§15-7,8 波函數(shù) 一維定態(tài)問題.ppt

1、薛定諤（Schrdinger 18871961） 奧地利物理學家。概率波動力學的創(chuàng)始人，提出描述微觀粒子運動的薛定諤方程。1933年獲諾貝爾物理學獎。,15-7 波函數(shù) 薛定諤方程,為此要尋找能夠反映微觀粒子波粒二象性、并能描述其運動方程，這個方程就是薛定諤方程。,微觀粒子具有波粒二象性，其運動不能用經(jīng)典的坐標、動量、軌道等概念來精確描述。,經(jīng)典力學中描述宏觀物體運動的基本方程是牛頓第二定律，對微觀粒子不能適用。,一、波函數(shù),薛定諤方程的解，描述微觀粒子運動狀態(tài)物理量。,沿x方向傳播平面簡諧波波函數(shù),用復數(shù)形式表示,對于微觀粒子，,沿 x 軸運動、能量 E、動量 p 的自由粒子對應的平面物質(zhì)波

2、波函數(shù)應為,若粒子為三維自由運動，波函數(shù)可表示為,愛因斯坦為了解釋光子（光量子）的波粒二象性，把光波的強度解釋為光子出現(xiàn)的概率密度。,波函數(shù)的物理意義：某一時刻，在空間某點附近發(fā)現(xiàn)實物粒子的概率正比于粒子波函數(shù)絕對值的平方。,光強,光強大的地方，光子數(shù)目多,在時刻 t、空間 點處，體積元 dV 中發(fā)現(xiàn)微觀粒子的概率為,稱為粒子概率分布函數(shù)或稱概率密度,是 共軛復數(shù),波函數(shù)應滿足的條件,1. 自然條件：單值、有限和連續(xù),2. 歸一化條件,粒子出現(xiàn)在dV 體積內(nèi)的概率為,粒子在空間各點的概率總和應為 l，,2. 將波函數(shù)在空間各點的振幅同時增大D倍，則粒子在空間的分布概率將 (A) 增大D2倍 (

3、B) 增大2D倍 (C) 增大D倍 (D) 不變,答案D,答案A,3. 已知粒子在一維矩形無限深勢阱中運動，其波函數(shù)為： ( - axa ) 那么粒子在x = 5a/6處出現(xiàn)的概率密度為 (A) 1/(2a) (B) 1/a (C) (D) ,4. 已知粒子在無限深勢阱中運動，其波函數(shù)為 求發(fā)現(xiàn)粒子的概率為最大的位置,當 時， 有最大值 在0 xa范圍內(nèi)可得,5.在一維無限深方勢阱中，求得粒子的波函數(shù)， 則當 粒子處于 時，發(fā)現(xiàn)粒子概率最大的位置 為 ； 時，發(fā)現(xiàn)粒子概率最大 的位置為 。,二、薛定諤方程,微觀粒子具有波粒二象性，其運動不能用經(jīng)典的坐標、動量、軌道等概念來精確描述，應用薛定諤方

4、程進行描述。,1. 自由粒子的薛定諤方程,自由粒子波函數(shù)：,對波函數(shù)偏微分得：,由,2. 在勢場中粒子的薛定諤方程,對處于保守力場U(x, t) 中的粒子：,薛定諤方程變?yōu)?推廣到三維勢場中：,拉普拉斯算符,薛定諤方程又寫為,薛定諤方程描述非相對論實物粒子在勢場中的狀態(tài)隨時間的變化，反映了微觀粒子的運動規(guī)律。,一維定態(tài)薛定諤方程,U 與 t 無關，U=U(x)，用分離變量法得：,3.一維定態(tài)不含時薛定諤方程,E: 粒子能量 ; (x): 定態(tài)波函數(shù)，描寫的粒子的狀態(tài)定態(tài)。,說明,定態(tài)特點: 概率密度在空間上的分布穩(wěn)定.,15.8 一維無限深方勢阱中的粒子,0 x a 區(qū)域， U (x) = 0

5、定態(tài)薛定諤方程為,x,0 a,U( x ),勢能函數(shù),0 x 或 x a 區(qū)域U (x) = ,令:,根據(jù)波函數(shù)的連續(xù)性:,歸一化后:,能量量子化，能級，量子數(shù),2.粒子在勢阱內(nèi)出現(xiàn)概率密度分布,粒子在0到a范圍內(nèi)出現(xiàn)概率處處相等。,量子觀點：,當n很大時,量子概率分布就接近經(jīng)典分布,經(jīng)典觀點：,例：一維無限深方勢阱中粒子的波函數(shù) 試求粒子處于n=3的狀態(tài)時，在x=0到x=a/3之間找到粒子的概率。,解：概率密度為:,粒子處于n=3的狀態(tài)時，在x=0到x=a/3之間找到粒子的概率:,例3：設質(zhì)量為m 的微觀粒子處在寬為a 的一維無限深方勢阱中,求：(1)粒子在 0 x a/4 區(qū)間中出現(xiàn)的概率

6、, 并對n = 1 和n =的情況算出概率值。(2) 在哪些量子態(tài)上, a/4 處的概率密度最大?,解：(1) 概率密度,粒子在 0 x a/4 區(qū)間中出現(xiàn)的概率,（2）a/4 處的概率密度,極大值對應,n = 2，6，10， 等量子態(tài)。,二、勢壘穿透*,1. “半無限深方勢阱”中的粒子。勢阱的勢能函數(shù)：,勢能函數(shù),U ( x ) = U0 x a （區(qū)）,U ( x ) = x 0 （區(qū) ）,U ( x ) = 0 0 x a （區(qū)）,x 0 區(qū)域U (x) = ,0 x a 區(qū)域 U (x) = 0,令,x a 區(qū)域 U (x) =U0,令:,根據(jù)波函數(shù)的連續(xù)、有界條件則D=0。,粒子的波

7、函數(shù)和概率密度,2.勢壘穿透,經(jīng)典理論：,1.E U0的粒子， 能越過。,2.E U0的粒子，不能越過。,量子理論：,1.E U0 的粒子，也存在被彈回的概率 反射波。,2.E U0 的粒子，也可能越過勢壘到達另一區(qū) 隧道效應。,隧道效應,3.越過勢壘的概率與下式成正比：,掃描隧道顯微鏡(STM),原理： 利用電子的隧道效應。,金屬樣品外表面有一層電子云，電子云的密度隨著與表面距離的增大呈指數(shù)形式衰減，將原子線度的極細的金屬探針靠近樣品，并在它們之間加上微小的電壓，其間就存在隧道電流，隧道電流對針尖與表面的距離極其敏感，如果控制隧道電流保持恒定，針尖在垂直于樣品方向的變化，就反映出樣品表面情況。,4