高中數(shù)學必修二 第三章 直線方程 全套PPT

1、,第三章,3.1,3.3,3.2,3.1,直線的 傾斜角和斜率,主要內(nèi)容,3.1.2 兩條直線平行與垂直的判定,3.1.1 傾斜角與斜率,3.1.1,傾斜角與斜率,傾斜角與斜率,思考？,對于平面直角坐標系內(nèi)的一條直線l，它的位置由哪些條件確定呢？,兩點確定一條直線,還有其他方法嗎？或者說如果只給出一點，要確定這條直線還應增加什么條件？,在直角坐標系中，圖中的四條紅色直線在位置上有什么聯(lián)系和區(qū)別？,經(jīng)過同一點 傾斜程度不同,傾斜角與斜率,直線的傾斜角,當直線l與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向所成的角叫做直線l 的傾斜角.,l1,l2,l3,l4,l1的傾斜角為銳角,l2

2、的傾斜角為直角,l3的傾斜角為鈍角,規(guī)定：當直線與x軸平行或重合時，它的傾斜角為0o,0o180o,平面直角坐標系內(nèi)，任何一條直線都有傾斜角，傾斜角表示平面坐標系內(nèi)一條直線的傾斜程度.,事實,問：不同的直線其傾斜角一定不相同嗎？,在平面直角坐標系中，已知直線上一點不能確定一條直線的位置. 同樣已知直線的傾斜角，也不能確定一條直線的位置.,已知直線上一點和其傾斜角可以惟一確定一條直線.,一次函數(shù) 的圖象是直線，在坐標系中畫出這兩條直線，并求這兩條直線的傾斜角分別是多少？,取點A（1，1） B（1，0）,取點C（1， ） D（1，0）,AOB=450,COD=600,實踐,取點A(1，2) B(1

3、，0) C(-1，0),ACB=450,下列各圖中標出的角是直線的傾斜角嗎？,一條直線傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率。斜率通常用k 表示，即：,直線的斜率,思考：日常生活中，還有沒有表示傾斜程度的量呢？,前進,升高,（）當時，k隨增大而增大，且k,（）當時，k隨增大而增大，且k,注意:,關于直線的傾斜角和斜率，其中說法是正確的. A.任一條直線都有傾斜角，也都有斜率； B.直線的傾斜角越大，它的斜率就越大； C.平行于x軸的直線的傾斜角是0或； D.兩直線的斜率相等，它們的傾斜角相等 E.直線斜率的范圍是(，). F. 一定點和一傾斜角可以唯一確定一條直線,DEF,1.當傾斜角=0o，30o

4、，45o，60o時，這條直線的斜率分別等于多少？,2.當傾斜角=120o，135o，150o時，這條直線的斜率分別等于多少？,例子,3.當直線的傾斜角在什么范圍時，其斜率k0? 當直線的傾斜角在什么范圍時，其斜率k0?,傾斜角為銳角時,k0; 傾斜角為鈍角時,k0; 傾斜角為0o時,k=0.,問題,5.結(jié)合圖形，觀察傾斜角變化時，斜率的變化情況,經(jīng)過兩點 ,且 的直線的斜率k,探究：,（）,當直線的方向向上時：,x,y,o,（1）,斜率公式,公式的特點:,(1) 與兩點的順序無關;,(2) 公式表明,直線的斜率可以通過直線上任意兩,(3) 當x1=x2時,公式不適用,此時=90o,點的坐標來表

5、示,而不需要求出直線的傾斜角,經(jīng)過兩點的直線的斜率公式,1.當直線P1P2平行于x軸或與x軸重合時，用上述公式求斜率.,2.當直線P1P2平行于y軸或與y軸重合時，上述公式還適用嗎？為什么？,特殊問題,由y1=y2，得 k=0,由x1=x2，分母為零，斜率k不存在,例1 、如圖，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求直線AB、BC、CA的斜率，并判斷這 些直線的傾斜角是什么角？,直線AB的斜率,直線BC的斜率,直線CA的斜率,直線CA的傾斜角為銳角,直線BC的傾斜角為鈍角。,解：,直線AB的傾斜角為零度角。,例3 在平面直角坐標系中，畫出經(jīng)過原點且斜率分別為1，-1，2及-3的直

