浙大《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(第四版)簡(jiǎn)明本》盛驟著 課后習(xí)題解答

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè)習(xí)題解答（浙大第四版） 第一章第一章第一章第一章 概率的基本概念概率的基本概念概率的基本概念概率的基本概念 習(xí)題解析習(xí)題解析習(xí)題解析習(xí)題解析 第第第第 1 1 1 1、2 2 2 2 題題題題 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間樣本空間樣本空間樣本空間、隨機(jī)事件隨機(jī)事件隨機(jī)事件隨機(jī)事件 - 1寫(xiě)出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間： （1）記錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)（設(shè)以百分制記分） 。 （2）生產(chǎn)產(chǎn)品直到有 10 件正品為止，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。 （3）對(duì)某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的記上“正品” ，不合格的記上“次品” ，如連續(xù) 查出 2 個(gè)次品就停止檢查，或檢

2、查 4 個(gè)產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。 （4）在單位圓內(nèi)任意取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)。 解解解解 （1）高該小班有 n 個(gè)人，每個(gè)人數(shù)學(xué)考試的分?jǐn)?shù)的可能取值為 0，1，2，100，n 個(gè)人分?jǐn)?shù)這和的可能取值為 0，1，2，100n，平均分?jǐn)?shù)的可能取值為 0 1100 ,., n n nn 則 樣本空間為 s=0,1,2,100 k kn n = （2）樣本空間 s=10，11，s 中含有可數(shù)無(wú)限多個(gè)樣本點(diǎn)。 （3）設(shè) 1 表示正品，0 有示次品，則樣本空間為 s=（0，0） ， （1，0，0） ， （0，1，0，0） ， （0，1，0，1） ， （0，1，1，0） ， （1，1， 0，0） ，

3、 （1，0，1，0） ， （1，0，1，1） ， （0，1，1，1） ， （1，1，0，1） ， （1，1， 1，0） ， （1，1，1，1） 例如（1，1，0，0）表示第一次與第二次檢查到正品，而第三次與第四次檢查到次品。 （4）設(shè)任取一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y） ，則樣本空間為 s= 2 2 ( , )1x y xy+ - 2設(shè) a，b，c 為三個(gè)事件，用 a，b，c 的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件。 （1）a 發(fā)生，b 與 c 不發(fā)生； （2）a 與 b 都發(fā)生，而 c 不發(fā)生； （3）a，b，c 中至少有一個(gè)發(fā)生； （4）a，b，c 都發(fā)生； （5）a，b，c 都不發(fā)生； （6）a，b，c 中不多于

4、一個(gè)發(fā)生； （7）a，b，c 中不多于兩個(gè)發(fā)生； （8）a，b，c 中至少有兩個(gè)發(fā)生。 解解解解 此題關(guān)鍵詞： “與， ” “而” ， “都”表示事件的“交” ； “至少”表示事件的“并” ； “不多 于”表示“交”和“并”的聯(lián)合運(yùn)算。 （1）abc。 （2）abc或 abc。 （3）abc。 （4）abc。 （5）abc。 （ 6 ） a ， b ， c中 不 多 于 一 個(gè) 發(fā) 生 為 僅 有 一 個(gè) 發(fā) 生 或 都 不 發(fā) 生 ， 即 abcabcabcabc，a，b，c 中不多于一個(gè)發(fā)生，也表明, ,a b c中至少有兩 個(gè)發(fā)生，即abbcacabc。 （7）a，b，c 中不多于兩個(gè)發(fā)

5、生，為僅有兩個(gè)發(fā)生或僅有一個(gè)發(fā)生，或都不發(fā)生，即表示 為 abcabcabcabcabcabcabc 而 abc 表示三個(gè)事件都發(fā)生，其對(duì)立事件為不多于兩個(gè)事件發(fā)生，因此又可以表示為 abc=abc。 （8）a，b，c 中至少有兩個(gè)發(fā)生為 a，b，c 中僅有兩個(gè)發(fā)生或都發(fā)生，即為 abcabcabcabc 也可以表示為 abbcac。 第第第第 3 3 3 3. . . .（1 1 1 1） 、） 、） 、） 、6 6 6 6、8 8 8 8、9 9 9 9、10101010 題題題題 概率的定義概率的定義概率的定義概率的定義、概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)、古典概型古典概型古典概型

