(x-8)2+(y+2)2=9方法二：設(shè)Q(u,v),因P、Q關(guān)于直線y=2(x-4)對稱，故代入x2+(y-2)

14、2=32化簡得(u-8)2+(v+2)2=9Q軌跡方程為(x-8)2+(y+2)2=9題目解完后，可引導(dǎo)學(xué)生反思解題規(guī)律： 數(shù)學(xué)思想在解題中的運用。題中條件=4的處理，是將向量問題坐標(biāo)化，化歸為代數(shù)問題處理，這是方程思想和化歸思想的聯(lián)合應(yīng)用。事實上，當(dāng)我們拿到一個新的數(shù)學(xué)問題而不知如何下手時，首先要想到的是用方程或函數(shù)的觀點去看問題，往往能迅速抓住問題的實質(zhì)。方法與技巧的運用。求點的軌跡有兩種基本處理方法：(1)直接法,在知道軌跡是圓的情況下，可以直接求圓心和半徑；(2)相關(guān)點法，這是通法，在不知道軌跡的情況下，將Q的問題轉(zhuǎn)化到P點處理，也是化歸思想的體現(xiàn)。解法的選擇。在解題中要先想一想解決問題有幾種方案，哪種方案較好，然后從最優(yōu)方案入手。這也是考試時的重要解題策略。例如我們應(yīng)該選擇方法一，在高考時就可以節(jié)省大量時間去做其它難題。通過反思，學(xué)生加深了對數(shù)學(xué)思想方法與實際應(yīng)用的領(lǐng)悟，逐步學(xué)會了歸納和總結(jié)。一段時間的積累后，就可達(dá)到快速解決問題的目的?？梢姡此际侵R轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。同時也使得我們有能力去做進(jìn)一步的探究，會發(fā)現(xiàn)一些我們意想不到的結(jié)論。有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有利于增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，有利于擴(kuò)展學(xué)生的視野。教師應(yīng)經(jīng)常的有目的多角度引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會題后反思，教會學(xué)生反思，錘煉思維，