6、線l1，l2，l3及l(fā)4.,思考：斜率隨傾斜角逐漸變大是怎樣的變化？,例2 . 已知點A(3,2)，B(4,1)，C(0,l)，求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角,(2).過點C的直線 與線段有公共點， 求 的斜率k的取值范圍,例5：已知點，,(1).求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷這 些直線的傾斜角是銳角還是鈍角,銳角,鈍角,銳角,一半,（舍）,例6：已知直線的斜率為，直線 的傾斜角是 直線的傾斜角的兩倍，求直線 的斜率,錯解,1 直線傾斜角的概念,2 直線的傾斜角與斜率的對應關系,3 已知兩點坐標，如何求直線的斜率？,斜率公式中腳標1和2有順序嗎？,小結(jié)

7、,P86練習：1,2，3，4. P89習題3.1A組：1,2,3,4,5,作業(yè),x,y,o,3.1.2,兩條直線的 平行與垂直的判定,在平面直角坐標系下，傾斜角可以表示直線的傾斜程度， 斜率也可以表示直線相對于x軸的傾斜程度。我們能否通過直線斜率來判斷兩條直線的位置關系?,思考？,o,y,x,l1,l2,設兩條直線l1，l2的斜率分別為k1，k2,若l1/ l2， 則k1，k2滿足什么關系？,思考？,k=tan,反之， 若k1=k2， ，則易得 l1/ l2,對于兩條不重合的直線，平行的充要條件,兩條直線平行的條件,如果兩直線垂直，這兩條直線的傾斜角有什么關系？斜率呢？,思考？,如圖，設直線l

8、1與l2的傾斜角分別為1與2，且12，,因為l1l2 ，所以2=90o+1,當k1k2 =-1時，直線l1與l2一定垂直嗎？,探究,是,對于兩條互相垂直的直線l1和l2，若一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率如何？,對于直線l1和l2，其斜率分別為k1，k2，根據(jù)上述分析可得什么結(jié)論？,兩條直線的垂直判定,例1 下列說法正確的是（ ） 若兩條直線斜率相等，則兩直線平行。 若l1/l2， 則k1=k2 若兩條直線中有一條直線的斜率不存在， 另一條直線的斜率存在，則兩直線相交。 若兩條直線的斜率都不存在，則兩直線平行。,例2 已知A、B、C、D四點的坐標，試判斷直線AB與CD的位置關系. (

9、1)A(2,3),B(4,0) C(3,l),D(l,2)； (2)A(6,0),B(3,6) C(0,3),D(6,6); (3)A(6,0),B(3,6) C(0,3),D(6,6); (4)A(3,4),B(3,100) C(10,40),D(10,40).,例4.已知A(2,3),B(-4,0), P(-3,1),Q(-1,2),試判斷直線BA與PQ的位置關系，并證明你的結(jié)論。,例3.已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A(0,0), B(2,1),C(4,2),D(2,3),試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明.,例5 已知過A(-2,m)和B(m,4)的直線與斜率為-2 的直線平行

10、，則m 的值是( ),A、-8 B、0 C、2 D、10,例6、已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6),判斷直線AB與PQ的位置關系。,例7 已知A(5,1),B(1,1),C(2,3),試判斷ABC的形狀.,例8 已知點A(m,1),B(-3,4),C(1,m),D(-1,m+1), 分別在下列條件下求實數(shù)m的值: （1）直線AB與CD平行； （2）直線AB與CD垂直.,1下列命題中正確命題的個數(shù)是(,),若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行； 若兩條直線平行，則這兩條直線的斜率相等； 若兩直線垂直，則這兩條直線的斜率之積為1； 若兩條直線平行，則這兩條直線的傾斜角

11、相等； 若兩直線的斜率不存在，則這兩條直線平行,A1,B2,C3,D4,A,B,3直線 l 平行于經(jīng)過兩點 A(4,1)，B(0,3)的直線，則,直線的傾斜角為(,),D,A30,B45,C120,D135,4原點在直線 l 上的射影是 P(2,1)，則 l 的斜率為_.,2,練習：,重難點 2,兩條直線垂直,(1)當 l1l2 時，它們的斜率之間的關系有兩種情況： 它們的斜率都存在且 k1k21； 一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為 0. (2)使用 l1l2k1k21 的前提是 l1 和 l2 都有斜率且不等于 0. 注意：在立體幾何中，兩直線的位置關系有平行、相交和異面(沒有重合

