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1、1,第四章 電磁波的傳播,2,又由,1 平面電磁波,一、電磁場(chǎng)的波動(dòng)方程,3,電磁場(chǎng)在真空中的波動(dòng)方程 :,或表為,， 其中,極化率與電磁波頻率有關(guān),在線性介質(zhì)中，,電容率和磁導(dǎo)率與頻率有關(guān)的現(xiàn)象稱為介質(zhì)的色散。,討論：,上述方程的解決定于邊界條件，有多種形式的解。 所有頻率的電磁波在真空中都以光速傳播（如無線電波、光、X射線和射線等）。 光速是最基本的物理參數(shù)量之一。（c: 電磁現(xiàn)象；G : 萬有引力；k: 熱現(xiàn)象，h : 量子現(xiàn)象）,4,時(shí)諧電磁波：指電場(chǎng)和磁場(chǎng)隨時(shí)間作諧振變化的電磁波。時(shí)諧電磁波是單一頻率電磁波，也稱為單色電磁波。,為什么要研究時(shí)諧電磁波？,注意：,由于色散效應(yīng)，一般而言

2、，對(duì)于介質(zhì)中沒有和真空情形類似的波動(dòng)方程（不能以 替換 ） 。 對(duì)于非單一頻率（非正弦變化）的電磁波，一般不再滿足 。,二、時(shí)諧電磁波,討論：,許多實(shí)際電磁波（如無線電廣播、通訊中的載波、激光器輻射的光束等）可近似作為單一頻率電磁波； 對(duì)一般電磁波，可作Fourier頻譜分析，電磁波可分解為不同頻率單色波的疊加。,5,時(shí)諧電磁波的復(fù)數(shù)形式,單一頻率的電磁波滿足,空間部分滿足Helmholtz方程,其中,對(duì)某一頻率，Helmholtz方程一般有多種電磁波解，每種解稱為一種波模。,6,Helmholtz方程最簡單情形：電場(chǎng)和磁場(chǎng)只與x有關(guān)。 以電場(chǎng)為例,，它的一個(gè)解為,考慮時(shí)間部分,三、平面電磁波

3、,討論：,稱為相位。在某一時(shí)刻，相位相同的點(diǎn)構(gòu)成等相面（波陣面）。上述平面波的等相面與 x 軸正交；他是沿x 軸正向傳播的平面波。 在某一時(shí)刻，空間位置變化一個(gè)波長，相位變化， 相速: 等相面移動(dòng)速度。,7,設(shè)一等相面滿足,，經(jīng)過時(shí)間t，該等相面移動(dòng)了x,平面波的相速,其中 稱為波矢，,等相面與波矢方向垂直。相速方向與波矢方向一致，大小,平面電磁波沿任意方向傳播時(shí),8,可見，平面電磁波是橫波。 、 和 兩兩相互垂直， 沿 方向。,且 和 同相。,平面電磁波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)的關(guān)系,9,對(duì)于線性介質(zhì)，能量密度,能流密度,平面電磁波能量沿波矢方向傳播，能量傳輸速度等于相速。,四、平面電磁波的能量和能流,

4、10,在電場(chǎng)和磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)形式中，實(shí)部才有實(shí)際意義，能量密度和能流密度涉及場(chǎng)量的二次項(xiàng)，不能用復(fù)數(shù)形式進(jìn)行計(jì)算。,瞬時(shí)值,空間變化周期縮小為場(chǎng)量的一半。,平均值,數(shù)學(xué)補(bǔ)充：,設(shè)兩個(gè)復(fù)函數(shù) 和 ，考慮其乘積在一個(gè)周期內(nèi)的平均值。,11,設(shè)兩個(gè)矢量函數(shù) 和 ，也有,能量密度和能流密度的平均值,12,復(fù)雜電磁波可以分解為平面電磁波的疊加傅立葉頻譜分析,分離（頻）譜情形,連續(xù)（頻）譜情形,平面電磁波投射到介質(zhì)表面，存在入射、反射和折射波，,電磁波的折射和反射現(xiàn)象屬于電磁場(chǎng)邊值問題。電磁波在介質(zhì)分界面處，波矢、振幅改變，但頻率不變。,2 電磁波在介質(zhì)界面上的反射與折射,一、反射和折射定律,13,電磁波滿足

