高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 第85課時(shí)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其運(yùn)算教案

1、第85課時(shí)課題：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其運(yùn)算一教學(xué)目標(biāo)：掌握復(fù)數(shù)的基本題型，主要是討論復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)相等，復(fù)數(shù)的幾何表示，計(jì)算復(fù)數(shù)模，共軛復(fù)數(shù)，解復(fù)數(shù)方程等。二教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的幾何表示，計(jì)算復(fù)數(shù)模，共軛復(fù)數(shù)，解復(fù)數(shù)方程等。三教學(xué)過(guò)程：（一）主要知識(shí)：1共軛復(fù)數(shù)規(guī)律，；2復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算規(guī)律（1）i=1，i=i，i=1，i=i；（3）iiii=1，iiii=0；3輻角的運(yùn)算規(guī)律（1）Arg（zz）ArgzArgz（3）Arg=nArgz（nN），n1?；騴R。要條件是|z|a|。（6）zz0，則4根的規(guī)律：復(fù)系數(shù)一元n次方程有且只有n個(gè)根，實(shí)系數(shù)一元n次方程的虛根成對(duì)共軛出現(xiàn)。5求最值時(shí)，除了代數(shù)、三

2、角的常規(guī)方法外，還需注意幾何法及不等式|z|z|zz|z|+|z|的運(yùn)用。即|zz|z|+|z|等號(hào)成立的條件是：z，z所對(duì)應(yīng)的向量共線且同向。|zz|z|z|等號(hào)成立的條件是：z，z所對(duì)立的向量共線且異向。（二）范例分析.2004年高考數(shù)學(xué)題選1.（2004高考數(shù)學(xué)試題（浙江卷，6）已知復(fù)數(shù)z1=3+4i, z2=t+i, 且是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)t=( )A B C- D-2.(2004年北京春季卷，2)當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 （ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.(2004年北京卷，2）滿足條件的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是 ( C )A一條直線 B兩條直線 C圓 D

3、橢圓.主要的思想方法和典型例題分析：1化歸思想復(fù)數(shù)的代數(shù)、幾何、向量及三角表示，把復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、三角、平面幾何和解析幾何有機(jī)地聯(lián)系在一起，這就保證了可將復(fù)數(shù)問(wèn)題化歸為實(shí)數(shù)、三角、幾何問(wèn)題。反之亦然。這種化歸的思想方法應(yīng)貫穿復(fù)數(shù)的始終?！痉治觥窟@是解答題，由于出現(xiàn)了復(fù)數(shù)和，宜統(tǒng)一形式，正面求解。解法一、設(shè)zxyi（x，yR），原方程即為用復(fù)數(shù)相等的定義得：=1，=1+3i.兩邊取模，得：代入式得原方程的解是=1，=1+3i.【例2】（1993全國(guó)理）設(shè)復(fù)數(shù)z=cosisin（0【解】zcos+isin=cos4isin4即，又0，當(dāng)時(shí)，或【說(shuō)明】此題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題來(lái)研究，自然、方便。【例3】設(shè)a，

4、b，x，yR+，且（r0），求證：分析令=ax+byi，=bx+ayi（a，b，x，yR+），則問(wèn)題化歸為證明：|+|r（a+b）。證明設(shè)=ax+byi，=bxayi（a，b，x，yR+），則=|（a+b）x+（ab）yi|=|（ab）（x+yi）|（ab）r。解如圖所示，設(shè)點(diǎn)Q，P，A所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為：即（x3a+yi）（i）（x3a+yi）由復(fù)數(shù)相等的定義得而點(diǎn)（x，y）在雙曲線上，可知點(diǎn)P的軌跡方程為【說(shuō)明】將復(fù)數(shù)問(wèn)題化歸為實(shí)數(shù)、三角、幾何問(wèn)題順理成章，而將實(shí)數(shù)、三角、幾何問(wèn)題化歸為復(fù)數(shù)問(wèn)題，就要有較強(qiáng)的聯(lián)想能力和跳躍性思維能力，善于根據(jù)題設(shè)構(gòu)造恰到好處的復(fù)數(shù)，可使問(wèn)題迎刃而解。2分類討論

