高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)學(xué)案51

1、學(xué)案學(xué)案 51橢圓橢圓 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解圓錐曲線的實(shí)際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問 題中的作用.2.掌握橢圓的定義，幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單幾何性質(zhì) 自主梳理 1橢圓的概念 在平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做 _這兩定點(diǎn)叫做橢圓的_，兩焦點(diǎn)間的距離叫_ 集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 為常數(shù)： (1)若_，則集合 P 為橢圓； (2)若_，則集合 P 為線段； (3)若_，則集合 P 為空集 2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 1 x2 a2 y2 b2 (ab0)

2、 1 y2 a2 x2 b2 (ab0) 圖形 范圍 axa byb bxb aya 對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點(diǎn) 頂點(diǎn) A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0) 軸長軸 A1A2的長為 2a；短軸 B1B2的長為 2b 焦距|F1F2|2c 離心率e (0,1) c a 性 質(zhì) a，b，c 的關(guān)系 c2a2b2 自我檢測 1已知ABC 的頂點(diǎn) B、C 在橢圓 y21 上，頂點(diǎn) A 是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的 x2 3 另外一個(gè)焦點(diǎn)在 BC 邊上，則ABC 的周長是() A2 B6 C4 D1233 2

3、(2011揭陽調(diào)研)“mn0”是方程“mx2ny21 表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓”的() A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 3已知橢圓 x2sin y2cos 1 (0b0)的長、短軸端點(diǎn)分別為 A、B，從此橢圓上一點(diǎn) x2 a2 y2 b2 M(在 x 軸上方)向 x 軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點(diǎn) F1，ABOM. (1)求橢圓的離心率 e； (2)設(shè) Q 是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是左、右焦點(diǎn)，求F1QF2的取值范圍 方程思想的應(yīng)用 例 (12 分)(2011北京朝陽區(qū)模擬)已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓 C 的離心率 為 ，且經(jīng)過

4、點(diǎn) M(1， )，過點(diǎn) P(2,1)的直線 l 與橢圓 C 相交于不同的兩點(diǎn) A，B. 1 2 3 2 (1)求橢圓 C 的方程； (2)是否存在直線 l，滿足 2？若存在，求出直線 l 的方程 ； 若不存在，請說明 PA PB PM 理由 【答題模板】 解(1)設(shè)橢圓 C 的方程為1(ab0)， x2 a2 y2 b2 由題意得Error!解得 a24，b23.故橢圓 C 的方程為 1.4 分 x2 4 y2 3 (2)若存在直線 l 滿足條件，由題意可設(shè)直線 l 的方程為 yk(x2)1，由Error! 得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80.6 分 因?yàn)橹本€ l 與橢圓 C

5、 相交于不同的兩點(diǎn) A，B， 設(shè) A，B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 所以 8k(2k1)24(34k2)(16k216k8)0. 整理得 32(6k3)0，解得 k .7 分 1 2 又 x1x2，x1x2， 8k2k1 34k2 16k216k8 34k2 且 2， PA PB PM 即(x12)(x22)(y11)(y21) ， 5 4 所以(x12)(x22)(1k2) ， 5 4 即x1x22(x1x2)4(1k2) .9 分 5 4 所以24(1k2) ， 16k216k8 34k2 8k2k1 34k2 44k2 34k2 5 4 解得 k .11 分 1

6、2 所以 k .于是存在直線 l 滿足條件， 1 2 其方程為 y x.12 分 1 2 【突破思維障礙】 直線與橢圓的位置關(guān)系主要是指公共點(diǎn)問題、 相交弦問題及其他綜合問題 反映在代數(shù) 上， 就是直線與橢圓方程聯(lián)立的方程組有無實(shí)數(shù)解及實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)的問題， 它體現(xiàn)了方程思 想的應(yīng)用，當(dāng)直線與橢圓相交時(shí)，要注意判別式大 于零這一隱含條件， 它可以用來檢驗(yàn)所求參數(shù)的值是否有意義， 也可通過該不等式來求 參數(shù)的范圍 對直線與橢圓的位置關(guān)系的考查往往結(jié)合平面向量進(jìn)行求解， 與向量相結(jié)合的 題目， 大都與共線、 垂直和夾角有關(guān)， 若能轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算往往更容易實(shí)現(xiàn)解題功能， 所以在復(fù)習(xí)過程中要格外重