5、的Maxwell方程,對(duì)單一頻率電磁波,散度方程自然滿足，可見只有兩個(gè)方程是獨(dú)立的。,只有兩個(gè)獨(dú)立的邊值關(guān)系：,設(shè)介質(zhì)分界面附近,14,波矢關(guān)系式：,，三個(gè)波矢共面。,對(duì)單色平面波，相速,由波矢關(guān)系式，,電磁波反射定律,電磁波折射定律,15,討論：,電磁波在介質(zhì)中的相速： 介質(zhì)的折射率 相對(duì)折射率（介質(zhì)2相對(duì)于介質(zhì)1） 對(duì)非鐵磁介質(zhì) 由于電容率與頻率有關(guān)，電磁波折射時(shí)有色散現(xiàn)象。,平面電磁波有兩個(gè)獨(dú)立（相互垂直）的偏振方向。常選擇為：與入射面垂直和與入射面平行,16,在界面附近,界面附近相因子相同，上式中是場(chǎng)量振幅。,對(duì)于平面電磁波,利用 和折射定律可得,17,以上關(guān)于振幅的關(guān)系式稱為Fres

6、nel公式,討論：,垂直和平行于入射面的分量具有不同的反射和折射行為； 自然光反射、折射后為部分偏振光； 當(dāng) 時(shí)， Fresnel公式 表明：反射光 無平行于入射面的成份，是完全偏振光。這就是 Brewster 定律，相應(yīng)入射角為布儒斯特角； 若 （由光疏向光密介質(zhì)入射），垂直于入射面的分量存在半波損失。 由折射定律，如 ，F(xiàn)resnel公式 表明： 垂直于入射面的分量，反射波與入射波反相。,18,設(shè) （由光密向光疏介質(zhì)入射），令,當(dāng)入射角 時(shí)，將發(fā)生全反射現(xiàn)象。,三、全反射,全反射時(shí)，由電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系，介質(zhì)2中存在電磁場(chǎng)。,由波矢關(guān)系式 ，又,如果,令,選入射面為 xz 面，則,介質(zhì)2中的

7、電磁波,全反射時(shí)介質(zhì)2中仍存在電磁波。它是沿 x 軸方向傳播，且沿z軸指數(shù)衰減的平面電磁波。,19,衰減長度,討論：,透射到介質(zhì)2中的薄層厚度與電磁波波長數(shù)量級(jí)。 隨入射角減小，投入薄層厚度增大。,電場(chǎng)垂直于入射面情形，即,對(duì)于平面電磁波有,磁場(chǎng)有兩個(gè)分量,20,全反射時(shí)，介質(zhì)2中磁場(chǎng)的x分量與電場(chǎng)存在 / 2 相差。,E 垂直于入射面情形,介質(zhì)2中，能流密度的 z 分量不為零，表明有能量進(jìn)入介質(zhì)2。,注意到,21,在全反射時(shí)，沿 z 方向透入介質(zhì)2的平均能流密度為零。,全反射時(shí)，F(xiàn)resnel公式仍然成立，只要作變換,22,其中,討論：,反射波與入射波振幅相同，表明反射波平均能流密度與入射波

8、相同，能量被全部反射； 反射波與入射波有一定相差，表明反射、入射波瞬時(shí)能流密度不同； 能流密度 z 分量瞬時(shí)值不為零而平均值為零，表明在全反射時(shí)，介質(zhì)2具有（臨時(shí)存儲(chǔ)能量的）實(shí)際物理作用：在半周內(nèi)能量進(jìn)入介質(zhì)2，在另一半周釋放能量到介質(zhì)1。,全反射情形,23,如果導(dǎo)體內(nèi)存在電荷，則 ，又由歐姆定律 ，由電荷守恒定律 可得,導(dǎo)體中電荷密度滿足方程,其解為,衰減特征時(shí)間,3 有導(dǎo)體存在時(shí)電磁波的傳播,一、導(dǎo)體內(nèi)自由電荷分布,理想導(dǎo)體電導(dǎo)率無窮大，其內(nèi)部無電荷分布。 對(duì)實(shí)際導(dǎo)體，若電場(chǎng)變化周期滿足 即 可近似認(rèn)為內(nèi)部無電荷分布，這樣的導(dǎo)體稱為良導(dǎo)體。 一般金屬 ，只要頻率不是太高，均可視為良導(dǎo)體。,