6、古典概型 - 3 （1） 設(shè) a，b， c 是三件， 且 11 ( )( )( ),()()0,(), 48 p ap bp cp abp bcp ac= 求 a，b，c 至少有一個(gè)生的概率。 解解解解 利用概率的加法公式 315 ()( )( )( )()()()() 488 p abcp ap ap cp abp bcp acp abc=+= 其中由()()0,p abp bc=而abcab得()0p abc=。 - 6在房間里有 10 個(gè)人，分別佩戴從 1 號(hào)到 10 號(hào)的紀(jì)念章，任選 3 人記錄其紀(jì)念章的號(hào)碼。 求 （1）最小號(hào)碼為 5 的概率； （2）最大號(hào)碼為 5 的概率。 解解解

7、解 利用組合法計(jì)數(shù)基本事件數(shù)。從 10 人中任取 3 人組合數(shù)為 3 10 c，即樣本空間 s= 3 10 120c=個(gè)基本事件。 （1）令事件 a=最小號(hào)碼為 5。最小號(hào)碼為 5，意味著其余號(hào)碼是從 6，7，8，9，10 的 5 個(gè)號(hào)碼中取出的，有 2 5 c種取法，故 a= 2 5 10c =個(gè)基本事件，所求概率為 2 5 3 10 5! 101 2!3! ( ) 10! 12012 3!7! c p a c = （2）令事件 b=最大號(hào)碼為 5，最大號(hào)碼為 5，其余兩個(gè)號(hào)碼是從 1，2，3，4 的 4 個(gè)號(hào)碼 中取出的，有 2 4 c種取法，即 b= 2 4 c 個(gè)基本事件，則 2 4

8、3 10 4! 61 2!2! ( ) 10! 12020 3!7! c p b c = - 8在 1 500 個(gè)產(chǎn)品中有 400 個(gè)次品，1 100 個(gè)正品。從中任取 200 個(gè)。求 （1）恰有 90 個(gè)次品的概率； （2）至少有 2 個(gè)次品的概率。 解解解解 （1）利用組合法計(jì)數(shù)基本事件數(shù)。令事件 a=恰有 90 個(gè)次品，則 90110 4001100 200 1500 ( ) cc p a c = （2）利用概率的性質(zhì)。令事件 b=至少有 2 個(gè)次品， a= 恰有i個(gè)次品，則 23200, baaaaiaiij= ( ) 所求概率為 200 23200 2 ( )(,() i i p b

9、p aaap a = =） 顯然，這種解法太麻煩，用對(duì)立事件求解就很簡(jiǎn)單。令事件b=恰有 0 個(gè)次品或恰有 1 個(gè)次品，即 01 baa=，而 2001199 11004001100 0101 200200 15001500 ( )()()() ccc p bp aap ap a cc =+=+ 故 2001199 11004001100 200200 15001500 ( )1( )1 ccc p bp b cc = = - 9 從 5 雙不同的鞋子中任取 4 只， 問(wèn)這 4 只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率是多少？ 解解解解 令事件 a=4 只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙。用 3 種方

10、法求 p（a） 。 a 的對(duì)立事件a=4 只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙，從 5 又鞋中任取 4 只，即 從 10 只鞋中任取 4 只，所有可能組合數(shù)為 4 10 c，樣本空間 s= 4 10 c個(gè)基本事件，現(xiàn)考慮有 利于a的基本事件數(shù)。從 5 雙鞋中任取 4 雙，再?gòu)拿侩p中任取一只，有 44 52 c種取法，即 a= 44 52 c個(gè)基本事件，則 444 5 4 10 25 213 ( )1( )11 21021 c p ap a c = = = = 4 只鞋是不放回的一只接一只的取出，所有可能的排列數(shù)為 4 10 a，即樣本空間 s= 4 10 a 個(gè)基本事件。現(xiàn)考慮有利于a的基本事件，從

11、 10 只鞋中任取一只，與它配成雙的一只不 取，從其余 8 只鞋中任取一只，與它配成雙的一只不取，依此類推，則a=10864 個(gè)基本事件。于是 4 10 10 8 6 410 8 6 4813 ( )1( )111 10 9 8 72121 p ap a a = = = = = 利用組合法計(jì)數(shù)基本事件數(shù)?？紤]有利于事件 a 的基本事件數(shù)，任取的 4 只鞋配成 一雙的取法有 1222 5242 c c c種， 能配成兩雙的取法有 22 52 c c種， 于是 a= （ 1222 5242 c c c+ 22 52 c c） 個(gè)基本事件，則 122222 52452 4 10 213013 ( )

