高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題9 數(shù)列通項(xiàng) 求和 綜合應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案

1、專題9：數(shù)列通項(xiàng)、求和、綜合應(yīng)用(兩課時(shí))班級(jí) 姓名 一、前測(cè)訓(xùn)練1(1)已知數(shù)列an中，a11，anan13n(nN且n2)，則an (2)已知數(shù)列an中，a11，an2nan1(nN且n2)，則an 答案：(1)an；（2）an22已知數(shù)列an中，a11，Snn2an(nN*)，則an 答案：an3已知數(shù)列an中，a11， anan11 (nN且n2)，則an 答案：an32()n14已知數(shù)列an中，a11， an=2an-12n (nN且n2)，則an 答案：an(2n1)2n15已知數(shù)列an中，a11， an (nN且n2)，則an 答案：an6 (1) 已知數(shù)列an中，a12a2na

2、nn2(n1)，則an (2) 已知數(shù)列an中，a1a2ann2，則an 答案：(1) an2n；(2) an7 (1) 已知數(shù)列an中，anan12n，a11 (nN*)，則an (2) 已知數(shù)列an中，anan12n，a11 (nN*)，則an 答案：(1) an；(2) an8 已知數(shù)列an中，an1，若a1，則a2014的值為 答案：9(1)數(shù)列12，124，1248，1242n的前n項(xiàng)的和為 (2)數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為 (3)數(shù)列an(2n1)3n的前n項(xiàng)的和為 (4)設(shè)f(x)，則f()f()f()f()的值為 (5)已知數(shù)列an(1)nn，則Sn 答案：(1)2n2(4n)；(

3、2)()；(3)(n1)3n13；(4)；(5) Sn10(1)數(shù)列an通項(xiàng)公式為anan2n，若an滿足a1a2a3a4a5，且anan1對(duì)n8恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 (2)已知數(shù)列an()n2，bnann2，若數(shù)列bn是單調(diào)遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 答案：(1)(17，9)；（2）111求數(shù)列an4n2()n1(nN*)的最大項(xiàng)答案：最大項(xiàng)為a9二、方法聯(lián)想1形如anan1f(n)(nN且n2)方法 疊加法，即當(dāng)nN，n2時(shí)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1形如f(n)(nN且n2)方法 用疊乘法，即當(dāng)nN*，n2時(shí)，ana1注意 n不滿足上述形式，所以需檢驗(yàn)2

4、形如含an，Sn的關(guān)系式方法 利用an，將遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為僅含有an的關(guān)系式(如果轉(zhuǎn)化為an不能解決問(wèn)題，則考慮轉(zhuǎn)化為僅含有Sn的關(guān)系式)注意 優(yōu)先考慮n1時(shí)，a1S1的情況3形如anpan1q (nN且n2) 方法化為anp(an1)形式令bnan，即得bnpbn1，轉(zhuǎn)化成bn為等比數(shù)列，從而求數(shù)列an的通項(xiàng)公式4形如anpan1f(n) (nN且n2) 方法兩邊同除pn，得=，令bn，得bnbn1，轉(zhuǎn)化為利用疊加法求bn(若為常數(shù)，則bn為等差數(shù)列)，從而求數(shù)列an的通項(xiàng)公式5形如an (nN且n2) 方法兩邊取倒數(shù)得，令bn，得bnbn1，轉(zhuǎn)化成bn為等差數(shù)列，從而求數(shù)列an的通項(xiàng)公式6形

5、如a12a2nanf(n)或a1a2anf(n) 方法 (1)列出 (nN*且n2)，兩式作差得an (nN*且n2)，而a1f(1)(2)列出 (nN*且n2)，兩式作商得an (nN*且n2)，而注意 n是否滿足上述形式須檢驗(yàn)7形如anan1f(n)或anan1f(n)形式方法 (1)列出，兩式作差得an2anf(n1)f(n)，即找到隔項(xiàng)間的關(guān)系(2)列出，兩式作商得，即找到隔項(xiàng)間的關(guān)系8歸納猜想方法 列出前幾項(xiàng)，找到數(shù)列的規(guī)律(如周期性)，利用歸納猜想得數(shù)列的項(xiàng)9形如anbn的形式 方法 分組求和法形如或等形式方法 采用裂項(xiàng)相消法形如anbn形式(其中an為等差，bn為等比)方法 采用

