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1、第85課時(shí)課題:復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其運(yùn)算一教學(xué)目標(biāo):掌握復(fù)數(shù)的基本題型,主要是討論復(fù)數(shù)的概念,復(fù)數(shù)相等,復(fù)數(shù)的幾何表示,計(jì)算復(fù)數(shù)模,共軛復(fù)數(shù),解復(fù)數(shù)方程等。二教學(xué)重點(diǎn):復(fù)數(shù)的幾何表示,計(jì)算復(fù)數(shù)模,共軛復(fù)數(shù),解復(fù)數(shù)方程等。三教學(xué)過(guò)程:(一)主要知識(shí):1共軛復(fù)數(shù)規(guī)律,;2復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算規(guī)律(1)i=1,i=i,i=1,i=i;(3)iiii=1,iiii=0;3輻角的運(yùn)算規(guī)律(1)Arg(zz)ArgzArgz(3)Arg=nArgz(nN),n1?;騴R。要條件是|z|a|。(6)zz0,則4根的規(guī)律:復(fù)系數(shù)一元n次方程有且只有n個(gè)根,實(shí)系數(shù)一元n次方程的虛根成對(duì)共軛出現(xiàn)。5求最值時(shí),除了代數(shù)、三
2、角的常規(guī)方法外,還需注意幾何法及不等式|z|z|zz|z|+|z|的運(yùn)用。即|zz|z|+|z|等號(hào)成立的條件是:z,z所對(duì)應(yīng)的向量共線且同向。|zz|z|z|等號(hào)成立的條件是:z,z所對(duì)立的向量共線且異向。(二)范例分析.2004年高考數(shù)學(xué)題選1.(2004高考數(shù)學(xué)試題(浙江卷,6)已知復(fù)數(shù)z1=3+4i, z2=t+i, 且是實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)t=( )A B C- D-2.(2004年北京春季卷,2)當(dāng)時(shí),復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 ( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.(2004年北京卷,2)滿足條件的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是 ( C )A一條直線 B兩條直線 C圓 D
3、橢圓.主要的思想方法和典型例題分析:1化歸思想復(fù)數(shù)的代數(shù)、幾何、向量及三角表示,把復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、三角、平面幾何和解析幾何有機(jī)地聯(lián)系在一起,這就保證了可將復(fù)數(shù)問(wèn)題化歸為實(shí)數(shù)、三角、幾何問(wèn)題。反之亦然。這種化歸的思想方法應(yīng)貫穿復(fù)數(shù)的始終?!痉治觥窟@是解答題,由于出現(xiàn)了復(fù)數(shù)和,宜統(tǒng)一形式,正面求解。解法一、設(shè)zxyi(x,yR),原方程即為用復(fù)數(shù)相等的定義得:=1,=1+3i.兩邊取模,得:代入式得原方程的解是=1,=1+3i.【例2】(1993全國(guó)理)設(shè)復(fù)數(shù)z=cosisin(0【解】zcos+isin=cos4isin4即,又0,當(dāng)時(shí),或【說(shuō)明】此題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題來(lái)研究,自然、方便。【例3】設(shè)a,
4、b,x,yR+,且(r0),求證:分析令=ax+byi,=bx+ayi(a,b,x,yR+),則問(wèn)題化歸為證明:|+|r(a+b)。證明設(shè)=ax+byi,=bxayi(a,b,x,yR+),則=|(a+b)x+(ab)yi|=|(ab)(x+yi)|(ab)r。解如圖所示,設(shè)點(diǎn)Q,P,A所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為:即(x3a+yi)(i)(x3a+yi)由復(fù)數(shù)相等的定義得而點(diǎn)(x,y)在雙曲線上,可知點(diǎn)P的軌跡方程為【說(shuō)明】將復(fù)數(shù)問(wèn)題化歸為實(shí)數(shù)、三角、幾何問(wèn)題順理成章,而將實(shí)數(shù)、三角、幾何問(wèn)題化歸為復(fù)數(shù)問(wèn)題,就要有較強(qiáng)的聯(lián)想能力和跳躍性思維能力,善于根據(jù)題設(shè)構(gòu)造恰到好處的復(fù)數(shù),可使問(wèn)題迎刃而解。2分類討論