12、 21021 c c cc c p a c + = 此題的第 1 種方法和第 2 種方法是利用概率性質(zhì)： ( )p a+( )p a=1 首先求( )p a，然后求( )p a。第 3 種方法是直接求( )p a。讀者還可以用更多方法求 ( )p a。 - 10在 11 張卡片上分別寫(xiě)上 probability 這 11 個(gè)字母，從中任意連抽 7 張，求其排列結(jié)果為 ability 的概率。 解解解解 令事件 a=排列結(jié)果為 ability，利用排列法計(jì)數(shù)基本事件數(shù)。不放回的從中一次抽 1 張的連抽 7 張，要排成單詞，因此用排列法。樣本空間= 7 11 a個(gè)基本事件。排列結(jié)果 為 abili

13、ty，實(shí)際收入字母 b 的卡片有兩張，寫(xiě)字母 i 的卡片有兩張，取 b 有 1 2 c種取法， 取 i 有 1 2 c種取法，其余字母都只有 1 種取法，故 11 22 ac c=個(gè)基本事件，于是 11 22 7 11 4 ( )0 0000024 11 10 9 8 7 6 5 c c p a a = 這是個(gè)小概率事件。 第第第第 1 1 1 14.4.4.4.（2 2 2 2） 、） 、） 、） 、1 1 1 15 5 5 5、19191919、18181818 題題題題 條件概率條件概率條件概率條件概率、概率的加法公式和乘法公式概率的加法公式和乘法公式概率的加法公式和乘法公式概率的加法公

14、式和乘法公式 - 14 （2）已知 111 ( )(),(),() 432 p ap b ap a bp ab=，求。 解解解解 利用概率加法公式和概率乘法公式。 ()( )( )()p abp ap bp ab=+ 解此題的關(guān)鍵是求( )()p bp ab和。由概率乘法公式，得 111 ()( ) () 4312 p abp a p b a= 又()( ) ()p abp b p a b=，解得 1 ()1 12 ( ) 1 ()6 2 p ab p b p a b = 于是所求概率為 1111 () 46123 p ab=+= 此題的關(guān)鍵是利用( ) ()( ) ()p a p b ap

15、b p a b=，求出()p ab和( )p b，再 求 ()p ab就迎刃而解了。 - 15擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)和為 7，求其中有一顆為 1 點(diǎn)的概率（用兩種方法） 。 解解解解 令事件 a=兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為 7， b=有一顆為 1 點(diǎn)。 此題是求條件概率()p b a。 兩種方法如下： 考慮整個(gè)樣本空間。隨機(jī)試驗(yàn)：擲兩顆骰子，每顆骰子可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)都是 6 個(gè)， 即樣本空間 s= 2 6個(gè)基本事件。事件 ab=兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之間和為 7，且有一顆為 1 點(diǎn)， 兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為 7 的可能結(jié)果為 6 個(gè)，即 a=（1，6） ， （2，5） ， （3，4） ， （6，1） ， （5，

16、2） ， （4，3） 而 ab= （1，6） ， （6，1）。由條件概率公式，得 2 ()21 36 () 6 ( )63 36 p ab p b a p a = 已知事件 a 發(fā)生后，將 a 作為樣本空間，其中有兩個(gè)結(jié)果（1，6）和（6，1）只有 一顆骰子出現(xiàn) 1 點(diǎn)，則在縮減的樣本空間中求事件 b 發(fā)生的條件概率為 21 () 63 p b a = - 18某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)，因而他隨意地?fù)芴?hào)。求他撥號(hào)不超過(guò)三次而接通所 需電話的概率。若已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？ 解解解解 利用概率性質(zhì)(有限可加性)和概率乘法公式。 令事件ai =第 i 次撥通電話，“到第 i

17、 次撥通電話” 這個(gè)事件為 121ii a aa a （i=1， 2，3） 。事件 b=不超過(guò)三次而撥通電話，則 b= 112123 aa aa a a 該事件表示第一次撥通電話，或者第一次未撥通，第二撥通電話（到第二次撥通電話） ，或 者第一、二次未撥通，第三次撥通電話（到第三次撥通電話） 。右端是互不相容事件的并事 件，所以用有限可加性計(jì)算，得 112123 112123 1121121312 ( )() ()()() ()() ()() () () 1919813 10109109810 p bp aa aa a a p ap a ap a a a p ap a p a ap a p a

18、 a p a a a = =+ =+ =+= 撥號(hào)是從 0，1，2，9 的 10 個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，有 10 種取法，第一次撥通的概率是 1 10 ； 第一次未撥通的概率為 9 10 ，第二次撥號(hào)時(shí)，是從其余 9 個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，所以撥通的概 率為 1 9 ， 到第二次撥通的概率為 911 10910 =， 依此類推， 到第 n 次撥通電話的概率都是 1 10 ， 與順序無(wú)關(guān)。 已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)時(shí)，令事件 c=撥號(hào)不超過(guò)三次而接通電話。撥號(hào)是從 1， 3，5，7，9 的五個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，有 5 種取法，第一次撥通的概率為 1 5 ，到第二次撥通 的概率為 411 545 =，到第三次