7、視 1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，除了直接根據(jù)定義外，常用待定系數(shù)法(先定性，后定型，再定 參)當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確而無法確定其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，可設(shè)方程為 1 (m0， x2 m y2 n n0 且 mn)，可以避免討論和繁雜的計(jì)算，也可以設(shè)為 Ax2By21 (A0，B0 且 AB)，這種形式在解題中更簡便 2橢圓的幾何性質(zhì)分為兩類：一是與坐標(biāo)軸無關(guān)的橢圓本身固有的性質(zhì)，如：長軸長、 短軸長、焦距、離心率等；另一類是與坐標(biāo)系有關(guān)的性質(zhì)，如：頂點(diǎn)坐標(biāo)，焦點(diǎn)坐標(biāo) 等第一類性質(zhì)是常數(shù)，不因坐標(biāo)系的變化而變化，第二類性質(zhì)是隨坐標(biāo)系變化而相應(yīng) 改變 3直線與橢圓的位置關(guān)系問題它是高考的熱點(diǎn)，通常涉及橢圓的性質(zhì)、最

8、值的求法 和直線的基礎(chǔ)知識、線段的中點(diǎn)、弦長、垂直問題等，分析此類問題時(shí)，要充分利用數(shù) 形結(jié)合法、設(shè)而不求法、弦長公式及根與系數(shù)的關(guān)系去解決 (滿分：75 分) 一、選擇題(每小題 5 分，共 25 分) 1(2011溫州模擬)若ABC 的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A(4,0)、B(4,0)，ABC 的周長 為 18，則頂點(diǎn) C 的軌跡方程為() A. 1 (y0) B. 1 (y0) x2 25 y2 9 y2 25 x2 9 C. 1 (y0) D. 1 (y0) x2 16 y2 9 y2 16 x2 9 2已知橢圓1，長軸在 y 軸上，若焦距為 4，則 m 等于() x2 10m y2 m2

9、 A4 B5 C7 D8 3 已知 F1、 F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)， 過 F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于 A、 B 兩點(diǎn)， 若ABF2是等腰直角三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是() A. B. C.1 D. 3 2 2 2 22 4(2011天門期末)已知圓(x2)2y236 的圓心為 M，設(shè) A 為圓上任一點(diǎn)，N(2,0)， 線段 AN 的垂直平分線交 MA 于點(diǎn) P，則動點(diǎn) P 的軌跡是() A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線 5橢圓 1 上一點(diǎn) M 到焦點(diǎn) F1的距離為 2，N 是 MF1的中點(diǎn)，則|ON|等于() x2 25 y2 9 A2 B4 C8 D.3 2 二、填空題(每小題 4

10、分，共 12 分) 6已知橢圓 G 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在 x 軸上，離心率為，且 G 上一點(diǎn)到 G 的 3 2 兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為 12，則橢圓 G 的方程為_ 7(2011唐山調(diào)研)橢圓 1 的焦點(diǎn)為 F1、F2，點(diǎn) P 在橢圓上若|PF1|4，則|PF2| x2 9 y2 2 _；F1PF2的大小為_ 8. 如圖，已知點(diǎn) P 是以 F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓1 (ab0)上一點(diǎn)，若 PF1PF2，tan x2 a2 y2 b2 PF1F2 ，則此橢圓的離心率是_ 1 2 三、解答題(共 38 分) 9(12 分)已知方向向量為 v(1，)的直線 l 過點(diǎn)(0，2)和橢圓 C：33 x2

11、a2 y2 b2 1(ab0)的右焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為. 6 3 (1)求橢圓 C 的方程； (2)若已知點(diǎn) D(3,0)，點(diǎn) M，N 是橢圓 C 上不重合的兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù) 的取DM DN 值范圍 10(12 分)(2011煙臺模擬)橢圓 ax2by21 與直線 xy10 相交于 A，B 兩點(diǎn)，C 是 AB 的中點(diǎn)，若|AB|2，OC 的斜率為，求橢圓的方程2 2 2 11(14 分)(2010福建)已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn) O 的橢圓 C 經(jīng)過點(diǎn) A(2,3)，且點(diǎn) F(2,0)為其 右焦點(diǎn) (1)求橢圓 C 的方程 (2)是否存在平行于 OA 的直線 l，使得直線 l 與橢圓 C 有公共點(diǎn)，

12、且直線 OA 與 l 的距 離等于 4？若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，說明理由 學(xué)案學(xué)案 51橢圓橢圓 自主梳理 1橢圓焦點(diǎn)焦距(1)ac(2)ac(3)a|AB|4. 點(diǎn) M 的軌跡是以點(diǎn) B(2,0)、A(2,0)為焦點(diǎn)、線段 AB 中點(diǎn)(0,0)為中心的橢圓 a3，c2，b . 5 所求軌跡方程為1. x2 9 y2 5 例 2 解題導(dǎo)引確定一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，必須要有一個(gè)定位條件(即確定焦點(diǎn)的位 置)和兩個(gè)定形條件(即確定 a， b 的大小) 當(dāng)焦點(diǎn)的位置不確定時(shí)， 應(yīng)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x 2 a2 1 (ab0)或1 (ab0)，或者不必考慮焦點(diǎn)位置，直接設(shè)橢圓的方程為 m