12、關系)；而在本章中，在同一平面內(nèi)，兩直線有重合、平行、相交三種位置關系,兩條直線平行的判定,例 1：已知直線 l1 過點 A(3，a)，B(a1,4)，直線 l2 過點 C(1,2)，,D(2，a2),(1)若 l1l2，求 a 的值； (2)若 l1l2，求 a 的值,思維突破：由 C、D 兩點的橫坐標可知 l2 的斜率一定存在，由 A、B 兩點的橫坐標可知 l1 的斜率可能存在也可能不存在，因此應對 a 的取值進行討論,判斷兩條直線平行( 或垂直) 并尋求平行( 或垂直)的條件時，特別注意結(jié)論成立的前提條件對特殊情形要數(shù)形結(jié)合作出判斷 變式訓練：試確定 m 的值，使過點 A(m1,0)和點

13、 B(5，m)的直線與過點 C(4,3)和點 D(0,5)的直線平行,兩條直線垂直的判定 例 2：已知 A(1，1)，B(2,2)，C(4,1)，求點 D，使直線 ABCD 且直線 ADBC.,變式訓練：已知三點 A(m1,2)，B(1,1)，C(3，m2m1)，若 ABBC，求 m 的值,斷四邊形 ABCD 是否為梯形？如果是梯形，是否是直角梯形？,平行和垂直關系的綜合應用,從而直線 BC 與 DA 不平行， 四邊形 ABCD 是梯形,(1)判斷一個四邊形為梯形，需要兩個條件：有一對相互平行的邊；另有一對不平行的邊(2)判斷一個四邊形為直角梯形，首先需要判斷它是一個梯形，然后證明它有一個角為

14、直角,注意陷阱：在直角ABC 中，C 是直角，A(1,3)，B(4,2)， 點 C 在坐標軸上，求點 C 的坐標,錯因剖析：沒有分類討論，主觀認為點 C 在 x 軸上導致漏解,變式訓練：已知點 A(2，5)，B(6,6)，點 P 在 y 軸上，且APB90，試求點 P 的坐標,1.兩條直線平行的判定,2.兩條直線垂直的判定,3.思想方法,傾斜角、平行是幾何概念， 坐標、斜率是代數(shù)概念，解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法來研究幾何問題.,小結(jié),P89練習：1，2. P90習題3.1 A組：8. B組：3，4.,作業(yè),直線的方程,3.2,主要內(nèi)容,3.2.2 直線的兩點式方程,3.2.3 直線的一般式方程

15、,3.2.1 直線的點斜式方程,直線的點斜式方程,3.2.1,在平面直角坐標系內(nèi)，如果給定一條直線 經(jīng)過的一個點 和斜率 ，能否將直線上所有的點的坐標 滿足的關系表示出來呢？,思考？,即：,點斜式方程,點斜式方程,直線 經(jīng)過點 ，且斜率為 ,設點 是直線上不同于點 的任意一點，因為直線 的斜率為 ，由斜率公式得：,P,（1）過點 ，斜率是 的直線 上的點，其坐標都滿足方程 嗎？,（2）坐標滿足方程 的點都在過點 斜率為 的直線 上嗎？,上述兩條都成立，所以這個方程 就是過點 斜率為 的直線 的方程,點斜式方程,思考？,，或,的方程就是,（1） 軸所在直線的方程是什么？,思考？,當直線 的傾斜角

16、為 時，即 這時直線 與 軸平行或重合，,思考,（2） 軸所在直線的方程是什么？,，或,當直線 的傾斜角為 時，直線沒有斜率，這時,直線 與 軸平行或重合，它的方程不能用點斜式表示這時，直線 上每一點的橫坐標都等于 ，所以它的方程就是,思考？,例1 直線 l 經(jīng)過點P0(-2,3),且傾斜角為600,求直線l的點斜式方程，并畫出直線 l.,如果直線 的斜率為 ，且與 軸的交點為 得直線的點斜式方程，,也就是：,我們把直線與 軸交點的縱坐標叫做直線在y軸上的截距。,該方程由直線的斜率與它在 軸上的截距確定，所以該方程叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式.,直線的斜截式方程,例題,例2 已知直線 ，

