高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 函數(shù)圖象教案 新人教A版_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

1、函數(shù)圖象一、高考要求 給出函數(shù)的解析式或由條件求出函數(shù)的解析式,判斷函數(shù)的圖象;給出函數(shù)的圖象求解析式;給出含有參數(shù)的解析式和圖象,求參數(shù)的值或范圍;考查函數(shù)圖的平移、對(duì)稱(chēng)和翻折;和數(shù)形結(jié)合有關(guān)問(wèn)題等函數(shù)的圖象是函數(shù)的直觀體現(xiàn),運(yùn)用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)非常方便函數(shù)的圖象正成為高考命題的熱點(diǎn)之一二、兩點(diǎn)解讀 重點(diǎn):已知解析式判斷函數(shù)圖象或已知圖象判斷解析式中參數(shù)的范圍;函數(shù)圖的平移、對(duì)稱(chēng)和翻折;從基本函數(shù)的圖象變換到復(fù)合函數(shù)的圖象等難點(diǎn):利用函數(shù)性質(zhì)識(shí)圖;和數(shù)形結(jié)合有關(guān)問(wèn)題二基礎(chǔ)知識(shí)(一)、函數(shù)圖象的三大基本問(wèn)題1作圖:函數(shù)圖象是函數(shù)關(guān)系的直觀表達(dá)形式,是研究函數(shù)的重要工具,是解決很多函數(shù)問(wèn)

2、題的有力武器作函數(shù)圖象有兩種基本方法:描點(diǎn)法:其步驟是: 列表 (尤其注意特殊點(diǎn),零點(diǎn),最大值最小值,與坐標(biāo)軸的交點(diǎn))、 描點(diǎn)、 連線 圖象變換法作函數(shù)圖象的基本方法是: 討論函數(shù)的定義域及函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性; 考慮是否可由基本初等函數(shù)的圖象變換作出圖象; 準(zhǔn)確描出關(guān)鍵的點(diǎn)線(如圖象與x、y軸的交點(diǎn),極值點(diǎn)(頂點(diǎn)),對(duì)稱(chēng)軸,漸近線,等等).作函數(shù)圖像的一般步驟是:(1)求出函數(shù)的定義域;(2)化簡(jiǎn)函數(shù)式;(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(如奇偶性、周期性、單調(diào)性)以及圖像上的特殊點(diǎn)、線(如極值點(diǎn)、漸近線、對(duì)稱(chēng)軸等);(4)利用基本函數(shù)的圖像畫(huà)出所給函數(shù)的圖像。2識(shí)圖:對(duì)于給定的函數(shù)的圖象,要能從圖象的左

3、右、上下分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱(chēng)性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性,注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系 3用圖:函數(shù)的圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì),為研究數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性,它是探求解題途徑、獲得問(wèn)題結(jié)果的重要工具要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法 (二)、圖象變換的四種形式1平移變換有:水平平移:yf(xa)(a0)的圖象,可由yf(x)的圖象向 左或右 平移 a 個(gè)單位而得到豎直平移:yf(x)b(b0)的圖象,可由yf(x)的圖象向 上或下 平移 b 個(gè)單位而得到2對(duì)稱(chēng)變換主要有:yf(x)與yf(x),yf(x)與yf(x),yf(x)與yf(x),yf1(x)與y

4、f(x),每組中兩個(gè)函數(shù)圖象分別關(guān)于 y軸 、 x 軸 、 原點(diǎn)、 直線y=x 對(duì)稱(chēng);若對(duì)定義域內(nèi)的一切x均有f(xm)f(mx),則yf(x)的圖象關(guān)于 直線x=m 對(duì)稱(chēng);yf(x)與y2bf(2ax)關(guān)于 點(diǎn)(a,b)成中心對(duì)稱(chēng)3伸縮變換主要有:yaf(x)(a0)的圖象,可將yf(x)的圖象上每點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸(a1時(shí))縮(a0)的圖象,可將yf(x)的圖象上每點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸(a1時(shí))到原來(lái)的 .4翻折變換主要有:y|f(x)|,作出yf(x)的圖象,將圖象位于 的部分以 為對(duì)稱(chēng)軸翻折到 ;yf(|x|),作出yf(x)在 右邊的部分圖象,以 為對(duì)稱(chēng)軸將其翻折到左邊得yf(|x|)在 左邊的部