13、x2 y2 b2 y2 a2 x2 b2 ny21 (m0，n0，且 mn) 解(1)若橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上， 設(shè)方程為1 (ab0) x2 a2 y2 b2 橢圓過點(diǎn) A(3,0)， 1， 9 a2 a3，又 2a32b，b1，方程為y21. x2 9 若橢圓的焦點(diǎn)在 y 軸上，設(shè)方程為1 (ab0) y2 a2 x2 b2 橢圓過點(diǎn) A(3,0)，1， 9 b2 b3，又 2a32b， a9，方程為1. y2 81 x2 9 綜上可知橢圓的方程為y21 或1. x2 9 y2 81 x2 9 (2)設(shè)經(jīng)過兩點(diǎn) A(0,2)，B的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 mx2ny21，將 A，B 坐標(biāo)代入方 (

14、1 2， 3) 程得Error!Error!，所求橢圓方程為 x21. y2 4 變式遷移 2解(1)當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)，a3， ，c，從而 b2a2 c a 6 3 6 c2963， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1. x2 9 y2 3 當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)， b3， ，a227. c a 6 3 a2b2 a 6 3 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1. x2 9 y2 27 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1 或1. x2 9 y2 3 x2 9 y2 27 (2)設(shè)橢圓方程為 mx2ny21 (m0，n0 且 mn) 橢圓經(jīng)過 P1、P2點(diǎn)，P1、P2點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程， 則Error! 兩式聯(lián)立，解得Erro

15、r! 所求橢圓方程為1. x2 9 y2 3 例 3 解題導(dǎo)引(1)橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為橢圓的焦點(diǎn)三角形，與 焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|PF2|2a，得到 a、c 的關(guān) 系 (2)對F1PF2的處理方法Error! Error! (1)解設(shè)橢圓方程為1 (ab0)， x2 a2 y2 b2 |PF1|m，|PF2|n. 在PF1F2中，由余弦定理可知， 4c2m2n22mncos 60. mn2a，m2n2(mn)22mn4a22mn. 4c24a23mn，即 3mn4a24c2. 又 mn 2a2(當(dāng)且僅當(dāng) mn 時(shí)取等號)， ( mn 2

16、 ) 4a24c23a2. ，即 e . c2 a2 1 4 1 2 e 的取值范圍是. 1 2，1) (2)證明由(1)知 mn b2，SPF1F2 mnsin 60b2， 4 3 1 2 3 3 即PF1F2的面積只與短軸長有關(guān) 變式遷移 3解(1)F1(c,0)，則 xMc，yM， b2 a kOM.kAB ，OMAB， b2 ac b a ，bc，故 e . b2 ac b a c a 2 2 (2)設(shè)|F1Q|r1，|F2Q|r2，F(xiàn)1QF2， r1r22a，|F1F2|2c， cos r2 1r2 24c2 2r1r2 r 1r222r1r24c2 2r1r2 110， a2 r1

17、r2 a2 r 1r2 2 2 當(dāng)且僅當(dāng) r1r2時(shí)，cos 0，0， 2 課后練習(xí)區(qū) 1A2.D3.C4.B5.B 6.17.21208. x2 36 y2 9 5 3 9解(1)直線 l 的方向向量為 v(1，)，3 直線 l 的斜率為 k . 3 又直線 l 過點(diǎn)(0，2)，3 直線 l 的方程為 y2x.33 ab，橢圓的焦點(diǎn)為直線 l 與 x 軸的交點(diǎn) c2.又e ，a.b2a2c22. c a 6 3 6 橢圓方程為 1.(6 分) x2 6 y2 2 (2)若直線 MNy 軸，則 M、N 是橢圓的左、右頂點(diǎn)， 或 ，即 52或 52. 3 6 3 6 3 6 3 6 66 若 M

18、N 與 y 軸不垂直，設(shè)直線 MN 的方程為 xmy3(m0)由Error!得(m23)y2 6my30. 設(shè) M、N 坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 則 y1y2， 6m m23 y1y2， 3 m23 36m212(m23)24m2360，m2 . 3 2 (x13，y1)，(x23，y2)，顯然 0，且 1，DM DN DM DN (x13，y1)(x23，y2)y1y2. 代入，得 210. 1 12m2 m23 36 m23 m2 ，得 2 10，即Error! 3 2 1 解得 52b0)，且可知其左焦點(diǎn) x2 a2 y2 b2 為 F(2,0) 從而有Error! 解得Error!又 a2b2c2，所以 b212， 故橢圓 C 的方程為1.(5 分) x2 16 y2 12 (2)假設(shè)存在符合題意的直線 l，設(shè)其方程為 y xt.