19、撥通的概率為 4311 5435 =，與上述分析方法和用的概率公 式相同，所以 1414313 ( ) 5545435 p c =+= 第第第第 21212121、22222222、35353535、38383838 題題題題 全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式、貝葉斯公式貝葉斯公式貝葉斯公式貝葉斯公式、事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性 - 21已知男人中有 00 5是色盲患者，女人中有 00 0.25是色盲患者。今從男女人數(shù)相等的人 群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問(wèn)此人是男性的概率是多少？ 解解解解 令事件 a=隨機(jī)地選一人是女性，對(duì)立事件a=隨機(jī)地選一人是男性。

20、因?yàn)槿巳褐?男女人數(shù)相等，所以 1 ( )( ) 2 p ap a=，且 a，a是樣本空間的一個(gè)劃分。事件 c=隨機(jī) 地挑選一人恰好是色盲。已知 0.255 (), () 100100 p c ap c a= 由全概率公式，得 ( )( ) ()( ) () 10.2515 0.02625 21002100 p cp a p c ap a p c a=+ =+= 由貝葉斯公式，得 15 ( ) () () 2100 ()0.9524 ( )( )0.02625 p a p c a p ac p a c p cp c = - 22一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為 p，若第一次

21、及格則第二次 及格的概率也為 p；若第一次不及格則第二次及格的概率為 2 p 。 （1）若至少有一次及格則 他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。 （2）若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及 格的概率。 解解解解 令事件 ai=一學(xué)生第 i 次考試及格（i=1，2） ，已知 112121 (), ()1,() () 2 p p ap p ap p a a p a a= = （1）由概率加法公式，得 121212 12121 ()()()() ()()() () p aap ap ap a a p ap ap a p a a =+ =+ 利用對(duì)立事件求概率 12 1212 121 11 2 2

22、 ()1()1() 1() () 1()1() 31 1 (1)(1) 222 p aap aap a a p a p a a p ap a a p ppp = = = = = = 顯然用后者求解簡(jiǎn)單。 （2）利用條件概率公式。 121 12 21 22 2 2 () ()() () ()() 2 (1)1 2 p a p a ap a a p a a p ap a pp pppp = = + - 35如果一危險(xiǎn)情況 c 發(fā)生時(shí)，一電路閉合并發(fā)出警報(bào)，我們可以借用兩個(gè)或多個(gè)開(kāi)關(guān)并聯(lián) 以改善可靠性，在 c 發(fā)生時(shí)這些開(kāi)關(guān)每一個(gè)都應(yīng)閉合，且若至少一個(gè)開(kāi)關(guān)閉合了，警報(bào)就發(fā) 出。如果兩個(gè)這樣的開(kāi)關(guān)聯(lián)聯(lián)

23、接，它們每個(gè)具有 0.96 的可靠性（即在情況 c 發(fā)生時(shí)閉合的 概率） ，問(wèn)這時(shí)系統(tǒng)的可靠性（即電路閉合的概率） ，是多少？如果需要有一個(gè)可靠性至少為 0.9999 的系統(tǒng),則至少需要用多少只開(kāi)關(guān)并聯(lián)?設(shè)各開(kāi)關(guān)閉合與否是相互獨(dú)立的。 解解解解 利用事件的獨(dú)立性。 令事件 i a=第 i 只開(kāi)關(guān)閉合。已知 12 ()()0.96p ap a=。令事件 b=電路閉合。 兩只開(kāi)關(guān)并聯(lián)聯(lián)接，則 12 baa=，即至少有一只開(kāi)關(guān)閉合，電路就閉合。而 12 aa與相互 獨(dú)立，所以電路閉合的概率為 121212 1212 2 ( )()()()() ()()() () 0.960.96(0.96)0.99

24、84 p bp aap ap ap a a p ap ap a p a =+ =+ =+= 這種解題思路是讀者容易想到的.另一種解法是利用對(duì)立事件,計(jì)算此較簡(jiǎn)單. 1212 12 12 2 ( )()1() 1() 1() () 1 0.040.9984 p bp aap aa p a a p a p a = = = = = 設(shè)需要 n 只開(kāi)關(guān)并聯(lián),才保證系統(tǒng)可靠性為 0.9999。 令事件 i a=第 i 只開(kāi)關(guān)閉合 （i=1， 2， ， n） 。 令事件 c=電路閉合， 則 12n caaa=。 如果用概率加法公式表示( )pc= 將是相當(dāng)麻煩的，不妨表示為 1 12 1 1111 223