6、錯(cuò)位相減法首、尾對(duì)稱的兩項(xiàng)和為定值的形式方法 倒序相加法正負(fù)交替出現(xiàn)的數(shù)列形式方法 并項(xiàng)相加法10數(shù)列的單調(diào)性方法1 轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性，如利用圖象分析注意 圖象分析時(shí)，數(shù)列圖象為離散的點(diǎn)方法2 利用an1an與0的關(guān)系(或與1的關(guān)系，其中an0)判斷(或證明)數(shù)列的單調(diào)性11數(shù)列的最值方法1 利用an1an與0的關(guān)系(或與1的關(guān)系，其中an0)判斷數(shù)列的單調(diào)性方法2 若第m項(xiàng)為數(shù)列的最大項(xiàng)，則 若第m項(xiàng)為數(shù)列的最小項(xiàng)，則三、例題分析第一層次學(xué)校例1 已知數(shù)列an，bn，ann16，bn(1)n|n15|，其中nN*(1)求滿足an1|bn|的所有正整數(shù)n的集合；(2)n16，求數(shù)列中的最大項(xiàng)

7、和最小項(xiàng)；(3)記數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和為Sn，求所有滿足S2mS2n (mn)的有序整數(shù)對(duì)(m，n)答案：(1) n|n15，nN* (2)最大項(xiàng)為第18項(xiàng)，最小項(xiàng)為第17項(xiàng)2； (3)m7，n8教學(xué)建議(1)主要問(wèn)題歸類與方法：1求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)問(wèn)題：方法 利用數(shù)列的單調(diào)性，即用比較法判斷an1與an的大小方法 利用通項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性2數(shù)列中的解方程問(wèn)題：方法：利用數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式及遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于自然數(shù)n的一元或多元方程， 對(duì)于多元方程，若方程的個(gè)數(shù)不夠，往往是根據(jù)數(shù)的整除性來(lái)求解的 (2)方法選擇與優(yōu)化建議：對(duì)于問(wèn)題1，學(xué)生一般會(huì)選擇方法，因?yàn)楸绢}中通項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的函

8、數(shù)是基本函數(shù)，單調(diào)性已知，便于處理，但要注意最值點(diǎn)必須是自變量取正整數(shù)；所以選擇對(duì)于問(wèn)題2，本題中第一小問(wèn)，直接解一個(gè)含絕對(duì)值的方程，即可求得n的值；對(duì)于第三小問(wèn)，既可以去求前n項(xiàng)和，再去解二元方程S2nS2m，但顯然這樣運(yùn)算量大，而且前n項(xiàng)也不太好求，本題是將條件S2nS2m化歸為去找相鄰若干項(xiàng)(從某個(gè)奇數(shù)項(xiàng)到某個(gè)偶數(shù)項(xiàng))的和為0例2 已知數(shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù)，且對(duì)任意nN*，都有aanan2k (k為常數(shù)).(1)若k(a2a1)2，求證:a1，a2，a3成等差數(shù)列；(2)若k=0，且a2，a4，a5成等差數(shù)列，求的值；(3)已知a1a，a2b (a，b為常數(shù))，是否存在常數(shù)，使得ana

9、n2an1對(duì)任意nN*都成立?若存在.求出；若不存在，說(shuō)明理由.答案：(1) 用定義證； (2)q1或q (3)存在常數(shù)使得anan2an1對(duì)任意nN*都成立 aanan2k，aan1an1k，n2，nN* aaanan2an1an1， 即aan1an1aanan2，an0， = anan2an1 a1a，a2b，aanan2k，a3， 存在常數(shù)使得anan2an1對(duì)任意nN*都成立教學(xué)建議(1)主要問(wèn)題歸類與方法：1證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列：方法定義法：an1and(常數(shù))，nN*；等差中項(xiàng)法：2anan1an1，n2，nN*；2等比數(shù)列的子列構(gòu)成一等差數(shù)列，求公比：方法利用等差(比)數(shù)列的通