9、討論：,24,對(duì)單一頻率電磁波,引入復(fù)電容率,這與介質(zhì)情形在形式上是一致的。,二、導(dǎo)體內(nèi)電磁波、復(fù)電容率,25,（關(guān)于耗散功率密度） 考慮最簡單情形：長度為l，橫截面為S 的一段導(dǎo)體，電阻為R，內(nèi)部電場(chǎng)為E，電流為I，兩端電壓為U，電流密度為J，則單位時(shí)間的焦耳熱損耗,單位體積單位時(shí)間的焦耳熱損耗為,當(dāng)J 和E 方向不一致時(shí)，應(yīng)改寫為 ，它適用于一般情形。,耗散（Dissipation）功率密度,說明：,在 中，第一項(xiàng)是位移電流，第二項(xiàng)是傳導(dǎo)電流。傳導(dǎo)電流引起的焦耳熱損耗，其平均耗散功率密度,討論：,26,位移電流與電場(chǎng)存在 相差，在一個(gè)周期內(nèi)不消耗功率。,對(duì)復(fù)電容率 ，實(shí)部對(duì)應(yīng)位移電流的貢獻(xiàn)

10、，不引起電磁波功率耗散；虛部是傳導(dǎo)電流的貢獻(xiàn)，引起能量耗散。,導(dǎo)體內(nèi)，單一頻率電磁波滿足Helmholtz方程,其中,。平面波解為：,導(dǎo)體中的波矢是復(fù)矢量，令,導(dǎo)體中的電磁波,是衰減的平面電磁波。,和 有6個(gè)未知量，上述兩個(gè)方程對(duì)求解它們是不夠的，還需考慮具體問題的邊值關(guān)系。,27,例如，當(dāng)電磁波從真空投射到導(dǎo)體表面時(shí)，以xz為入射面，由波矢關(guān)系 ，可得 。,真空中波矢是實(shí)數(shù)，,根據(jù)前面的方程可以完全解出 和 。,討論最簡單的情形：平面電磁波垂直投射到導(dǎo)體表面。 導(dǎo)體外波矢只有z 分量，由波矢關(guān)系， 和 也只有z 分量，,和 只有兩個(gè)分量，滿足方程,要求,導(dǎo)體中電磁波的形式（以電場(chǎng)為例）,28

11、,電磁波沿方向傳播 z 軸從傳播，不可取負(fù)值，,對(duì)良導(dǎo)體 ，有,穿透深度,對(duì)高頻電磁波，電場(chǎng)、磁場(chǎng)和電流均存在趨膚效應(yīng)。,對(duì)于銅，當(dāng)頻率為50Hz 時(shí)， ；當(dāng)頻率為100MHz 時(shí)， 。,例：,29,對(duì)于垂直入射的單一頻率電磁波，由Maxwell方程,導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)和磁場(chǎng)的關(guān)系,良導(dǎo)體情形（ ），,磁場(chǎng)相位比電場(chǎng)滯后；,，磁場(chǎng)的作用遠(yuǎn)比電場(chǎng)重要。,30,討論簡單情形：電磁波從真空垂直入射到導(dǎo)體表面，電場(chǎng)垂直于入射面。,在導(dǎo)體內(nèi)（介質(zhì)2）,作替換 后，應(yīng)認(rèn)為無傳導(dǎo)電流（ 描述了電流）。,界面附近的切向邊值關(guān)系,對(duì)于入射波,對(duì)于反射波,對(duì)于透射波（在導(dǎo)體中）,三、導(dǎo)體表面上電磁波的反射,31,對(duì)于非鐵

