二、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù).ppt

1、定義1,設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其概率分布為,如果級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂，則稱該級(jí)數(shù)為,隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記作EX。如果級(jí),的數(shù)學(xué)期望不存在。,1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,2.連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,定義2,設(shè)X ，如果廣義積 分,絕對(duì)收斂，則稱該積分為 隨機(jī)變量X的,是絕對(duì)收斂，則稱隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期,望不存在。,也就是說(shuō),連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè),絕對(duì)收斂的積分.,常見(jiàn)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,區(qū)間(a,b)上的 均勻分布,E(),N(, 2),3.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),設(shè) 均為常數(shù),則有:,性質(zhì)2,性質(zhì)1,性質(zhì)3,性質(zhì)4,性質(zhì)5,性質(zhì)6 設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有,4.隨機(jī)變量函數(shù)的

2、數(shù)學(xué)期望,定理1 設(shè)隨機(jī)變量Y是隨機(jī)變量X的函數(shù),且EY存在，則,(1) 若隨機(jī)變量X是離散型的,且若 X,定理2,上一講我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué),但是在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是,二、方差,是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征.,期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，,不夠的.,例如,甲、乙兩門(mén)炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā),你認(rèn)為哪門(mén)炮射擊效果好一些呢?,甲炮射擊結(jié)果,乙炮射擊結(jié)果,因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近 .,炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：,1.基本概念,定義1 設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望存在，稱,注 由于E(X-EX) = EX-EX = 0，因此隨機(jī),X-EX為隨機(jī)變量X 的離差。,學(xué)期望的

3、偏離程度。,離差平方的數(shù)學(xué)期望來(lái)描述隨機(jī)變量X與數(shù),變量的偏差有正有負(fù)相互抵消，為此我們用,為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征,用它來(lái),度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度.,這個(gè)數(shù)字特征就是我們這一講要介紹的,方差,定義2 設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望存在，稱,為隨機(jī)變量X 的方差，記作DX。,即,采用平方是為了保證一切 差值X-E(X)都起正面的作用,X為離散型， P(X=xk)=pk,注 1）方差是隨機(jī)變量X的函數(shù)g(X)=X-E(X)2,X為連續(xù)型， Xf(x),的數(shù)學(xué)期望 .,5）方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué),期望的離散程度 .,方差越小，說(shuō)明隨機(jī)變量X的取值越密集在,4）方差是一個(gè)常量；

4、,3）稱方差的算術(shù)平方根 稱為標(biāo)準(zhǔn)差；,2）,數(shù)學(xué)期望EX附近；而方差較大 ，則X的取值比,較分散.,2. 計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式,D(X)=EX2-E(X)2,展開(kāi),證：D(X)=EX-E(X)2,=EX2-2XE(X)+E(X)2,=EX2-2E(X)2+E(X)2,=EX2-E(X)2,利用期望 性質(zhì),2）EX；3）DX.,1張，標(biāo)有數(shù)字2及3的卡片各有2張，從袋中,例1 袋中有5張卡片，其中標(biāo)有數(shù)字1的卡片有,大數(shù)字，求1）隨機(jī)變量X的概率分布；,解：1）X的所有可能取值為2，3，,例2 設(shè)R.V X服從幾何分布，概率函數(shù)為,P(X =k) = p ( 1-p ) k-1, k =1,

5、2,其中0 p 1,求 D X.,解：,記q =1-p,求和與求導(dǎo) 交換次序,無(wú)窮遞縮等比 級(jí)數(shù)求和公式,DX =EX2-(EX)2,+EX,例2 設(shè)X ,求EX；DX.,解：,3. 方差的性質(zhì),設(shè) 為常數(shù)；則：,證明:,證明:,證明:,證明:,5) 若 X , Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有,可推廣為：若 相互獨(dú)立，則,證明：,4.常見(jiàn)隨機(jī)變量的方差的計(jì)算,(1)二項(xiàng)分布,設(shè)X B (n, p),特別地X服從0-1分布 ,則,(2)泊松分布,(3)均勻分布,(5)指數(shù)分布,(6)正態(tài)分布,常見(jiàn)隨機(jī)變量的方差,區(qū)間(a,b)上的 均勻分布,E(),N(, 2),例 1 設(shè)X ，判定,隨機(jī)變