10、項(xiàng)公式，進(jìn)行基本量的計(jì)算3存在性問(wèn)題：方法假設(shè)存在，由特殊情況，求參數(shù)的值，再證明；轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的方程恒成立問(wèn)題； (2)方法選擇與優(yōu)化建議：對(duì)于問(wèn)題1，學(xué)生一般會(huì)選擇方法，因?yàn)楸绢}是研究3個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列；所以選擇對(duì)于問(wèn)題3，學(xué)生一般會(huì)選擇，對(duì)于存在性問(wèn)題，常規(guī)的方法就是先從特殊性出發(fā)探究出參數(shù)和值，再進(jìn)行證明，這樣處理思路清晰，運(yùn)算量小。所以選擇方法例3 已知數(shù)列an滿足n (nN*)，且a2=6.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn (nN*，c為非零常數(shù))，若數(shù)列bn是等差數(shù)列，記cn=，Sn=c1c2cn，求Sn.答案： (1) an=n(2n1)，nN* (2) Sn=4 教學(xué)

11、建議(1)主要問(wèn)題歸類與方法：1由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)：方法利用等差(比)數(shù)列求和公式；疊加(乘)法；構(gòu)造等差(比)數(shù)列；猜想證明2已知數(shù)列是等差數(shù)列，求參數(shù)的值：方法選特殊化，求參數(shù)的值，再證明；轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的方程恒成立問(wèn)題；3數(shù)列求和問(wèn)題：方法等差(比)數(shù)列求和；分組求和；拆項(xiàng)相消；錯(cuò)位相減；倒序相加；并項(xiàng)求和法. (2)方法選擇與優(yōu)化建議：對(duì)于問(wèn)題1，學(xué)生一般會(huì)選擇方法，因?yàn)檫f推關(guān)系形如anan1f(n)(nN且n2)，所以選擇疊加法對(duì)于問(wèn)題2，學(xué)生一般會(huì)選擇方法，因?yàn)檫x擇方法，運(yùn)算量比較小對(duì)于問(wèn)題3，學(xué)生一般會(huì)選擇，因?yàn)楸绢}通項(xiàng)是由一個(gè)等差與一個(gè)等比數(shù)列相應(yīng)項(xiàng)相乘而得，所以選擇方法第二

12、層次學(xué)校例1 已知數(shù)列an中，an1(nN*，aR，且a0)(1)若a7，求數(shù)列an中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值；(2)若對(duì)任意的nN*，都有ana6成立，求a的取值范圍答案 (1)數(shù)列an中的最大項(xiàng)為a52，最小項(xiàng)為a40.(2)10a8.教學(xué)建議(1)主要問(wèn)題歸類與方法：1求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)問(wèn)題：方法 利用數(shù)列的單調(diào)性，即用比較法判斷an1與an的大小方法 利用通項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性方法 在等差數(shù)列中，可以通過(guò)解不等式組求最大項(xiàng)ak，解不等式組求最小項(xiàng)ak2數(shù)列中的不等式恒成立問(wèn)題：方法：轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)問(wèn)題方法：分離常數(shù)后，再求最值 (2)方法選擇與優(yōu)化建議：對(duì)于問(wèn)題1，學(xué)生