12、磁性導(dǎo)體 ，從邊值關(guān)系,對(duì)良導(dǎo)體( ):,與電場(chǎng)邊值關(guān)系聯(lián)立，可得,定義反射系數(shù),對(duì)于良導(dǎo)體可把 作為小量（因?yàn)?與 同量級(jí)），,32,越大，R 越接近1； 越?。ㄔ酱螅?，R 越接近1。 微波或無線電波的頻率很小，一般金屬均可近似看作理想 導(dǎo)體（），電磁波近似全部反射（如微波爐）。,進(jìn)入導(dǎo)體的電磁波誘導(dǎo)傳導(dǎo)電流，傳導(dǎo)電流激發(fā)的電磁場(chǎng)將減弱原電磁場(chǎng)（否則不穩(wěn)定），使導(dǎo)體內(nèi)電磁場(chǎng)迅速衰減，電磁波只能透入導(dǎo)體表面薄層。薄層厚度與 和有關(guān)。或越大，厚度越小。導(dǎo)體內(nèi)誘導(dǎo)的傳導(dǎo)電流激發(fā)電磁場(chǎng)形成反射電磁波。反射波強(qiáng)度接近入射波，對(duì)于良導(dǎo)體，入射波能量幾乎全部反射。同時(shí)，實(shí)際導(dǎo)體有焦耳熱損耗，電磁波能量部分

13、耗散，一般情況，良導(dǎo)體吸收很少部分電磁波能量。,物理圖象：,討論：,33,設(shè)入射波矢為 ，有,對(duì)良導(dǎo)體,導(dǎo)體內(nèi)波矢 而,選入射面為xz 面,（ 與 同級(jí)， ）,又,略去 且,垂直于表面， 接近法線方向，穿透深度由 給出。,解：,Ex.1,證明對(duì)于良導(dǎo)體，在非垂直入射時(shí)有,34,趨膚效應(yīng)使電流分布于表面薄層，這樣的電流分布可看成面電流分布（把薄層壓縮到導(dǎo)體表面），用線電流密度描述電流面分布。,線電流密度 定義為：通過單位橫截線的電流。,與電流密度的關(guān)系,考慮垂直入射，導(dǎo)體內(nèi)電磁波,Ex.2,高頻下良導(dǎo)體的表面電阻。,35,令,其中,平均損耗功率密度,平均損耗功率面密度,對(duì)于良導(dǎo)體,良導(dǎo)體在高頻下

14、的電阻相當(dāng)于厚度為 的薄層直流電阻。,右圖為一薄層直流電阻,考慮一簡諧變化的面電流，其線密度,說明：,36,耗散功率（單位時(shí)間的焦耳熱損耗）,平均耗散功率,表面平均損耗功率面密度,37,電場(chǎng)能量與磁場(chǎng)能量相互轉(zhuǎn)換，,提高振蕩頻率，需減小C 或 L 。1）C 減小，極板面積減小，電容器越難將電場(chǎng)束縛在板間，能量將向外輻射將變強(qiáng)。2）L 減小，線圈長度(或密度）越小，向外輻射的能量越多。 LC 回路只能產(chǎn)生低頻振蕩。,4 諧振腔,問題：,振蕩頻率,如何產(chǎn)生高頻振蕩？,理想導(dǎo)體趨于無窮，穿透深度趨于0，電磁波被全部反射，理想導(dǎo)體構(gòu)成電磁波存在的邊界。,二、理想導(dǎo)體邊界,38,在介質(zhì)一側(cè)，E 的切向分

15、量為0，B 的法向分量為0。即在理想導(dǎo)體表面，電力線與表面垂直，磁感應(yīng)線與表面相切。 對(duì)單一頻率電磁波，Maxwell方程只有兩個(gè)是獨(dú)立的。邊界條件其實(shí)也只有兩個(gè)獨(dú)立。,對(duì)于線性介質(zhì)，在介質(zhì)一側(cè)，,理想導(dǎo)體的邊界條件,選平面電磁波傳播方向?yàn)?z 方向，選電場(chǎng)的兩個(gè)基本偏振方向?yàn)閤 和y 方向。由邊值關(guān)系，只允許電場(chǎng)沿y 方向偏振，磁場(chǎng)沿x 方向偏振。無限大平行板間只能傳播一種偏振的TEM平面波。,39,考察對(duì)象：由理想導(dǎo)體構(gòu)成的矩形腔。,空間部分滿足Helmholtz方程,其三個(gè)分量方程記為,表示電場(chǎng)分量 中的一個(gè)。,三、諧振腔,對(duì)單一頻率電磁波,用分離變量法求解，令,40,1）若 ，方程的解