5、思想分類討論是一種重要的解題策略和方法。在復(fù)數(shù)中它能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化,從而化整為零,各個(gè)擊破。高考復(fù)數(shù)考題中經(jīng)常用到這種分類討論思想方法?!纠?】(1990全國(guó)理)設(shè)a0,在復(fù)數(shù)集C中解方程z2|z|=a。分析一般的思路是設(shè)z=xyi(x,yR),或z=r(cosisin),若由z2|z|=a轉(zhuǎn)化為z=a2|z|,則zR。從而z為實(shí)數(shù)或?yàn)榧兲摂?shù),這樣再分別求解就方便了??傊且粋€(gè)需要討論的問(wèn)題?!窘狻拷夥ㄒ粃=a2|z|R,z為實(shí)數(shù)或純虛數(shù)。問(wèn)題可分為兩種情況:(1)若zR,則原方程即為|z|+2|z|a=0,(2)若z為純虛數(shù),設(shè)z=yi(yR且y0),則原方程即為|y|2|y|a=0當(dāng)
6、a=0時(shí),|y|=2即z=2i。當(dāng)0a1時(shí),當(dāng)a1時(shí),方程無(wú)實(shí)數(shù)解,即此時(shí)原方程無(wú)純虛數(shù)解。綜上所述,原方程:當(dāng)a=0時(shí),解為z0或z=2i解法二設(shè)z=xyi,x,yR,將原方程轉(zhuǎn)化為3數(shù)形結(jié)合思想數(shù)與形是數(shù)學(xué)主要研究?jī)?nèi)容,兩者之間有著緊密的聯(lián)系和互相滲透、互相轉(zhuǎn)化的廣闊前景,復(fù)平面的有關(guān)試題正是它的具體表現(xiàn)。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想與方法解題是高考考查的熱點(diǎn)之一,應(yīng)引起注意?!纠?】已知|z|=1,且z+z1,求z?!窘狻坑蓏+z=1聯(lián)想復(fù)數(shù)加法的幾何性質(zhì),不難發(fā)現(xiàn)z,z,1所對(duì)應(yīng)的三點(diǎn)A,B,C及原點(diǎn)O構(gòu)成平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn),如圖所示,【說(shuō)明】這樣巧妙地運(yùn)用聯(lián)想思維,以數(shù)構(gòu)形,以形思數(shù),提煉和強(qiáng)
7、化數(shù)形結(jié)合的思想方法,有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。【例7】復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z,點(diǎn)B對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為,O為原點(diǎn),AOB是面積為的直角三角形,argz(0,),求復(fù)數(shù)z的值【分析】哪一個(gè)角為直角,不清楚,需要討論【解】因|OA|=|z|=|OB|,故A不可能是直角,因而可能AOB=90或ABO=90若AOB=90,示意圖如圖1所示因z與所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱,故argz=45,xOABy圖1SAOB=|OA|OB|=|z|=|z|2=于是,|z|=2,從而,z=2(cos45+isin45)=+ixOABy圖2若ABO=90,示意圖如圖2所示因z與所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱,且AOB90,故argz=4