13、一般會(huì)選擇方法，因?yàn)楸绢}中通項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是基本函數(shù)，單調(diào)性已知，便于處理，但要注意最值點(diǎn)必須是自變量取正整數(shù)；所以選擇本題第一小問(wèn)選擇也是比較簡(jiǎn)單的對(duì)于問(wèn)題2，學(xué)生一般會(huì)選擇方法，因?yàn)閿?shù)列通項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性已知例2 一位幼兒園老師給班上k(k3)個(gè)小朋友分糖果.她發(fā)現(xiàn)糖果盒中原有糖果數(shù)為a0,就先從別處抓2塊糖加入盒中,然后把盒內(nèi)糖果的分給第一個(gè)小朋友；再?gòu)膭e處抓2塊糖加入盒中,然后把盒內(nèi)糖果的分給第二個(gè)小朋友；以后她總是在分給一個(gè)小朋友后,就從別處抓2塊糖放入盒中,然后把盒內(nèi)糖果的分給第n(n1，2，3，k)個(gè)小朋友.如果設(shè)分給第n個(gè)小朋友后(未加入2塊糖果前)盒內(nèi)剩下的糖果數(shù)為an

14、.(1)當(dāng)k3，a012時(shí)，分別求a1，a2，a3；(2)請(qǐng)用an1表示an；令bn(n1)an，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(3)是否存在正整數(shù)k(k3)和非負(fù)整數(shù)a0，使得數(shù)列an (nk)成等差數(shù)列，如果存在，請(qǐng)求出所有的k和a0，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)a17，a26，a36 (2)an(an12)，bnn(n1)a0； (3)a00時(shí)，對(duì)于任意正整數(shù)k(k3)數(shù)列an (nk)成等差數(shù)列；教學(xué)建議(1)主要問(wèn)題歸類與方法：1由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)：方法利用等差(比)數(shù)列求和公式；疊加(乘)法；構(gòu)造等差(比)數(shù)列；猜想證明2探究數(shù)列能否構(gòu)成等差(比)數(shù)列問(wèn)題：方法由必要條件(特

15、殊情況)，求參數(shù)的值，再證明；考慮一般情形，轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的方程恒成立問(wèn)題；(2)方法選擇與優(yōu)化建議：對(duì)于問(wèn)題1，學(xué)生一般會(huì)選擇方法，因?yàn)楸绢}遞推關(guān)系符合：bn1bnf(n)；所以選擇對(duì)于問(wèn)題2，學(xué)生一般會(huì)選擇，由必要條件出發(fā)比較容易找出參數(shù)的值，并且為證明有也提供了思路。所以選擇方法本題還有變式：如果班上有5名小朋友，每個(gè)小朋友都分到糖果，求a0的最小值.例3 已知數(shù)列an滿足n (nN*)，且a2=6.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn (nN*，c為非零常數(shù))，若數(shù)列bn是等差數(shù)列，記cn=，Sn=c1c2cn，求Sn.答案:(1) an=n(2n1)，nN* (2) Sn=4 教學(xué)

16、建議(1)主要問(wèn)題歸類與方法：1由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)：方法利用等差(比)數(shù)列求和公式；疊加(乘)法；構(gòu)造等差(比)數(shù)列；猜想證明2已知數(shù)列是等差數(shù)列，求參數(shù)的值：方法選特殊化，求參數(shù)的值，再證明；轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的方程恒成立問(wèn)題；3數(shù)列求和問(wèn)題：方法等差(比)數(shù)列求和；分組求和；拆項(xiàng)相消；錯(cuò)位相減；倒序相加；并項(xiàng)求和法. (2)方法選擇與優(yōu)化建議：對(duì)于問(wèn)題1，學(xué)生一般會(huì)選擇方法，因?yàn)檫f推關(guān)系形如anan1f(n)(nN且n2)，所以選擇疊加法對(duì)于問(wèn)題2，學(xué)生一般會(huì)選擇方法，因?yàn)檫x擇方法，運(yùn)算量比較小對(duì)于問(wèn)題3，學(xué)生一般會(huì)選擇，因?yàn)楸绢}通項(xiàng)是由一個(gè)等差與一個(gè)等比數(shù)列相應(yīng)項(xiàng)相乘而得，所以選擇方法第三

