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1、,第三章,3.1,3.3,3.2,3.1,直線的 傾斜角和斜率,主要內(nèi)容,3.1.2 兩條直線平行與垂直的判定,3.1.1 傾斜角與斜率,3.1.1,傾斜角與斜率,傾斜角與斜率,思考?,對于平面直角坐標系內(nèi)的一條直線l,它的位置由哪些條件確定呢?,兩點確定一條直線,還有其他方法嗎?或者說如果只給出一點,要確定這條直線還應增加什么條件?,在直角坐標系中,圖中的四條紅色直線在位置上有什么聯(lián)系和區(qū)別?,經(jīng)過同一點 傾斜程度不同,傾斜角與斜率,直線的傾斜角,當直線l與x軸相交時,我們?nèi)軸作為基準,x軸正向與直線l向上方向所成的角叫做直線l 的傾斜角.,l1,l2,l3,l4,l1的傾斜角為銳角,l2

2、的傾斜角為直角,l3的傾斜角為鈍角,規(guī)定:當直線與x軸平行或重合時,它的傾斜角為0o,0o180o,平面直角坐標系內(nèi),任何一條直線都有傾斜角,傾斜角表示平面坐標系內(nèi)一條直線的傾斜程度.,事實,問:不同的直線其傾斜角一定不相同嗎?,在平面直角坐標系中,已知直線上一點不能確定一條直線的位置. 同樣已知直線的傾斜角,也不能確定一條直線的位置.,已知直線上一點和其傾斜角可以惟一確定一條直線.,一次函數(shù) 的圖象是直線,在坐標系中畫出這兩條直線,并求這兩條直線的傾斜角分別是多少?,取點A(1,1) B(1,0),取點C(1, ) D(1,0),AOB=450,COD=600,實踐,取點A(1,2) B(1

3、,0) C(-1,0),ACB=450,下列各圖中標出的角是直線的傾斜角嗎?,一條直線傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率。斜率通常用k 表示,即:,直線的斜率,思考:日常生活中,還有沒有表示傾斜程度的量呢?,前進,升高,()當時,k隨增大而增大,且k,()當時,k隨增大而增大,且k,注意:,關于直線的傾斜角和斜率,其中說法是正確的. A.任一條直線都有傾斜角,也都有斜率; B.直線的傾斜角越大,它的斜率就越大; C.平行于x軸的直線的傾斜角是0或; D.兩直線的斜率相等,它們的傾斜角相等 E.直線斜率的范圍是(,). F. 一定點和一傾斜角可以唯一確定一條直線,DEF,1.當傾斜角=0o,30o

4、,45o,60o時,這條直線的斜率分別等于多少?,2.當傾斜角=120o,135o,150o時,這條直線的斜率分別等于多少?,例子,3.當直線的傾斜角在什么范圍時,其斜率k0? 當直線的傾斜角在什么范圍時,其斜率k0?,傾斜角為銳角時,k0; 傾斜角為鈍角時,k0; 傾斜角為0o時,k=0.,問題,5.結(jié)合圖形,觀察傾斜角變化時,斜率的變化情況,經(jīng)過兩點 ,且 的直線的斜率k,探究:,(),當直線的方向向上時:,x,y,o,(1),斜率公式,公式的特點:,(1) 與兩點的順序無關;,(2) 公式表明,直線的斜率可以通過直線上任意兩,(3) 當x1=x2時,公式不適用,此時=90o,點的坐標來表

5、示,而不需要求出直線的傾斜角,經(jīng)過兩點的直線的斜率公式,1.當直線P1P2平行于x軸或與x軸重合時,用上述公式求斜率.,2.當直線P1P2平行于y軸或與y軸重合時,上述公式還適用嗎?為什么?,特殊問題,由y1=y2,得 k=0,由x1=x2,分母為零,斜率k不存在,例1 、如圖,已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2),求直線AB、BC、CA的斜率,并判斷這 些直線的傾斜角是什么角?,直線AB的斜率,直線BC的斜率,直線CA的斜率,直線CA的傾斜角為銳角,直線BC的傾斜角為鈍角。,解:,直線AB的傾斜角為零度角。,例3 在平面直角坐標系中,畫出經(jīng)過原點且斜率分別為1,-1,2及-3的直