17、試討論：（1） 的條件是什么？（2） 的條件是什么？,解：,且 ；,例3 求下列直線的斜截式方程: （1）經(jīng)過點A(-1，2)，且與直線 y=3x+1垂直； （2）斜率為-2，且在x軸上的截距為5.,例4 已知直線 l 的斜率為 ，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為4，求直線l的方程.,1. 直線的點斜式方程：,2. 直線的斜截式方程:,小結(jié),直線和x軸平行時，傾斜角=0,直線與x軸垂直時，傾斜角=90,3. 特殊情況,作業(yè),P95練習：1，2，3，4 P100習題3.2 A組：1，5，6，10.,3.2.2,直線的兩點式方程,思考？,已知直線經(jīng)過兩點P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，(x

18、1x2 ,y1y2),如何求出這兩個點的直線方程呢？,經(jīng)過一點，且已知斜率的直線，可以寫出它的點斜式方程. 可以先求出斜率，再選擇一點，得到點斜式方程.,兩點式方程,x,y,l,P2(x2，y2),兩點式,P1(x1，y1),斜率,根據(jù)兩點P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，,截距式方程,x,y,l,A(a，0),截距式,B(0，b),解：代入兩點式方程得,化簡得,橫截距,縱截距,例1. 已知直線經(jīng)過點A（a，0），B（0，b），a0，b0，求直線方程,中點坐標公式,已知兩點P1(x1,y1)，P2(x2,y2)則線段P1P2的中點P0的坐標是什么？,x,y,A(x1，y1),B(x2，y

19、2),中點,P0的坐標為,例2 已知三角形的三個頂點 A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC邊所在直線的方程，以及該邊上中線所在直線的方程.,例3.求經(jīng)過點P(-5，4)，且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程.,例4 求經(jīng)過點P(0，3)，且在兩坐標軸上的截距之和為2的直線方程.,例5. 已知直線 l 經(jīng)過點P(1，2)，并且點A(2，3)和點 B(4，-5)到直線l 的距離相等，求直線l 的方程.,直線方程小結(jié),兩點坐標,兩點式,點斜式,兩個截距,截距式,P97練習：1，2. P100習題3.2A組:3,4,8,9,11.,作業(yè),3.2.3,直線的一般式方程,思考？,1. 平面直

20、角坐標系中的每一條直線都可以用一個關于x，y的二元一次方程表示嗎？,2. 每一個關于x，y的二元一次方程都表示一條直線嗎？,討論,1. 直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式都是關于X，y的二元一次方程,2. 經(jīng)過點P（x0,y0)且斜率不存在的直線的方程： x-x0=0 可以看成y的系數(shù)為0的二元一次方程.,對于二元一次方程 Ax+By+C=0（A,B不全為零）,1）當B0時可化為,表示經(jīng)過點（0， ），斜率k為 的直線.,2) 當B=0時，A0，方程可化為,表示垂直于x軸的直線.,直線的一般式方程,（其中A，B不同時為0）,1. 所有的直線都可以用二元一次方程表示,2. 所有二元一次方程都表

21、示直線,此方程叫做直線的一般式方程,例1 已知直線經(jīng)過點A（6，-4），斜率為 ，求直線的點斜式和一般式方程.,例2 把直線l 的一般式方程 x-2y+6=0化成斜截式，求出直線l 的斜率以及它在x軸與y軸上的截距，并畫出圖形.,兩條直線平行和垂直的條件,平行,垂直,重合,例3 已知直線 l1：ax+(a+1)y-a=0 和 l2：(a+2)x+2(a+1)y-4=0， 若l1/l2，求a的值.,例4 已知直線l1：x-ay-1=0和l2:a2x+y+2=0， 若l1l2，求a的值.,小結(jié),點斜式,斜率和一點坐標,斜截式,斜率k和截距b,兩點坐標,兩點式,點斜式,兩個截距,截距式,一般式,小結(jié)