5、分的圖象(三)、圖象對(duì)稱(chēng)性的證明及常見(jiàn)結(jié)論1圖象對(duì)稱(chēng)性的證明證明函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性,歸結(jié)為任意點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性證明.即證明其圖象上的任意一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心(或?qū)ΨQ(chēng)軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)仍在圖象上證明曲線與的對(duì)稱(chēng)性,即要證明上任一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心(或?qū)ΨQ(chēng)軸)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在上,反之亦然注意分清是一個(gè)函數(shù)自身是對(duì)稱(chēng)圖形,還是兩個(gè)不同的函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng).2有關(guān)結(jié)論若f(ax)f(bx),xR恒成立,則yf(x)的圖象關(guān)于x 成軸對(duì)稱(chēng)圖形;函數(shù)yf(ax)與函數(shù)yf(bx)的圖象關(guān)于直線x (ba)對(duì)稱(chēng);若函數(shù)f(x)關(guān)于xm及xn對(duì)稱(chēng),則f(x)是周期函數(shù),且 是它的一個(gè)周期;若f(xa) 對(duì)xR恒成立,則f(x)是周期函數(shù),且

6、是它的一個(gè)周期三易錯(cuò)知識(shí)(一)、函數(shù)的平移變換1把yf(3x)的圖象向_平移_個(gè)單位得到y(tǒng)f(3x1)圖象答案:右(二)、函數(shù)的伸縮變換2將函數(shù)ylog3(x1)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的 ,再向右平移半個(gè)單位,所得圖象的解析式為_(kāi)答案:ylog3(2x2)(三)、函數(shù)的對(duì)稱(chēng)變換對(duì)于函數(shù)y|f(x)|與yf(|x|)一定要區(qū)分開(kāi)來(lái),前者將yf(x)處于x軸下方的圖象,翻折到x軸上方,后者將yf(x)圖象y軸左側(cè)圖象去掉作右側(cè)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)圖,后者是偶函數(shù)而前者y0.比如y|sinx|與ysin|x|.(四)、函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與周期性易混若函數(shù)yf(x)滿足下列條件,則函數(shù)具有的性質(zhì)為:f(x

7、)f(ax) ,則yf(x)關(guān)于x對(duì)稱(chēng);f(x)f(ax) ,則yf(x)以 為周期;f(x)f(ax) ,則yf(x)關(guān)于點(diǎn)( )對(duì)稱(chēng);f(x)f(ax) ,則yf(x)以 為周期3設(shè)函數(shù)yf(x)定義在實(shí)數(shù)集上,則函數(shù)yf(x1)與yf(1x)的圖象關(guān)于()A直線y0對(duì)稱(chēng)B直線x0對(duì)稱(chēng) C直線y1對(duì)稱(chēng) D直線x1對(duì)稱(chēng) 解析:作為一選擇題可采用如下兩種解法:常規(guī)求解法和特殊函數(shù)法常規(guī)求解法:因?yàn)閥f(x),xR,而f(x1)的圖象是f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位而得到的,又f(1x)f(x1)的圖象是f(x)的圖象也向右平移1個(gè)單位而得到的,因f(x)與f(x)的圖象是關(guān)于y軸(即直線x0)

8、對(duì)稱(chēng),因此,f(x1)與f(x1)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱(chēng),故選D. 特殊函數(shù)法:令f(x)x,則f(x1)x1,f(1x)1x,兩者圖象關(guān)于x1對(duì)稱(chēng),故否定A、B、C,選D.錯(cuò)誤警示:因?yàn)楹瘮?shù)是定義在實(shí)數(shù)集上且f(x1)f(1x),所以函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x0對(duì)稱(chēng),選B.這里的錯(cuò)誤主要是把兩個(gè)不同的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題混為一談,即對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中有一結(jié)論:設(shè)函數(shù)yf(x)定義在實(shí)數(shù)集上,且f(ax)f(ax),則函數(shù)f(x)關(guān)于直線xa對(duì)稱(chēng)這個(gè)結(jié)論只對(duì)于一個(gè)函數(shù)而言,而本題是關(guān)于兩個(gè)不同函數(shù)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題,若套用這一結(jié)論,必然會(huì)得到一個(gè)錯(cuò)誤的答案答案:D四回歸教材1函數(shù)y1 的圖象是() 答案:B2把函數(shù)y