25、3 ( )() ()()()( 1)() 0.96(0.96)(0.96)( 1)(0.96) n n nn n iijijki iij nij k ni n nn p cp aaa p ap a ap a a apa ncc = = =+ =+ 已知( )0.9999p c =，解 n 實(shí)際上是很難辦到的。 如果用對(duì)立事件表示( )p c，顯然比較簡(jiǎn)單，即 12 12 12 ( )1()1() 1() ()() 1 (0.04) n n n n p cp aaap a aa p a p ap a = = = = 已 知1 0.040.9999 n ， 即1 0.040.0001 n ， 兩

26、邊 取 以 e 為 底 的 對(duì) 數(shù) ， 得 1 (0.04)1 (0.0001) nn n，則 1 (0.0001)9.2103 2.86 1 (0.04)3.2189 n n n = 故至少需要 3 只開(kāi)關(guān)并聯(lián)聯(lián)接。 此題表明對(duì)立事件及德莫根律對(duì)解決實(shí)際問(wèn)題有多么重要。 - 36三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1 5,1 3,1 4。問(wèn)三人中至 少有一人能將此密碼譯出的概率是多少？ 解解解解 令事件ai=第 i 人能譯出密碼 （i=1， 2， 3） ， 且 1 1 () 5 p a =， 2 1 () 3 p a=， 3 1 () 4 p a=， b=三人中至少有一人能譯

27、出密碼與事件“密碼被譯出”是相等事件。又 123 ,a a a相互獨(dú) 立。 利用概率的加法公式和事件的獨(dú)立性。 123 123121323123 ( )() ()()()()()()() 111111111111 0.6 534535434534 p bp aaa p ap ap ap a ap a ap a ap a a a = =+ =+= 利用對(duì)立事件和事件的獨(dú)立性。 123123 123123 ( )()1() 1()1() () () 1113 1 (1) (1) (1)0.6 5345 p bp aaap aaa p a a ap a p ap a = = = = = - 38袋中

28、裝 m 只正品硬幣、n 只次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國(guó)徽） 。在袋中任取一只， 將它投擲 r 次，已知每次都得到國(guó)徽。問(wèn)這只硬幣是正品的概率為多少？ 解解解解 令事件 a=任取一只硬幣是正品,對(duì)立事件a=任取一只硬幣是次品,且 ( ), ( ) mn p ap a mnmn = + ，b=把硬幣投擲 r 次，每次都得到國(guó)徽面，令事件 i b=把 硬幣投擲 i 次，有 i 次得到國(guó)徽（i=1，2，r） 。如果硬幣是正品，則投擲一次出現(xiàn)任何 一面的概率都是 1 2 ；如果硬幣是次品，則投擲一次出現(xiàn)國(guó)徽面的概率是 1。于是 111 222 ()( ) ()( ) () 1 1 2 ()( ) (

29、)( ) () 11 1 1 22 1 ()1 2 i i i p bp a p b ap a p b a mn mnmn p bp a p b ap a p b a mn mnmn mn p b mnmn =+ =+ + =+ =+ + =+ + 則 1 ( )()1 2 1 2 r r r r mn p bp b mnmn mn mnmn =+ + =+ + 所求概率為 ( ) ()() () ( )( ) 1 2 1 2 2 r r r p a p b ap ab p a b p ap b m m mn mn mn mnmn = + = + + + 第二章第二章第二章第二章 隨機(jī)變量及其

30、分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 習(xí)題解析習(xí)題解析習(xí)題解析習(xí)題解析 第第第第 2.2.2.2.（1 1 1 1） 、） 、） 、） 、3 3 3 3、6 6 6 6、7 7 7 7、12121212、17171717 題題題題 離散型隨機(jī)變量的分布律離散型隨機(jī)變量的分布律離散型隨機(jī)變量的分布律離散型隨機(jī)變量的分布律 - 2 （1）一袋中裝有 5 只球，編號(hào)為 1，2，3，4，5。在袋中同時(shí)取 3 只，以 x 表示取出的 3 只球中的最大號(hào)碼，現(xiàn)實(shí)性出隨機(jī)變量 x 的分布律。 解解解解 隨機(jī)變量 x 的所有可能取值為 3，4，5，求取各個(gè)值的概率用古典概型。 2 2 3 5