16、為,它在 x 方向不是平面波，物理上不合理，舍棄。,2）若 ，令,同理，,分析：,或?qū)憺閺?fù)數(shù)形式,其中,41,可以是 中的任一個(gè)，設(shè)是 ，考慮其復(fù)數(shù)形式 ，,要求對(duì)任意 x、y 成立，,42,同理,波矢的確定,（m 取整數(shù)）,利用 和 兩表面附近，電場(chǎng)沿法向?qū)?shù)為零，可得,其中，m、n、p = 0，1，2，3，（無需取負(fù)整數(shù)）。,43,由腔內(nèi) 中只有兩個(gè)獨(dú)立。 腔內(nèi)電磁波是注波形式，它是平面波疊加的結(jié)果。 諧振腔的頻率選擇性 諧振腔只允許特定頻率電磁波存在，頻率離散分布 若（m，n，p）中兩個(gè)為0，則 E=0 。腔內(nèi)不存在波矢沿x、y或z單一方向的振蕩。 若 ，則最低頻率諧振波模為（1，1，0

17、）。 最低頻率 最大波長 對(duì)于每組（m，n，p），有兩個(gè)獨(dú)立偏振波模。 設(shè) 和 獨(dú)立（ ）， 或 是兩獨(dú)立偏振方向。 實(shí)際金屬構(gòu)諧振腔有損耗，需外界提供能量維持電磁振蕩。,討論：,44,低頻情形：頻率小，波長長（c/f），波動(dòng)性弱。可用電學(xué)參數(shù)（I、U、R、C、L等）等效描述場(chǎng)在線路中的作用。(比如交流電路),考慮電學(xué)元件（電阻、電容、電感等）尺寸 波長,對(duì)于元件內(nèi)空間兩點(diǎn)，可近似認(rèn)為兩點(diǎn)間電場(chǎng)不變，例如，對(duì)電阻元件中兩點(diǎn)， ，電壓的概念是適用的。,另一方面，低頻情形，電場(chǎng)變化緩慢，在一個(gè)周期內(nèi)可以及時(shí)完成電磁過程。,高頻情形：許多（集中）電學(xué)參數(shù)不再適用。比如，在高頻情形，顯著的趣膚效應(yīng)使得

18、必須將電流密度作為空間位置的函數(shù)，電壓也沒有實(shí)際意義。,5 波 導(dǎo),一、高頻電磁能量的傳輸,說明：,由于 ， 與積分路徑有關(guān)，電壓沒有意義。,45,右端無法寫為IR，電阻的概念不適用。,電磁能量的傳輸 :為了減少電磁波向外輻射能量（損耗），避免環(huán)境干擾，低頻情形，用雙線；高頻可用同軸傳輸線；頻率更高時(shí)（如微波），用波導(dǎo)（能有效克服內(nèi)導(dǎo)線的焦耳損耗及介質(zhì)熱損耗）。,波導(dǎo)管中單一頻率電磁波,設(shè)電磁波沿z 方向傳播，,二、矩形波導(dǎo)中的電磁波,以 表分量 之一，,46,令,其中,邊界條件：對(duì) x = 0 和 a 管壁， ，且 ；,對(duì) y = 0 和 b 管壁， ，且 。,由 x=0 和 y=0 面上的邊界條件，,47,由 x=a , y=b 面的邊條件,在 中，只有兩個(gè)是獨(dú)立的。對(duì)于每組 值，有兩種不同的波模。,在波導(dǎo)內(nèi)，電場(chǎng)和磁場(chǎng)不能同時(shí)為橫波。,通常，對(duì)一組 值，可這樣選擇獨(dú)立波模： ，是 TE 波； ，是 TM 波。波導(dǎo)中的實(shí)際電磁波可s視為各種 TEmn 和 TMmn 波的疊加。,討論：,結(jié)論：,在腔中，電場(chǎng)強(qiáng)度滿足 ，,48,對(duì)每組 ，頻率存在最小值（發(fā)生在 處），稱為截止角（圓）頻率,低于截止頻率的電磁波在波導(dǎo)管中被禁止；而對(duì)所有頻率不低于截止頻率的電磁波，是允許的