9、lnx的圖象按向量a(2,3)平移得到y(tǒng)f(x)的圖象,則f(x)()Aln(x2)3Bln(x2)3 Cln(x2)3 Dln(x2)3 3為了得到函數(shù)ylg的圖象,只需把函數(shù)ylgx的圖象上所有的點(diǎn)()A向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度B向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度C向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度D向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 解析:由ylg 得ylg(x3)1,由ylgx圖象上所有的點(diǎn)向左平移3個(gè)單位,得ylg(x3)的圖象,再向下平移1個(gè)單位得ylg(x3)1的圖象故選C. 答案:C 4函數(shù)f(x) x的圖象關(guān)于()Ay軸對(duì)稱(chēng)

10、B直線yx對(duì)稱(chēng) C坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D直線yx對(duì)稱(chēng) 解析:f(x) x, f(x)x(x)f(x)f(x)是一個(gè)奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)答案:C5已知,則函數(shù)的大致圖象是() 五典例分析題型1 作圖【例1】作出下列函數(shù)的大致圖象:(1)y ; (2) y ; (3)y|log2x1|;(4)y2|x1|. 思路點(diǎn)撥首先將簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)化歸為基本的初等函數(shù),然后由基本初等函數(shù)圖象變換得到解析(1)y ,利用二次函數(shù)的圖象作出其圖象,如圖.(2)因y1 ,先作出y的圖象,將其圖象向右平移一個(gè)單位,再向上平移一個(gè)單位,即得y的圖象,如圖.(3)先作出ylog2x的圖象,再將其圖象向下平移一個(gè)單位

11、,保留x軸上及x軸上方的部分,將x軸下方的圖象翻折到x軸上方,即得y|log2x1|的圖象,如圖.(4)先作出y2x的圖象,再將其圖象在y軸左邊的部分去掉,并作出y軸右邊的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圖象,即得y2|x|的圖象,再將y2|x|的圖象向右平移一個(gè)單位,即得y2|x1|的圖象,如圖.方法技巧已知函數(shù)解析式研究函數(shù)圖象問(wèn)題,主要是將解析式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)幕?jiǎn),然后與一些熟知函數(shù)的圖象相聯(lián)系,通過(guò)各種圖象變換得到要求的函數(shù)圖象,此過(guò)程中,要善于發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性等),并用于作圖中 溫馨提示本題(2)、(3)、(4)在作平移變換時(shí)易在平移的方向上出錯(cuò)變式探究作出下列函數(shù)的大致圖象:(

12、1); (2) (3)解析:(1)作函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的圖象得到的圖象,再將圖象向上平移2個(gè)單位,可得的圖象如圖1;(2)因?yàn)閥3(x2)log33(x2)log3(x2)1. 所以可以先將函數(shù)ylog3x的圖象向左平移2個(gè)單位,可得ylog3(x2)的圖象,再作圖象關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圖象,得ylog3(x2)的圖象,最后將圖象向下平移1個(gè)單位,得ylog3(x2)1的圖象,即為y 3(x2)的圖象如圖2;(3)作y的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圖象,得y的圖象,再把x軸下方的部分翻折到x軸上方,可得到y(tǒng)|l|的圖象,如圖3.題型2 識(shí)圖【例2】函數(shù)yf(x)與函數(shù)yg(x)的圖象如圖則函數(shù)yf(x)g

13、(x)的圖象可能是() 解析從f(x)、g(x)的圖象可知它們分別為偶函數(shù)、奇函數(shù),故f(x)g(x)是奇函數(shù),排除B. 又x0時(shí),g(x)為增函數(shù)且為正值,f(x)也是增函數(shù),故f(x)g(x)為增函數(shù),且正負(fù)取決于f(x)的正負(fù),注意到x時(shí),f(x)0,則f( )g()必等于0,排除C、D.或注意到x0(從小于0趨向于0),f(x)g(x),也可排除C、D. 答案A反思?xì)w納要敏銳地從所給圖象中找出諸如對(duì)稱(chēng)性、零點(diǎn)、升降趨勢(shì)等決定函數(shù)走勢(shì)的因素,進(jìn)而結(jié)合選擇填空題,作出合理取舍變式探究(1)下列四個(gè)函數(shù)中,圖象如下圖所示的只能是() AyxlgxByxlgx Cyxlgx Dyxlgx 解析

