高中數(shù)學(xué)：3.3 幾何概型 素材2 蘇教版必修3（通用）

1、幾何概型交匯點剖析幾何概型的兩大特點是無限性和等可能性幾何概型的一個題目往往包含多個知識點，這類綜合題背景新穎，能力要求較高，內(nèi)在聯(lián)系深刻，故與其他知識交匯也成為幾何概型的顯著特征，下面通過幾例剖析一、與隨機數(shù)相關(guān)的幾何概型例1將數(shù)2.5隨機地分成兩個非負(fù)實數(shù)，例如2.143和0.357或者和，然后對每一個數(shù)取與它最接近的整數(shù)，如在上述第一個例子中是取2和0，在第二個例子中取2和1那么這兩個整數(shù)之和等于3的概率是多少？分析：所謂隨機地將2.5分成兩個非負(fù)實數(shù)，就是在區(qū)間上隨機地取一個數(shù)x，另一個數(shù)y就是全體基本事件是線段內(nèi)的所有點，然后考慮取整后兩數(shù)之和等于3的點的取值范圍解：根據(jù)題意知，若，

2、則，和數(shù)等于2；若，則，和數(shù)等于3；若，則，和數(shù)等于2；若，則，和數(shù)等于3；若，則，和數(shù)等于2故和數(shù)等于3的x值的取值范圍為，其長度為1，于是所求事件的概率二、與方程相關(guān)的幾何概型例2設(shè)p在0，5上隨機地取值，求方程有實數(shù)根的概率解：一元二次方程有實數(shù)根，而，解得或，故所求概率為三、與不等式相關(guān)的幾何概型例3在集合內(nèi)任取一個元素，能使代數(shù)式右的概率是多少？解：如圖，集合為矩形內(nèi)（包括邊界）的點的集合，集合表示坐標(biāo)平面內(nèi)直線右上方（包括直線）所有點的集合，所以所求概率為四、與矩形相關(guān)的幾何概型例4如圖2所示，在矩形ABCD中，AB5，AD7現(xiàn)在向該矩形內(nèi)隨機投一點P，求的概率解：由于是向該矩形內(nèi)

3、隨機投一點P，點P落在矩形內(nèi)任一點的機會是均等的，故可以認(rèn)為矩形ABCD是區(qū)域要使得，須滿足點P落在以線段AB為直徑的半圓內(nèi)，以線段AB為直徑的半圓可看作區(qū)域記“點P落在以線段AB為直徑的半圓內(nèi)”為事件A，于是求的概率轉(zhuǎn)化為求以線段AB為直徑的半圓的面積與矩形ABCD的面積的比，依題意，得，矩形ABCD的面積為，故所求的概率為點評：挖掘出“點P必須落在以線段AB為直徑的半圓內(nèi)”是解答本題的關(guān)鍵例談幾何概型的計算幾何概型是將古典概型的有限性推廣到無限性，而保留等可能性的一種求概率的方法它是借助測度來表示樣本區(qū)域與所考察的樣本幾何概型的計算一般按下列步驟進行：（1）選取合適

4、的模型，即樣本區(qū)域；（2）在坐標(biāo)系中正確表示與所求概率事件A所在的區(qū)域d；（3）計算D與d的測度；（4）計算概率例1在區(qū)間中隨機地取出兩個數(shù)，求這兩個數(shù)的和小于的概率分析：解決本題的關(guān)鍵是如何將其歸結(jié)為一個幾何概型，設(shè)x，y分別表示隨機所取的兩個數(shù)，則由題意知x，y均等可能地在（0，1）中取值，從而（x，y）等可能地在平面區(qū)域中取值，將作為樣本區(qū)域，這就是一個幾何概型問題解：如圖1，設(shè)x、y分別表示從（0，1）中取出的兩個數(shù)，則樣本區(qū)域記A為事件“兩個數(shù)的和小于”，即，因為的面積，A的面積于是由幾何概型的概率公式得到例2甲、乙兩人相約于下午1:002:00之間到某車站乘公共汽車外出，他們到達車

5、站的時間是隨機的，設(shè)在1:002:00之間有四班客車開出，開車時間分別是1:15，1:30，1:45，2:00，分別求他們在下述情況下同坐一班車的概率（1）約定見車就乘；（2）約定最多等一班車分析：本題是幾何概型中的典型例題約會問題的變形分別作出表示事件的所在區(qū)域，利用構(gòu)造思想及數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合幾何概型知識加以解決解：設(shè)甲、乙到站時間分別是x時，y時，則x2，1y2，試驗區(qū)域D為點（x，y）所形成的正方形，以16個小方格表示，如圖2所示（1）如圖3，約定見車就乘的事件所表示的區(qū)域d為圖中4個黑的小方格所示，所求概率為；（2）如圖4，約定最多等一班車的事件所表示的區(qū)域d為圖中10個黑的小方格所示，所求概率為例3隨機地向半圓內(nèi)擲一點，點落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率均與該區(qū)域的面積成正比，求該點與原點連線與x軸的夾角小于的概率分析：題目中“隨機地”即表示試驗結(jié)果的等可能性，“點落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率均與該區(qū)域的面積成正比”更強調(diào)試驗的等可能性，因為試驗結(jié)果是無