8、5令z=r(cos+isin),則cos2=,sin2=,SAOB=|OA|OB|sin2=rr=r2=于是,r=又cos=,sin=,故z=(+i)=2+i綜上所述,z=+i或z=2+i【說(shuō)明】解題關(guān)鍵點(diǎn):正確地對(duì)直角的情況進(jìn)行分類討論,正確地理解復(fù)數(shù)的幾何意義,作出滿足條件的示意圖解題規(guī)律:復(fù)數(shù)的幾何意義來(lái)源于復(fù)數(shù)z=a+bi(a、bR)與復(fù)平面上的點(diǎn)(a,b)之間的一一對(duì)應(yīng),它溝通了復(fù)數(shù)與解析幾何之間的聯(lián)系,是數(shù)形結(jié)合思想的典型表示解題技巧:復(fù)數(shù)z與它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱這樣巧妙地以形譯數(shù),數(shù)形結(jié)合,不需要計(jì)算就解決了問(wèn)題,充分顯示了數(shù)形結(jié)合的思想方法在解題中的作用
9、。4集合對(duì)應(yīng)思想【例8】如圖所示,在復(fù)平面內(nèi)有三點(diǎn)P,P,P對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)應(yīng)的復(fù)數(shù)為a,2a,3a,且它們有相同的輻角主值(如圖所示),即A,P,P,P共線。從而2sin2因此有a=2i。5整體處理思想解復(fù)數(shù)問(wèn)題中,學(xué)生往往不加分析地用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式或三角形式解題。這樣常常給解題帶來(lái)繁瑣的運(yùn)算,導(dǎo)致解題思路受阻。因此在復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)中,有必要提煉和強(qiáng)化整體處理的思想方法,居高臨下地把握問(wèn)題的全局,完善認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu),獲得解題的捷徑,從而提高解題的靈活性及變通性?!纠?】已知z=2i,求z3zz+5z2的值。【分析】如果直接代入,顯然比較困難,將z用三角式表示也有一定的難度。從整體角度思考,可將條件轉(zhuǎn)化為(z2
10、)=(i)=1,即z4z+4=1,即z4z+5=0,再將結(jié)論轉(zhuǎn)化為z3zz+5z2=(z4z5)(zz)+2,然后代入就不困難了?!窘狻縵=2i,(z2)=(i)=1即z4z+5=0z3zz+5z2=(z4z+5)(zz)+2=2?!纠?0】已知,求?!窘狻拷庥蓷l件得【說(shuō)明】把題中一些組合式子視作一個(gè)“整體”,并把這個(gè)“整體”直接代入另一個(gè)式子,可避免由局部運(yùn)算帶來(lái)的麻煩。【例11】復(fù)平面上動(dòng)點(diǎn)z的軌跡方程為:|zz|z|,z0,另一動(dòng)點(diǎn)z滿足zz=1,求點(diǎn)z的軌跡。解由|zz|z|,知點(diǎn)z的軌跡為連結(jié)原點(diǎn)O和定點(diǎn)z的線段的垂直平分線。將此式整體代入點(diǎn)z1的方程,得的圓(除去原點(diǎn))?!纠?2】
11、設(shè)zc,a0,解方程z|z|azi=0。邊取模,得【說(shuō)明】解復(fù)數(shù)方程,可通過(guò)整體取模,化為實(shí)數(shù)方程求解。綜上所述,解答復(fù)數(shù)問(wèn)題,應(yīng)注意從整體上去觀察分析題設(shè)的結(jié)構(gòu)特征,挖掘問(wèn)題潛在的特殊性和簡(jiǎn)單性,充分利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、共軛復(fù)數(shù)與模的性質(zhì)、復(fù)數(shù)的幾何意義以及一些變形技巧,對(duì)問(wèn)題進(jìn)行整體化處理,可進(jìn)一步提高靈活、綜合應(yīng)用知識(shí)的能力。6有關(guān)最值問(wèn)題的多角度思考【例13】復(fù)數(shù)z滿足條件|z|=1,求|2zz+1|的最大值和最小值。解法一|z|=1,z=cosisin|2zz+1|=|2(cosisin)(cosisin)1|=|(2cos2cos1)(2sin2sin)i|2zz+1|=|2zz+