31、2 3 3 5 2 4 3 5 11 3 5! 10 3!2! 3! 3 2!1! 4 5! 10 3!2! 4! 3 2!2! 5 5! 5 3!2! c p x c c p x c c p x c = = = 則隨機(jī)變量 x 的分布律為 x 3 4 5 k p 1 10 3 10 3 5 如果用概率函數(shù)表示，則為 2 1 3 5 k c p xk c = (3,4,5)k = - 3 設(shè)在 15 只同類型的零件中有 2 只是次品， 在其中取 3 次， 每次任取 1 只， 作不放回抽樣。 以 x 表示取出的次品的只數(shù)。 （1）求 x 的分布律； （2）畫(huà)出分布律的圖型。 解解解解 隨機(jī)變量

32、x 的所有可能值為 0，1，2，求取各個(gè)值的概率用古典概型。 （1）x 取各個(gè)值的概率分別為 03 213 3 15 12 213 3 15 21 213 3 15 13! 22 3!10! 0 15! 35 3!12! 13! 2 12 2!11! 1 15! 35 3!12! 131 2 15! 35 3!12! c c p x c c c p x c c c p x c = = = 則 x 的分布律為 x 0 1 2 k p 22 35 12 35 1 35 因?yàn)?1k p= ,所以只要求出0, 1p xp x=則2101p xp xp x= =。 x 的分布律用概率函數(shù)表示為 3 21

33、3 3 15 kk c c p xk c = (0,1,2)k = - 6 一大樓裝有 5 個(gè)同類型的供水設(shè)備。 調(diào)查表明在任一時(shí)刻 t 每個(gè)設(shè)備被使用的概率為 0.1， 問(wèn)在同一時(shí)刻 （1）恰有 2 個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？ （2）至少有 3 個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？ （3）至多有 3 個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？ （4）至多有 1 個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？ 解解解解 5 個(gè)同類型的供水設(shè)備，在任一時(shí)刻是否被使用相互獨(dú)立，而在同一時(shí)刻被使用的個(gè) 數(shù) x 服從二項(xiàng)分布 b（5，0，1） ，故用二項(xiàng)分布求解 x 取各個(gè)值，或在某個(gè)范圍內(nèi)取值的概 率。 （1）因?yàn)?x 服從二項(xiàng)分布 b（5，0

34、，1） ，分布律為 5 (0.1) (0.9) kk k p xkc = （k=0，1，2，3，4，5） 于是 225 2 5 2(0.1) (0.9)10 0.01 0.7290.0729p xc = （2） 5 5 5 3 335 3445 4555 5 555 3(0.1) (0.9) (0.1) (0.9)(0.1) (0.9)(0.5) (0.9) 10 0.001 0.81 5 0.0001 0.90.00001 0.00856 kkk k p xc ccc = = =+ =+ + = （3） 3 5 5 0 00514223332 5555 3(0.1) (0.9) (0.1)

35、(0.9)(0.1)(0.9)(0.1) (0.9)(0.1) (0.9) 0.590490328050.07290.0081 0.99954 kkk k p xc cccc = = =+ =+ = 或用對(duì)立事件求解。 5 5 5 4 445550 55 45 31314 1(0.1) (0.9) 1 (0.1) (0.9)(0.1) (0.9) 1 5 0.10.90.1 1 0.000450.0001 0.99954 kkk k p xp xp x c cc = = = = = + = + = + = 后者計(jì)算比前者簡(jiǎn)單。 （4） 5 5 5 1 1(0.1) (0.9) kkk k p

36、xc = =，顯然計(jì)算過(guò)程比較麻煩，但用對(duì)立事件求解相當(dāng) 簡(jiǎn)單。 0055 5 11110 1(0.1) (0.9)1 0.9 1 0.590490.40951 p xp xp x c = = = - 17 （1）設(shè) x 服從（0-1）分布，其分布律為 1 (1),0 kk p xkppk =，1，求 x 的 分布函數(shù)，并作出其圖形； （2）求第 1 題中的隨機(jī)變量的分布函數(shù)。 解解解解 （1）x 的分布函數(shù)為 1 ( )(1) 0, 1 1, kk k x f xp xxpp p = = 0 01 x x x （2）第 1 題中隨機(jī)變量 x 的分布律為 x 3 4 5 k p 1 10 3