17、層次學(xué)校例1：一位幼兒園老師給班上k(k3)個(gè)小朋友分糖果.她發(fā)現(xiàn)糖果盒中原有糖果數(shù)為a0,就先從別處抓2塊糖加入盒中,然后把盒內(nèi)糖果的分給第一個(gè)小朋友；再?gòu)膭e處抓2塊糖加入盒中,然后把盒內(nèi)糖果的分給第二個(gè)小朋友；以后她總是在分給一個(gè)小朋友后,就從別處抓2塊糖放入盒中,然后把盒內(nèi)糖果的分給第n(n1，2，3，k)個(gè)小朋友.如果設(shè)分給第n個(gè)小朋友后(未加入2塊糖果前)盒內(nèi)剩下的糖果數(shù)為an.(1)當(dāng)k3，a012時(shí)，分別求a1，a2，a3；(2)請(qǐng)用an1表示an；令bn(n1)an，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(3)是否存在正整數(shù)k(k3)和非負(fù)整數(shù)a0，使得數(shù)列an (nk)成等差數(shù)列，如果存在，

18、請(qǐng)求出所有的k和a0，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)a17，a26，a36 (2)an(an12)，bnn(n1)a0； (3)a00時(shí)，對(duì)于任意正整數(shù)k(k3)數(shù)列an (nk)成等差數(shù)列；教學(xué)建議(1)主要問(wèn)題歸類與方法：1由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)：方法利用等差(比)數(shù)列求和公式；疊加(乘)法；構(gòu)造等差(比)數(shù)列；猜想證明2探究數(shù)列能否構(gòu)成等差(比)數(shù)列問(wèn)題：方法由必要條件(特殊情況)，求參數(shù)的值，再證明；考慮一般情形，轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的方程恒成立問(wèn)題；(2)方法選擇與優(yōu)化建議：對(duì)于問(wèn)題1，學(xué)生一般會(huì)選擇方法，因?yàn)楸绢}遞推關(guān)系符合：bn1bnf(n)；所以選擇對(duì)于問(wèn)題2，學(xué)生一般會(huì)選擇，

19、由必要條件出發(fā)比較容易找出參數(shù)的值，并且為證明有也提供了思路。所以選擇方法本題還有變式：如果班上有5名小朋友，每個(gè)小朋友都分到糖果，求a0的最小值.例2：已知二次函數(shù)f(x)x2axa (xR)同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：不等式f(x)0的解集有且只有一個(gè)元素；在定義域內(nèi)存在0x1x2，使得不等式f(x1)f(x2)成立設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snf(n) (1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式； (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (3)設(shè)bn()，cn (nN*)，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn 答案：（1）f(x)x24x4(2)an (3)Tn，證明略教學(xué)建議(1)主要問(wèn)題歸類與方法：1求二次函數(shù)的解析式

20、問(wèn)題：方法 待定系數(shù)法，可設(shè)一般式，零點(diǎn)式與頂點(diǎn)式2求數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題：方法:利用數(shù)列的通項(xiàng)an與前n和Sn的關(guān)系，在已知Sn條件下求通項(xiàng)an利用等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式，求通項(xiàng)；構(gòu)造等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)；用累加(乘)法求通項(xiàng)3與數(shù)列有關(guān)不等式證明： 方法：將數(shù)列的項(xiàng)與和具體求出來(lái)后，再用證明不等式的方法(比較法、綜合法，分析法，反證法等)處理； 方法：利用放縮法，先去掉一些項(xiàng)(或項(xiàng)中的一部分)后，再將數(shù)列的項(xiàng)或和具體求出后，再比較 (2)方法選擇與優(yōu)化建議：對(duì)于問(wèn)題1，學(xué)生一般會(huì)選擇用待定系數(shù)法，但本題條件實(shí)際上是一個(gè)等式與一個(gè)不等式，從等式中可求出a的值，但有2個(gè)，不等式中可確定a的取值范圍，從而確定a的值，本小題的難點(diǎn)在于對(duì)條件的轉(zhuǎn)化，要求學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)有全面的認(rèn)識(shí)對(duì)于問(wèn)題2，學(xué)生一般會(huì)選擇方法，因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)已知，可由通項(xiàng)與前n項(xiàng)之間的關(guān)系來(lái)求對(duì)于問(wèn)題3，學(xué)生一般會(huì)選擇方法，因?yàn)楸?/p>