22、,1.直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式都可以化成一般式. 反之不一定. 2. 特殊的直線方程 如x+2=0, 2y-3=0. 有時不存在點斜式或斜截式、兩點式、截距式. 3. 根據(jù)一般方程也能很快判斷兩條直線的位置關系. 4. 一般不特別指明時直線方程的結(jié)果都要化成一般式.,P99-100練習：1，2. P101習題3.2B組：1，2，5.,作業(yè),3.3,直線的交點坐標與距離公式,主要內(nèi)容,3.3.2 兩點間的距離,3.3.3 點到直線的距離,3.3.1 兩條直線的交點坐標,3.3.4兩條平行直線間的距離,3.3.1,兩條直線的交點坐標,思考？,一般地，若直線l1:A1x+B1y+C1=0

23、和l2:A2x+B2y+C2=0相交，如何求其交點坐標？,用代數(shù)方法求兩條直線的交點坐標，只需寫出這兩條直線的方程，然后聯(lián)立求解.,幾何概念與代數(shù)表示,A的坐標滿足方程,A的坐標是方程組的解,對于兩條直線 和 , 若方程組,有唯一解，有無數(shù)組解，無解，則兩直線的位置關系如何？,兩直線有一個交點， 重合、平行,探究,例1. 求下列兩條直線的交點坐標,當變化時，方程,表示什么圖形？圖形有何特點？,探究,表示的直線包括過交點M（-2，2）的一族直線,例3 求經(jīng)過兩直線3x+2y+1=0 和 2x-3y+5=0的交點，且斜率為3的直線方程.,例4.設直線y=k(x+3)-2和x+4y-4=0相交，且交

24、點P在第一象限，求k的取值范圍.,小結(jié),1.求兩條直線的交點坐標 2.任意兩條直線可能只有一個公共點，也可能沒有公共點（平行） 3.任意給兩個直線方程，其對應的方程組得解有三種可能可能： 1）有惟一解 2）無解 3）無數(shù)多解 4.直線族方程的應用,作業(yè),P109 習題3.3A組：1，3，5. P110 習題3.3B組：1.,3.3.2,兩點間的距離,思考？,已知平面上兩點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，如何點P1和P2的距離|P1P2|？,x,y,P1(x1,y1),P2(x2,y2),O,兩點間距離公式推導,x,y,P1(x1,y1),P2(x2, y2),Q(x2,y1),O,x2

25、,y2,x1,y1,兩點間距離公式,特別地，點P（x，y）到原點（0，0）的距離為,一般地，已知平面上兩點P1(x1， )和P2(x2，y2)，利用上述方法求點P1和P2的距離為,例1 已知點 和 , 在x軸上求一點P，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值.,例2 證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和.,A(0,0),B(a,0),C (a+b,c),D (b,c),證明：以A為原點，AB為x軸建立直角坐標系.,則四個頂點坐標為A(0,0),B(a,0),D(b,c),C(a+b,c),建立坐標系，用坐標表示有關的量。,x,y,A,B,C,D,(0,0),(a,0),(b,c)

26、,(a+b,c),因此，平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和.,例2題解,用“坐標法”解決有關幾何問題的基本步驟：,第一步；建立坐標系， 用坐標系表示有關的量,第二步：進行 有關代數(shù)運算,第三步：把代數(shù)運算結(jié)果 “翻譯”成幾何關系,小結(jié),1.兩點間距離公式,2.坐標法,第一步:建立坐標系，用坐標表示有關的量,第二步:進行有關代數(shù)運算,第三步:把代數(shù)運算結(jié)果翻譯成幾何關系,拓展,已知平面上兩點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，直線P1P2的斜率為k，則 y2-y1可怎樣表示？從而點P1和P2的距離公式可作怎樣的變形？,例3 設直線2x-y+1=0與拋物線 相交于A、B兩點，求|AB|的值.,P106練習：1，2. P110習題3.3 A組：6，7，8.,作業(yè),3.3.3,點到直線的距離,思考？,已知點P0(x0，y0)和直線l：Ax +By +C=0，如何求點P到直線 l 的距離？,x,o,P0,Q,l,y,點P到直線 l 的距離，是指從點P0到直線 l 的垂線段P0Q的長度，其中Q是垂足,分析思路一：直接法,點 之間的距離 （點 到 的距離）,面積法求出P0Q,分析思路二：用直角三角形的面積間接求法,R,S,d,x,