37、10 3 5 x 的分布函數(shù)為( )f xp xx=，求法如下。 當(dāng)3x時(shí)，則 ( )0f xp xx= 當(dāng)34x時(shí)，則 ( )30.1f xp xxp x= 當(dāng)45x時(shí)，則 ( )340.10.30.4f xp xxp xp x=+=+= 當(dāng)5x 時(shí)，則 ( )3451f xp xxp xp xp x=+=+= 綜合表示為 0, 1 , 10 ( ) 134 , 101010 133 1, 10105 f x = += += 3 34 45 5 x x x x 第第第第 1 1 1 19 9 9 9、21212121、27272727、34343434、35353535、36363636 題

38、題題題 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 - 19以 x 表示某商店從早晨開(kāi)始營(yíng)業(yè)起直到第一個(gè)顧客到達(dá)的等待時(shí)間（以分計(jì)） ，x 的分 布函數(shù)是 0.4 1, ( ) 0, x e fx x = 0 0 x x 求下述概率： （1）p至多 3 分鐘； （2）p至少 4 分鐘； （3）p3 分鐘至 4 分鐘之間； （4）p至多 3 分 鐘或至少 4 分鐘； （5）p恰好 2.5 分鐘。 解解解解 （1） 0.4 31.2 3(3)110.6988 x p xp

39、ee = = = （2） 0.4 4 4141(4)0.2019 x p xp xfe = = = （3） 0.4 40.4 3 3443 (4)(3)1(1) 0.0993 xx pxp xp x ffee = = = （4） 0.4 30.4 4 341(1) 0.69880.20190.9007 p xp xee += + =+= （5）0.250p x =。 - 21設(shè)隨機(jī)變量 x 的概率密度為 （1） 2 2(1 1), ( ) 0, x f x = 1 2x 其它 （2） , ( )2, 0, x f xx = 01 12 x x 其它 求x的分布函數(shù)( )f x，并畫(huà)出（2）中的

40、( )f x及( )f x的圖形。 解解解解 （1）當(dāng)1x 時(shí)，f（x）=0；當(dāng)12x時(shí)，則 1 2 1 1 2 1 1 ( )( )02(1) 11 2(1)2() 2 24 xx x x f xf t dtdtdt t dtt tt x x =+ =+ =+ 當(dāng)2x 時(shí)，f（x）=1。綜合表示為 0, 2 ( )24, 1, f xx x =+ 1 12 2 x x x （2）當(dāng)0 x 時(shí)，f（x）=0；當(dāng)01x時(shí)，則 0 2 0 1 ( )( )0 2 xx f xf t dtdttdtx =+= 當(dāng)12x時(shí)，則 01 01 1 2 1 01 22 ( )( ) 0(2) 11 (2)(

41、2) 22 1111 2221 2222 x x x x f xf t dt dttdtt dt tdtt dttt xxxx = =+ =+=+ =+= + 當(dāng)2x 時(shí)，f（x）=1。綜合表示為 2 2 0, 1 , 2 ( ) 1 21 2 1, x f x xx = + 0 01 12 2 x x x x - 27某地區(qū) 18 歲女青年的血壓（收縮壓，以 mmhg 計(jì)）服從 n（110， 2 12） 。在該地區(qū)任選 一 18 歲的女青年，測(cè)量她的血壓 x。 （1）求105, 100120p xpx。 解 設(shè)女青年的血壓為 x，則 2 (110,12 )xn，由此得 110 (0,1) 1

42、2 x n （1） 110105 110 105 1212 55 ()1() 1212 1(0.4167) 1 0.66280.3372 x p xp = = = = = = 100 110110120 110 100120 121212 51105 () 6126 555 ( )()2( ) 1 666 2(0.833) 12 0.7967 10.5934 x pxp x p = =，用對(duì)立事件得 10.05, 0.95 110110 0.95 1212 p xxp xx xx p 查表得 110 1.645 12 x ，解出129.74x ，則 x 的最小值為 129.74。 第第第第 3

43、3333333、題題題題 隨機(jī)變量的函數(shù)分布隨機(jī)變量的函數(shù)分布隨機(jī)變量的函數(shù)分布隨機(jī)變量的函數(shù)分布 - 33設(shè)隨機(jī)變量 x 的分布律為 x -2 -1 0 1 3 k p 1 5 1 6 1 5 1 15 11 30 求 2 yx=的分布律。 解 2 yx=的所有可能取值為 0，1，4，9，取各個(gè)值的概率分別為 2 2 2 2 1 000 5 1111 117 61530 4421 1 2 5 9933 11 3 30 p yp xp x p yp xp xp x p yp xp xp x p x p yp xp xp x p x = = += =+= = += = = = += = 于是 y

