三角形的重心(1).ppt

1、三角形的重心,高中數(shù)學(xué) 毛 維,播種行為，收獲習(xí)慣！,主要內(nèi)容： 一、 三角形重心的定義 二、 重心的五個(gè)重要性質(zhì) 三、 三角形的五“心”簡(jiǎn)介,連接AD,BE,交于點(diǎn)O，,O點(diǎn)即為ABC的重心.,如圖所示：在ABC中， 點(diǎn)D、E分別是BC、 AC的中點(diǎn).,A,B,C,D,E,重心的定義,三角形的三條中線交于一點(diǎn),這點(diǎn)稱為三角形的重心,重心分中線之比為2:1. 即 AO:OD=2:1,A,B,C,D,E,O,取EC中點(diǎn)H，連接DH,可證 AO：OD= 2:1,重心性質(zhì)1,重心性質(zhì)2,連接CO并延長，交AB于F,根據(jù)性質(zhì)1，可以證明,過點(diǎn)D作DG/CF ，交AB于G,三角形的三中線必然交于一點(diǎn).

2、此點(diǎn)恰是重心.,故F為AB中點(diǎn).,AF:FG=2:1,FG:GB=1:1,分別延長中線，可交對(duì)邊的中點(diǎn).,易知：SAOB= 2SBOD= SBOC,重心性質(zhì)3,B,C,O,A,由中線向量的性質(zhì)：,？,如果O為ABC的重心，那么,重心性質(zhì)4,B,C,O,A,D,E,F,重心向量常見變化形式：,（2）,（3）中線AD上的點(diǎn)P滿足：,（1）,B,C,O,A,N,M,連接AO,因?yàn)镸、O、N三點(diǎn)共線,可得,所以,重心性質(zhì)5,，,則 .,，,，,設(shè)直線l過重心O，交AB、AC于點(diǎn)M、N，,B,C,A,N,M,它的逆命題也成立！,則直線l必過ABC的,重心,C,【友情鏈接】,1. （2010年湖北卷）已知

3、ABC和點(diǎn)M滿足,，若存在實(shí)數(shù)m使得,成立，則,（ ）,A2B,C3 D6,解析：,【補(bǔ)充內(nèi)容】,三角形“五心”向量形式的充要條件：,設(shè)O為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，角A,B,C所對(duì)的邊長分別為a,b,c,則,（1） O為重心 （三條中線的交點(diǎn)）,（2） O為垂心（三條垂線的交點(diǎn)）,（3） O為外心（中垂線交點(diǎn)，外接圓圓心）,（4） O為內(nèi)心（角平分線交點(diǎn)，內(nèi)切圓圓心）,（5） O為A旁心 （旁切圓圓心，A平分線與兩外角平分線交點(diǎn)）,(1)(2)(3)?？迹?(4)(5)只作了解 .,【友情鏈接】 2.（2009寧夏海南卷）已知O,N,P在ABC所在平面內(nèi)，且 ， ，,，則O,N,P依次是ABC的,A.重心 外心 垂心,C.外心 重心 垂心,D.外心 重心 內(nèi)心,B.重心 外心 內(nèi)心,答案：(C),解析：,提示： 連GA,【課后思考】：1設(shè)G為ABC的重心， M、N分別為AB、CA的中點(diǎn)， 求證：四邊形GMAN和GBC的面積相等,G,AMG的面積=GBM的面積， GAN的面積=GNC的面積,【課后思考】 2.已知A,B,C三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)O滿足,，下列結(jié)論正確的是（ ）,A.,C.,D.,B.,提示：,小結(jié),1.重心的定義,2.重心五個(gè)性質(zhì)及其變化形式,3.“五心