6、線l1,l2,l3及l(fā)4.,思考:斜率隨傾斜角逐漸變大是怎樣的變化?,例2 . 已知點A(3,2),B(4,1),C(0,l),求直線AB,BC,CA的斜率,并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角,(2).過點C的直線 與線段有公共點, 求 的斜率k的取值范圍,例5:已知點,,(1).求直線AB,BC,CA的斜率,并判斷這 些直線的傾斜角是銳角還是鈍角,銳角,鈍角,銳角,一半,(舍),例6:已知直線的斜率為,直線 的傾斜角是 直線的傾斜角的兩倍,求直線 的斜率,錯解,1 直線傾斜角的概念,2 直線的傾斜角與斜率的對應關系,3 已知兩點坐標,如何求直線的斜率?,斜率公式中腳標1和2有順序嗎?,小結(jié)

7、,P86練習:1,2,3,4. P89習題3.1A組:1,2,3,4,5,作業(yè),x,y,o,3.1.2,兩條直線的 平行與垂直的判定,在平面直角坐標系下,傾斜角可以表示直線的傾斜程度, 斜率也可以表示直線相對于x軸的傾斜程度。我們能否通過直線斜率來判斷兩條直線的位置關系?,思考?,o,y,x,l1,l2,設兩條直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,若l1/ l2, 則k1,k2滿足什么關系?,思考?,k=tan,反之, 若k1=k2, ,則易得 l1/ l2,對于兩條不重合的直線,平行的充要條件,兩條直線平行的條件,如果兩直線垂直,這兩條直線的傾斜角有什么關系?斜率呢?,思考?,如圖,設直線l

8、1與l2的傾斜角分別為1與2,且12,,因為l1l2 ,所以2=90o+1,當k1k2 =-1時,直線l1與l2一定垂直嗎?,探究,是,對于兩條互相垂直的直線l1和l2,若一條直線的斜率不存在,那么另一條直線的斜率如何?,對于直線l1和l2,其斜率分別為k1,k2,根據(jù)上述分析可得什么結(jié)論?,兩條直線的垂直判定,例1 下列說法正確的是( ) 若兩條直線斜率相等,則兩直線平行。 若l1/l2, 則k1=k2 若兩條直線中有一條直線的斜率不存在, 另一條直線的斜率存在,則兩直線相交。 若兩條直線的斜率都不存在,則兩直線平行。,例2 已知A、B、C、D四點的坐標,試判斷直線AB與CD的位置關系. (

9、1)A(2,3),B(4,0) C(3,l),D(l,2); (2)A(6,0),B(3,6) C(0,3),D(6,6); (3)A(6,0),B(3,6) C(0,3),D(6,6); (4)A(3,4),B(3,100) C(10,40),D(10,40).,例4.已知A(2,3),B(-4,0), P(-3,1),Q(-1,2),試判斷直線BA與PQ的位置關系,并證明你的結(jié)論。,例3.已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A(0,0), B(2,1),C(4,2),D(2,3),試判斷四邊形ABCD的形狀,并給出證明.,例5 已知過A(-2,m)和B(m,4)的直線與斜率為-2 的直線平行

10、,則m 的值是( ),A、-8 B、0 C、2 D、10,例6、已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6),判斷直線AB與PQ的位置關系。,例7 已知A(5,1),B(1,1),C(2,3),試判斷ABC的形狀.,例8 已知點A(m,1),B(-3,4),C(1,m),D(-1,m+1), 分別在下列條件下求實數(shù)m的值: (1)直線AB與CD平行; (2)直線AB與CD垂直.,1下列命題中正確命題的個數(shù)是(,),若兩條直線的斜率相等,則這兩條直線平行; 若兩條直線平行,則這兩條直線的斜率相等; 若兩直線垂直,則這兩條直線的斜率之積為1; 若兩條直線平行,則這兩條直線的傾斜角

11、相等; 若兩直線的斜率不存在,則這兩條直線平行,A1,B2,C3,D4,A,B,3直線 l 平行于經(jīng)過兩點 A(4,1),B(0,3)的直線,則,直線的傾斜角為(,),D,A30,B45,C120,D135,4原點在直線 l 上的射影是 P(2,1),則 l 的斜率為_.,2,練習:,重難點 2,兩條直線垂直,(1)當 l1l2 時,它們的斜率之間的關系有兩種情況: 它們的斜率都存在且 k1k21; 一條直線的斜率不存在,而另一條直線的斜率為 0. (2)使用 l1l2k1k21 的前提是 l1 和 l2 都有斜率且不等于 0. 注意:在立體幾何中,兩直線的位置關系有平行、相交和異面(沒有重合

