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文檔簡介
1、第6講對數與對數函數,知 識 梳 理,1.對數的概念 一般地,如果a(a0,a1)的b次冪等于n,即abn,那么數b叫作以a為底n的對數,記作_.其中a叫作對數的底數,n叫作真數. 2.對數的性質、換底公式與運算性質 (1)對數的性質:alogan_;logaabb(a0,且a1) (2)對數的運算法則 如果a0且a1,m0,n0,那么,n,loganb,loga(mn)_; loga _; logamn_(nr); loga mmn logam(m,nr,且m0). (3)對數的重要公式 換底公式:_(a,b均大于零且不等于1); logab ,推廣logablogbclogcd_.,log
2、amlogan,logamlogan,nlogama,logad,3.對數函數及其性質 (1)概念:函數ylogax(a0,且a1)叫做對數函數,其中x是自變量,函數的定義域是(0,). (2)對數函數的圖像與性質,(0,),r,(1,0),y0,y0,y0,y0,增函數,減函數,4.反函數 指數函數yax(a0,且a1)與對數函數_(a0,且a1)互為反函數,它們的圖像關于直線_對稱.,ylogax,yx,診 斷 自 測,解析(1)log2x22log2|x|,故(1)錯. (2)形如ylogax(a0,且a1)為對數函數,故(2)錯. (4)當x1時,logaxlogbx,但a與b的大小不
3、確定,故(4)錯. 答案(1)(2)(3)(4),2.已知函數yloga(xc)(a,c為常數,其中a0,且a1)的圖像如圖,則下列結論成立的是(),a.a1,c1 b.a1,01 d.00,即logac0,所以0c1. 答案d,答案d,4.(2015浙江卷)若alog43,則2a2a_.,答案(1)a(2)20,規(guī)律方法(1)在對數運算中,先利用冪的運算把底數或真數進行變形,化成分數指數冪的形式,使冪的底數最簡,然后正用對數運算法則化簡合并. (2)先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算,然后逆用對數的運算法則,轉化為同底對數真數的積、商、冪再運算. (3)abnblogan(a0,且a
4、1)是解決有關指數、對數問題的有效方法,在運算中應注意互化.,答案(1)a(2)1,考點二對數函數的圖像及應用 【例2】 (1)(2017鄭州一模)若函數ya|x|(a0,且a1)的值域為y|y1,則函數yloga|x|的圖像大致是(),解析(1)由于ya|x|的值域為y|y1,a1,則ylogax在(0,)上是增函數,又函數yloga|x|的圖像關于y軸對稱. 因此yloga|x|的圖像應大致為選項b.,(2)如圖,在同一坐標系中分別作出yf(x)與yxa的圖像,其中a表示直線在y軸上截距. 由圖可知,當a1時,直線yxa與ylog2x只有一個交點.,答案(1)b(2)a1,規(guī)律方法(1)在
5、識別函數圖像時,要善于利用已知函數的性質、函數圖像上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項. (2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖像問題,利用數形結合法求解.,【訓練2】 (1)函數y2log4(1x)的圖像大致是(),解析(1)函數y2log4(1x)的定義域為(,1),排除a、b; 又函數y2log4(1x)在定義域內單調遞減,排除d.,答案(1)c(2)b,考點三對數函數的性質及應用(多維探究) 命題角度一比較對數值的大小 【例31】 (2016全國卷)若ab0,0cb,答案b,答案c,命題角度三對數型函數的性質 【例33】 已知函數f(x)lo
6、ga(3ax). (1)當x0,2時,函數f(x)恒有意義,求實數a的取值范圍; (2)是否存在這樣的實數a,使得函數f(x)在區(qū)間1,2上為減函數,并且最大值為1?如果存在,試求出a的值;如果不存在,請說明理由.,解(1)a0且a1,設t(x)3ax, 則t(x)3ax為減函數, x0,2時,t(x)的最小值為32a, 當x0,2時,f(x)恒有意義,,規(guī)律方法(1)確定函數的定義域,研究或利用函數的性質,都要在其定義域上進行. (2)如果需將函數解析式變形,一定要保證其等價性,否則結論錯誤. (3)在解決與對數函數相關的比較大小或解不等式問題時,要優(yōu)先考慮利用對數函數的單調性來求解.在利用
7、單調性時,一定要明確底數a的取值對函數增減性的影響,及真數必須為正的限制條件.,【訓練3】 (1)設alog32,blog52,clog23,則() a.acb b.bca c.cba d.cab (2)已知函數f(x)loga(8ax)(a0,且a1),若f(x)1在區(qū)間1,2上恒成立,則實數a的取值范圍是_.,思想方法 1.對數值取正、負值的規(guī)律 當a1且b1或00; 當a1且01時,logab0. 2.利用單調性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題,其基本方法是“同底法”,即把不同底的對數式化為同底的對數式,然后根據單調性來解決.,3.比較冪、對數大小有兩種常用方法:(1)數形結合;(2)找中間量結合函數單調性. 4.多個對數函數圖像比較底數大小的問題,可通過比較圖像與直線y1交點的橫坐標進行判定.,易錯防范 1.在對數式中,真數必須是大于0的,所以對數函數ylogax的定義域應為(0,).對數函數的單調性取決于底數a與1的大小關系,當底數a與1的大小關系不確定時,要分01兩種
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