14、:特殊值法:當(dāng)x1時(shí),由圖象知y0,而C、D中y0,而A中ylg 0,排除A,故選B. (2)設(shè)ab時(shí),y0.由數(shù)軸穿根法,從右上向左下穿,奇次穿偶次不穿可知,只有正確答案:21Oyx(3)已知函數(shù)的圖象如右圖所示,則 A B C D 題型3 函數(shù)的圖像的對(duì)稱(chēng)變換【例3】(1)函數(shù)的圖象與函數(shù)(其中a0且a1)的圖象關(guān)于()A直線yx對(duì)稱(chēng)B直線yx1對(duì)稱(chēng)C直線yx1對(duì)稱(chēng) D直線yx1對(duì)稱(chēng) 解析yax與ylogax互為反函數(shù),它們的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱(chēng)又y與分別是由與的圖象向左平移1個(gè)單位而得到,與yloga(x1)的圖象關(guān)于直線yx1對(duì)稱(chēng)故選C. (2)如果函數(shù)f(x1)是偶函數(shù),那么函數(shù)yf

15、(2x)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線()Ax1 Bx1 Cx Dx 解析yf(x1)右移一個(gè)單位得yf(x)的圖象因此,yf(x)關(guān)于x1對(duì)稱(chēng),yf(x)圖象上的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的 ,得yf(2x)的圖象,因此對(duì)稱(chēng)軸為x ,故選D. 答案D變式探究將函數(shù)的圖象按向量a平移得到函數(shù)的圖象,則()Aa(1,1) Ba(1,1) Ca(1,1) Da(1,1) 解析:向下平移1個(gè)單位,得,由向左平移1個(gè)單位得. 故向量a(1,1)答案:A變式探究設(shè)函數(shù)f(x)|x1|xa|的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱(chēng),則a的值為()A3B2 C1D1 解析:方法1:由題意可得對(duì)于xR,f(x1)f(1x)恒成立

16、,即|x2|x1a|x2|x1a|, |x2|x1a|x2|x1a|,1a2,得a3.故選A. 方法2:利用絕對(duì)值的幾何意義,知f(x)是點(diǎn)x到1、a的距離之和,由于關(guān)于x1對(duì)稱(chēng),因此,1與a關(guān)于x1對(duì)稱(chēng),所以a3. 答案:A變式探究已知函數(shù)f(x)(a0且a1)(1)證明:函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,)對(duì)稱(chēng);(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值解:(1)證明:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,任取一點(diǎn)(x,y),它關(guān)于點(diǎn)(,)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1x,1y)由已知,y,則1y1.,f(1x).1yf(1x)即函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,)對(duì)稱(chēng)(2)由(1)有1f(x)f(1

17、x)即f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1,f(1)f(2)1,f(0)f(1)1.則f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.題型4 用圖【例4】設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù) f(x) ,則關(guān)于x的方程(x)bf(x)c0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解的充要條件是 ()Ab0 Bb0且c0 Cb0且c0 Db0且c0 命題意圖本題主要考查利用圖象判斷解的個(gè)數(shù)問(wèn)題,充要條件等知識(shí)分析通過(guò)數(shù)形結(jié)合法、篩選法獲得正確答案 解析f(x)故函數(shù)f(x)的圖象如圖注意f(0)0有三個(gè)根0,1,2,且有f(x)0,令f(x)t0,則方程為btc0有實(shí)數(shù)解(t0)需滿足:b0,即b0,c0,排除B、D,(因B項(xiàng):c0

18、,D項(xiàng)b0)對(duì)于A不妨令b3,c2,則方程為3t20.解之1,2.即f(x)1,或f(x)2,由圖知有8個(gè)根,排除A.故選C.實(shí)際上當(dāng)b0.由f(x)b0,結(jié)合圖象,此時(shí)有4個(gè)根,f(x)0有根為0,1,2.共7個(gè) 變式探究(1)f(x)是定義在區(qū)間c,c上的奇函數(shù),其圖象如下圖所示令g(x)af(x)b,則下列關(guān)于函數(shù)g(x)的敘述正確的是()A若a0,則函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B若a1,0b2,則方程g(x)0有大于2的實(shí)根C若a2,b0,則函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)D若a0,b2,則方程g(x)0有三個(gè)實(shí)根 命題意圖:本題主要考查函數(shù)圖象、方程等綜合知識(shí)的運(yùn)用能力分析:認(rèn)真讀圖,從圖中尋找突破口 解析:解法一:用淘汰法,當(dāng)a0時(shí),g(x)af(x)b是非奇非偶函數(shù),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),淘汰A.當(dāng)a2,b0時(shí)

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