12、關系);而在本章中,在同一平面內(nèi),兩直線有重合、平行、相交三種位置關系,兩條直線平行的判定,例 1:已知直線 l1 過點 A(3,a),B(a1,4),直線 l2 過點 C(1,2),,D(2,a2),(1)若 l1l2,求 a 的值; (2)若 l1l2,求 a 的值,思維突破:由 C、D 兩點的橫坐標可知 l2 的斜率一定存在,由 A、B 兩點的橫坐標可知 l1 的斜率可能存在也可能不存在,因此應對 a 的取值進行討論,判斷兩條直線平行( 或垂直) 并尋求平行( 或垂直)的條件時,特別注意結(jié)論成立的前提條件對特殊情形要數(shù)形結(jié)合作出判斷 變式訓練:試確定 m 的值,使過點 A(m1,0)和點

13、 B(5,m)的直線與過點 C(4,3)和點 D(0,5)的直線平行,兩條直線垂直的判定 例 2:已知 A(1,1),B(2,2),C(4,1),求點 D,使直線 ABCD 且直線 ADBC.,變式訓練:已知三點 A(m1,2),B(1,1),C(3,m2m1),若 ABBC,求 m 的值,斷四邊形 ABCD 是否為梯形?如果是梯形,是否是直角梯形?,平行和垂直關系的綜合應用,從而直線 BC 與 DA 不平行, 四邊形 ABCD 是梯形,(1)判斷一個四邊形為梯形,需要兩個條件:有一對相互平行的邊;另有一對不平行的邊(2)判斷一個四邊形為直角梯形,首先需要判斷它是一個梯形,然后證明它有一個角為

14、直角,注意陷阱:在直角ABC 中,C 是直角,A(1,3),B(4,2), 點 C 在坐標軸上,求點 C 的坐標,錯因剖析:沒有分類討論,主觀認為點 C 在 x 軸上導致漏解,變式訓練:已知點 A(2,5),B(6,6),點 P 在 y 軸上,且APB90,試求點 P 的坐標,1.兩條直線平行的判定,2.兩條直線垂直的判定,3.思想方法,傾斜角、平行是幾何概念, 坐標、斜率是代數(shù)概念,解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法來研究幾何問題.,小結(jié),P89練習:1,2. P90習題3.1 A組:8. B組:3,4.,作業(yè),直線的方程,3.2,主要內(nèi)容,3.2.2 直線的兩點式方程,3.2.3 直線的一般式方程

15、,3.2.1 直線的點斜式方程,直線的點斜式方程,3.2.1,在平面直角坐標系內(nèi),如果給定一條直線 經(jīng)過的一個點 和斜率 ,能否將直線上所有的點的坐標 滿足的關系表示出來呢?,思考?,即:,點斜式方程,點斜式方程,直線 經(jīng)過點 ,且斜率為 ,設點 是直線上不同于點 的任意一點,因為直線 的斜率為 ,由斜率公式得:,P,(1)過點 ,斜率是 的直線 上的點,其坐標都滿足方程 嗎?,(2)坐標滿足方程 的點都在過點 斜率為 的直線 上嗎?,上述兩條都成立,所以這個方程 就是過點 斜率為 的直線 的方程,點斜式方程,思考?,,或,的方程就是,(1) 軸所在直線的方程是什么?,思考?,當直線 的傾斜角

16、為 時,即 這時直線 與 軸平行或重合,,思考,(2) 軸所在直線的方程是什么?,,或,當直線 的傾斜角為 時,直線沒有斜率,這時,直線 與 軸平行或重合,它的方程不能用點斜式表示這時,直線 上每一點的橫坐標都等于 ,所以它的方程就是,思考?,例1 直線 l 經(jīng)過點P0(-2,3),且傾斜角為600,求直線l的點斜式方程,并畫出直線 l.,如果直線 的斜率為 ,且與 軸的交點為 得直線的點斜式方程,,也就是:,我們把直線與 軸交點的縱坐標叫做直線在y軸上的截距。,該方程由直線的斜率與它在 軸上的截距確定,所以該方程叫做直線的斜截式方程,簡稱斜截式.,直線的斜截式方程,例題,例2 已知直線 ,