44、 的分布律為 y 0 1 4 9 k p 1 5 7 30 1 5 11 30 此題 y 與 x 不一一對(duì)應(yīng)，x 取值為-1，1 對(duì)應(yīng) y 取值為 1，這時(shí)1p y=等于 11p xp x= =與之和。 用表格表示 y 在的分布律時(shí)，通常 y 取值從小到大排序，看起來(lái)比較整齊。 - 34 設(shè)隨機(jī)變量 x 在（0，1）上服人均勻分布。 （1）求 x ye=的概率密度； （2）求21ynx= 的概率密度。 解 x 的概率密度為 1, ( ) 0, x fx 01x 其它 首先求 y 的分布函數(shù)，然后求 y 的概率密度。 （1）設(shè)( ) y fy為 y 的分布函數(shù)，( ) y fy為 y 的概率密度

45、。 當(dāng)1y時(shí)，( ) y fy=0；當(dāng)1ye時(shí)，則 1 0 ( )11 ny x y fyp yyeyp xnydxny= 當(dāng)ye時(shí)，( ) y fy=1。綜合表示為 0, ( )ln , 1, y fyy = 1 1 y ye ye 于是 y 的概率密度為 1 , ( ) ( ) 0, y y dfy yfy dy = 1ye 其它 （2）當(dāng)0y時(shí)，( ) y fy=0；當(dāng)0y 時(shí)，則 2 2 1 2 ( ) 21 1 y y y y e fyp yypnxy p xe dxe = = = 綜合表示為 2 0, ( ) 1 y y fy e = 0 0 y y 由此可見(jiàn)，y 服從參數(shù)為 1

46、2 的指數(shù)分布。 直接求 y 的概率密度( ) y fy。 （1）因?yàn)?x ye=對(duì)應(yīng)的函數(shù) x ye=是嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù)，可以應(yīng)用教材中的定理求解。 x ye=的反函數(shù)為1xny=，又 1dx dyy =，當(dāng)1ye時(shí)，則 1 ( )(1) yx dx fyfny dyy = 綜合表示為 1 , ( ) 0, y yfy = 1ye 其它 隨機(jī)變量 y 的取值范圍根據(jù) x 的取值范圍 （01x）和函數(shù) x ye=來(lái)確定。當(dāng)ay - 35 設(shè) xn （0， 1） 。 （1） 求 x ye=的概率密度； （2） 求 2 21yx=+的概率密度； （3）yx= 的概率密度。 解 x 的概率密度為 2

47、 2 1 ( ) 2 x y fye = ()x （2）當(dāng)1y 時(shí)，( ) y fy=0；當(dāng)1y時(shí)，則 22 2 2 11 2222 1 0 2 ( )21 11 22 11 2 22 y yyxx y fyp yypxy yy p xp x edxedx =+ = = 于是 y 的概率密度為 1 4 1 , ( ) ( )2(1) 0, y y y e dfy fyy dy = 1 1 y y （3）當(dāng)0y時(shí)，( )0 y fy=；當(dāng)0y 時(shí)，則 22 22 0 ( ) 11 2 22 y xx yy y fyp yyp xy edxedx = = 于是 y 的概率密度為 2 2 2 ( )

48、, ( ) 0, y y y dfye fy dy = 0 0 y y 直接求 y 的概率密度( ) y fy。 （1） x ye=對(duì)應(yīng)的函數(shù) x ye=是嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù)，其反函數(shù)為1xny=，又 1dx dyy =，則 y 的概率密度為 2 (1) 2 1 , ( ) 2 0, ny y e fy y = 0 0 y y （2） 2 21yx=+對(duì)應(yīng)的函數(shù) 2 21yx=+是非單調(diào)函數(shù)，分成兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，當(dāng)0 x時(shí)， 則 1 2 y x = ，當(dāng)0 x時(shí)， 1 2 y x = 。于是當(dāng)1y 時(shí)，有 11 44 1 4 11 ( )()() 22 1111 22221 1 2(1) yxx yy y yydx fyff dy ee y e y =+ =+ = 當(dāng)1y 時(shí)，( ) y fy=0。綜合表示為 1 4 1 , ( )2(1) 0, y y e fyy = 1 1 y y (3) yx=對(duì)應(yīng)的函數(shù)yx=是非單調(diào)函數(shù),分成兩個(gè)單調(diào)區(qū)間,其反函數(shù)xy= ,又 1 dx dy = ，當(dāng)0y 時(shí)，( )0 y fy=；當(dāng)0y時(shí)，則 22 22 22 ( )1 2 yy y fyee = 綜合表示為