12、|設(shè)z的實(shí)部為a,則1a1|2zz+1|=|2az1|,|2zz+1|=4解法三:設(shè)=x+yi(x,yR),z=abi(a,br)且a+b=1,這說(shuō)明對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是如圖所示的橢圓,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求該橢圓上各點(diǎn)中與原點(diǎn)距離的最大值和最小值。時(shí)的圓的半徑。得8x2x89r0, 由相內(nèi)切條件知=0,解法四由模不等式:|2zz+1|2|z|z|+1=4,等號(hào)成立的條件是2z,z,1所對(duì)應(yīng)的向量共線且同向,可知z是負(fù)實(shí)數(shù),在|z|=1的條件下,z=-1當(dāng)z=1時(shí)|2zz+1|=4。但另一方面:|2zz+1|2|z|z|1=0,這是顯然成立的,可是這不能由此確定|2zz+1|=0,實(shí)際上等號(hào)成立的條件應(yīng)為2z,z
13、,1表示的向量共線且異向,由2z與1對(duì)應(yīng)的向量共線且異向知z=i,但是當(dāng)z=i時(shí),2z與z不共線,這表明|2zz+1|的最小值不是0。以上這種求最小值的錯(cuò)誤想法和解法是學(xué)生易犯的錯(cuò)誤,此部分內(nèi)容既為重點(diǎn)也為難點(diǎn),應(yīng)向?qū)W生強(qiáng)調(diào)說(shuō)明,并舉例,切記取等號(hào)的條件?!纠?4】2001年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(理18)已知復(fù)數(shù)z1i(1i)3()求argz1及|z|;()當(dāng)復(fù)數(shù)z滿足|z|1,求|zz1|的最大值【分析】本小題考查復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)和基本運(yùn)算,以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力【解】(),|z1|()設(shè),則當(dāng)時(shí),取得最大值,從而得到的最大值為四課后作業(yè):1、下列命題中正確的是 A方程|z+5|
14、z5i|=8的圖形是雙曲線B方程|z+5|=8的圖形是雙曲線C方程|z+5i|z5i|=8的圖形是雙曲線的兩支D方程|z+5i|z5i|=8的圖形是雙曲線靠近焦點(diǎn)F(0,5)的一支2、方程的圖形是 A圓 B橢圓 C雙曲線 D直線3、在復(fù)平面上繪出下列圖形:4、已知是虛數(shù),是實(shí)數(shù)。(1)求z對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)A的軌跡;(2)設(shè)u=3iz+1,求u對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)B的軌跡;(3)設(shè),求對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)C的軌跡。5、設(shè)A,B,C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z,z,z滿足(1)證明:ABC是內(nèi)接于單位圓的正三角形;(2)求SABC;6、若,求所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A的集合表示的圖形,并求其面積7設(shè)z1,z2是兩個(gè)虛數(shù),且z
15、1+z2=-3,|z1|+|z2|=4若1=argz1,2=argz2,求cos(1-2)的最大值8(2003年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(上海理17)已知復(fù)數(shù)z1=cosi,z2=sin+i,求|z1z2|的最大值和最小值.四、專題訓(xùn)練參考答案1、解:DA的圖形是直線,B的圖形是圓,C是圖形是雙曲線的一去故選D|z+5i|-|z-5i|=8才是雙曲線的兩支2、解:A原方程即|z(2+i)|=7故選A3、解:4、解:(1)因?yàn)閦是虛數(shù),所以,于是,即,且,因此動(dòng)點(diǎn)A軌跡是中心在原點(diǎn),半徑等于2的圓,但去掉兩個(gè)點(diǎn)(2,0)與(2,0)(2)由u=3iz+1得u1=3iz由(1)及題設(shè)知|z|=2,z2,所以|u1|=6,且u16i因此動(dòng)點(diǎn)B的軌跡是圓,中心在(1,0),半徑等于6,但去掉兩點(diǎn)(1,6)與(1,6)(3)設(shè)z=2(cos+isin),(0,)則再令v=x+yi(x,yR),則5、解:(1)由(ii)知A,B,C三點(diǎn)都在單位圓上再結(jié)合(i)得z=(z+z)
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