17、試討論:(1) 的條件是什么?(2) 的條件是什么?,解:,且 ;,例3 求下列直線的斜截式方程: (1)經(jīng)過點A(-1,2),且與直線 y=3x+1垂直; (2)斜率為-2,且在x軸上的截距為5.,例4 已知直線 l 的斜率為 ,且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為4,求直線l的方程.,1. 直線的點斜式方程:,2. 直線的斜截式方程:,小結(jié),直線和x軸平行時,傾斜角=0,直線與x軸垂直時,傾斜角=90,3. 特殊情況,作業(yè),P95練習:1,2,3,4 P100習題3.2 A組:1,5,6,10.,3.2.2,直線的兩點式方程,思考?,已知直線經(jīng)過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),(x

18、1x2 ,y1y2),如何求出這兩個點的直線方程呢?,經(jīng)過一點,且已知斜率的直線,可以寫出它的點斜式方程. 可以先求出斜率,再選擇一點,得到點斜式方程.,兩點式方程,x,y,l,P2(x2,y2),兩點式,P1(x1,y1),斜率,根據(jù)兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),,截距式方程,x,y,l,A(a,0),截距式,B(0,b),解:代入兩點式方程得,化簡得,橫截距,縱截距,例1. 已知直線經(jīng)過點A(a,0),B(0,b),a0,b0,求直線方程,中點坐標公式,已知兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)則線段P1P2的中點P0的坐標是什么?,x,y,A(x1,y1),B(x2,y

19、2),中點,P0的坐標為,例2 已知三角形的三個頂點 A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),求BC邊所在直線的方程,以及該邊上中線所在直線的方程.,例3.求經(jīng)過點P(-5,4),且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程.,例4 求經(jīng)過點P(0,3),且在兩坐標軸上的截距之和為2的直線方程.,例5. 已知直線 l 經(jīng)過點P(1,2),并且點A(2,3)和點 B(4,-5)到直線l 的距離相等,求直線l 的方程.,直線方程小結(jié),兩點坐標,兩點式,點斜式,兩個截距,截距式,P97練習:1,2. P100習題3.2A組:3,4,8,9,11.,作業(yè),3.2.3,直線的一般式方程,思考?,1. 平面直

20、角坐標系中的每一條直線都可以用一個關于x,y的二元一次方程表示嗎?,2. 每一個關于x,y的二元一次方程都表示一條直線嗎?,討論,1. 直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式都是關于X,y的二元一次方程,2. 經(jīng)過點P(x0,y0)且斜率不存在的直線的方程: x-x0=0 可以看成y的系數(shù)為0的二元一次方程.,對于二元一次方程 Ax+By+C=0(A,B不全為零),1)當B0時可化為,表示經(jīng)過點(0, ),斜率k為 的直線.,2) 當B=0時,A0,方程可化為,表示垂直于x軸的直線.,直線的一般式方程,(其中A,B不同時為0),1. 所有的直線都可以用二元一次方程表示,2. 所有二元一次方程都表

21、示直線,此方程叫做直線的一般式方程,例1 已知直線經(jīng)過點A(6,-4),斜率為 ,求直線的點斜式和一般式方程.,例2 把直線l 的一般式方程 x-2y+6=0化成斜截式,求出直線l 的斜率以及它在x軸與y軸上的截距,并畫出圖形.,兩條直線平行和垂直的條件,平行,垂直,重合,例3 已知直線 l1:ax+(a+1)y-a=0 和 l2:(a+2)x+2(a+1)y-4=0, 若l1/l2,求a的值.,例4 已知直線l1:x-ay-1=0和l2:a2x+y+2=0, 若l1l2,求a的值.,小結(jié),點斜式,斜率和一點坐標,斜截式,斜率k和截距b,兩點坐標,兩點式,點斜式,兩個截距,截距式,一般式,小結(jié)