6、量X的方差不存在。,X的方差一定不存在；而X的方差不存在，X的數(shù),由此說(shuō)明：隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望不存在，則,學(xué)期望未必不存在。,解：,所以隨機(jī)變量X的方差不存在。,證,例2,例3 已知X ,Y 相互獨(dú)立，且都服從 N (0,0.5), 求 E( | X Y | ),解,故,例4,求 EY , DY,解,標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量,為 X 的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量. 顯然，,僅知隨機(jī)變量的期望與方差并不能確定其分布, 例如：,與,它們有相同 的期望,方差 但是分布 卻不同,但若已知分布的類型及期望和方差，常能 確定分布,例5 已知 X 服從正態(tài)分布, EX = 1.7, DX = 3, Y = 1 2 X , 求

7、Y 的密度函數(shù),解,例6 已知 X 的密度函數(shù)為,其中 A ,B 是常數(shù)，且 EX = 0.5,求 A ,B 設(shè) Y = X 2, 求 EY ,DY,解 (1),(2),前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，對(duì)于多維隨機(jī)向量，反映分量之間關(guān)系的數(shù)字特征中，最重要的，就是下面要討論的,三、二維隨機(jī)向量的協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),定義1 設(shè)X與Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，且EX，EY均,的協(xié)方差，記作,（一）協(xié)方差,1.基本概念,因此,方差是協(xié)方差的特例 協(xié)方差刻畫(huà)兩個(gè)隨機(jī)變量之間的“某種”關(guān)系,2.簡(jiǎn)單性質(zhì),a , b是常數(shù),3. 計(jì)算協(xié)方差的一個(gè)簡(jiǎn)單公式,由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得,即,可見(jiàn)，若X與Y獨(dú)

8、立，則,定理1 若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則,是不相關(guān)的。否則稱X與Y有(線性)相關(guān)關(guān)系.,4. 隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系,若 兩兩獨(dú)立,，上式化為,例5 設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)等可能地取(-2,0),(0,-2),獨(dú)立？X與Y是否線性相關(guān)？,(2,0),(0,2)四個(gè)點(diǎn)，試判斷X與Y是否相互,協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身度量單位的影響. 例如：,為了克服這一缺點(diǎn)，對(duì)協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了相關(guān)系數(shù) .,(二) 相關(guān)系數(shù),為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù) .,定義3 設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)向量,它們的方差D(X),在不致引起混淆時(shí)，記 為 .,D(Y)

9、存在,且D(X)0, D(Y)0,稱,證明: 由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知,對(duì)任意實(shí)數(shù)k,有,D(Y-kX)= k2DX+DY-2k Cov (X,Y )0,則,這是一個(gè)關(guān)于k的一個(gè)二次多項(xiàng)式,則必有,即,故,注 X和Y獨(dú)立時(shí)， =0，但其逆不真.,故,= 0,由于當(dāng)X和Y獨(dú)立時(shí)，,定理3 如果隨機(jī)變量Y是隨機(jī)變量X的線性函數(shù)，,即,從上述定理可以知道：相關(guān)系數(shù)刻劃了X和Y,是描述隨機(jī)變量X與Y之間線性相關(guān)程度,當(dāng),X與Y之間具有完全的線性相關(guān).且,稱X 與Y 之間存在正相關(guān)關(guān)系，當(dāng),越接近1,認(rèn)為X 與Y 的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，,稱X 與Y 之間存在負(fù)相關(guān)關(guān)系，當(dāng),程度較弱。,注意: 相關(guān)系數(shù)是隨機(jī)變量之間線性關(guān)系強(qiáng)弱,的一個(gè)度量(參見(jiàn)如下的示意圖).,求 Cov (X ,Y ), XY,解,二維正態(tài)分布,定義1 若二維隨機(jī)變量 的聯(lián)合概率密度為,稱上述的 為二維正態(tài)概率密度.,也就是說(shuō),二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍然為正態(tài)分布,而且其邊緣分布不依賴于參數(shù) .因此可以斷定參數(shù) 描述了 與 之間的某種關(guān)系!,二維正態(tài)分布的5個(gè)參數(shù)的概率意義是：,定理1 二維隨機(jī)向量(X，Y)服從正態(tài)分布，則X,不相關(guān)的。,與Y相互獨(dú)立的充分必要條件是：X與Y是,注意：一