22、,1.直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式都可以化成一般式. 反之不一定. 2. 特殊的直線方程 如x+2=0, 2y-3=0. 有時不存在點斜式或斜截式、兩點式、截距式. 3. 根據(jù)一般方程也能很快判斷兩條直線的位置關系. 4. 一般不特別指明時直線方程的結(jié)果都要化成一般式.,P99-100練習:1,2. P101習題3.2B組:1,2,5.,作業(yè),3.3,直線的交點坐標與距離公式,主要內(nèi)容,3.3.2 兩點間的距離,3.3.3 點到直線的距離,3.3.1 兩條直線的交點坐標,3.3.4兩條平行直線間的距離,3.3.1,兩條直線的交點坐標,思考?,一般地,若直線l1:A1x+B1y+C1=0

23、和l2:A2x+B2y+C2=0相交,如何求其交點坐標?,用代數(shù)方法求兩條直線的交點坐標,只需寫出這兩條直線的方程,然后聯(lián)立求解.,幾何概念與代數(shù)表示,A的坐標滿足方程,A的坐標是方程組的解,對于兩條直線 和 , 若方程組,有唯一解,有無數(shù)組解,無解,則兩直線的位置關系如何?,兩直線有一個交點, 重合、平行,探究,例1. 求下列兩條直線的交點坐標,當變化時,方程,表示什么圖形?圖形有何特點?,探究,表示的直線包括過交點M(-2,2)的一族直線,例3 求經(jīng)過兩直線3x+2y+1=0 和 2x-3y+5=0的交點,且斜率為3的直線方程.,例4.設直線y=k(x+3)-2和x+4y-4=0相交,且交

24、點P在第一象限,求k的取值范圍.,小結(jié),1.求兩條直線的交點坐標 2.任意兩條直線可能只有一個公共點,也可能沒有公共點(平行) 3.任意給兩個直線方程,其對應的方程組得解有三種可能可能: 1)有惟一解 2)無解 3)無數(shù)多解 4.直線族方程的應用,作業(yè),P109 習題3.3A組:1,3,5. P110 習題3.3B組:1.,3.3.2,兩點間的距離,思考?,已知平面上兩點P1(x1,y1)和P2(x2,y2),如何點P1和P2的距離|P1P2|?,x,y,P1(x1,y1),P2(x2,y2),O,兩點間距離公式推導,x,y,P1(x1,y1),P2(x2, y2),Q(x2,y1),O,x2

25、,y2,x1,y1,兩點間距離公式,特別地,點P(x,y)到原點(0,0)的距離為,一般地,已知平面上兩點P1(x1, )和P2(x2,y2),利用上述方法求點P1和P2的距離為,例1 已知點 和 , 在x軸上求一點P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.,例2 證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和.,A(0,0),B(a,0),C (a+b,c),D (b,c),證明:以A為原點,AB為x軸建立直角坐標系.,則四個頂點坐標為A(0,0),B(a,0),D(b,c),C(a+b,c),建立坐標系,用坐標表示有關的量。,x,y,A,B,C,D,(0,0),(a,0),(b,c)

26、,(a+b,c),因此,平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和.,例2題解,用“坐標法”解決有關幾何問題的基本步驟:,第一步;建立坐標系, 用坐標系表示有關的量,第二步:進行 有關代數(shù)運算,第三步:把代數(shù)運算結(jié)果 “翻譯”成幾何關系,小結(jié),1.兩點間距離公式,2.坐標法,第一步:建立坐標系,用坐標表示有關的量,第二步:進行有關代數(shù)運算,第三步:把代數(shù)運算結(jié)果翻譯成幾何關系,拓展,已知平面上兩點P1(x1,y1)和P2(x2,y2),直線P1P2的斜率為k,則 y2-y1可怎樣表示?從而點P1和P2的距離公式可作怎樣的變形?,例3 設直線2x-y+1=0與拋物線 相交于A、B兩點,求|AB|的值.,P106練習:1,2. P110習題3.3 A組:6,7,8.,作業(yè),3.3.3,點到直線的距離,思考?,已知點P0(x0,y0)和直線l:Ax +By +C=0,如何求點P到直線 l 的距離?,x,o,P0,Q,l,y,點P到直線 l 的距離,是指從點P0到直線 l 的垂線段P0Q的長度,其中Q是垂足,分析思路一:直接法,點 之間的距離 (點 到 的距離),面積法求出P0Q,分析思路二:用直角三角形的面積間接求法,R,S,d,x,

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