5、思想分類討論是一種重要的解題策略和方法。在復(fù)數(shù)中它能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而化整為零，各個(gè)擊破。高考復(fù)數(shù)考題中經(jīng)常用到這種分類討論思想方法?！纠?】（1990全國(guó)理）設(shè)a0，在復(fù)數(shù)集C中解方程z2|z|=a。分析一般的思路是設(shè)z=xyi（x，yR），或z=r（cosisin），若由z2|z|=a轉(zhuǎn)化為z=a2|z|，則zR。從而z為實(shí)數(shù)或?yàn)榧兲摂?shù)，這樣再分別求解就方便了?？傊且粋€(gè)需要討論的問(wèn)題?！窘狻拷夥ㄒ粃=a2|z|R，z為實(shí)數(shù)或純虛數(shù)。問(wèn)題可分為兩種情況：（1）若zR，則原方程即為|z|+2|z|a=0，（2）若z為純虛數(shù)，設(shè)z=yi（yR且y0），則原方程即為|y|2|y|a=0當(dāng)

6、a=0時(shí)，|y|=2即z=2i。當(dāng)0a1時(shí)，當(dāng)a1時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解，即此時(shí)原方程無(wú)純虛數(shù)解。綜上所述，原方程：當(dāng)a=0時(shí)，解為z0或z=2i解法二設(shè)z=xyi，x，yR，將原方程轉(zhuǎn)化為3數(shù)形結(jié)合思想數(shù)與形是數(shù)學(xué)主要研究?jī)?nèi)容，兩者之間有著緊密的聯(lián)系和互相滲透、互相轉(zhuǎn)化的廣闊前景，復(fù)平面的有關(guān)試題正是它的具體表現(xiàn)。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想與方法解題是高考考查的熱點(diǎn)之一，應(yīng)引起注意?！纠?】已知|z|=1，且z+z1，求z?！窘狻坑蓏+z=1聯(lián)想復(fù)數(shù)加法的幾何性質(zhì)，不難發(fā)現(xiàn)z，z，1所對(duì)應(yīng)的三點(diǎn)A，B，C及原點(diǎn)O構(gòu)成平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，如圖所示，【說(shuō)明】這樣巧妙地運(yùn)用聯(lián)想思維，以數(shù)構(gòu)形，以形思數(shù)，提煉和強(qiáng)

7、化數(shù)形結(jié)合的思想方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。【例7】復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為，O為原點(diǎn)，AOB是面積為的直角三角形，argz(0，)，求復(fù)數(shù)z的值【分析】哪一個(gè)角為直角，不清楚，需要討論【解】因|OA|=|z|=|OB|，故A不可能是直角，因而可能AOB=90或ABO=90若AOB=90，示意圖如圖1所示因z與所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，故argz=45,xOABy圖1SAOB=|OA|OB|=|z|=|z|2=于是，|z|=2，從而，z=2(cos45+isin45)=+ixOABy圖2若ABO=90，示意圖如圖2所示因z與所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，且AOB90，故argz=4

8、5令z=r(cos+isin)，則cos2=，sin2=，SAOB=|OA|OB|sin2=rr=r2=于是，r=又cos=，sin=，故z=(+i)=2+i綜上所述，z=+i或z=2+i【說(shuō)明】解題關(guān)鍵點(diǎn)：正確地對(duì)直角的情況進(jìn)行分類討論，正確地理解復(fù)數(shù)的幾何意義，作出滿足條件的示意圖解題規(guī)律：復(fù)數(shù)的幾何意義來(lái)源于復(fù)數(shù)z=a+bi(a、bR)與復(fù)平面上的點(diǎn)(a，b)之間的一一對(duì)應(yīng)，它溝通了復(fù)數(shù)與解析幾何之間的聯(lián)系，是數(shù)形結(jié)合思想的典型表示解題技巧：復(fù)數(shù)z與它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱這樣巧妙地以形譯數(shù)，數(shù)形結(jié)合，不需要計(jì)算就解決了問(wèn)題，充分顯示了數(shù)形結(jié)合的思想方法在解題中的作用

9、。4集合對(duì)應(yīng)思想【例8】如圖所示，在復(fù)平面內(nèi)有三點(diǎn)P，P，P對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)應(yīng)的復(fù)數(shù)為a，2a，3a，且它們有相同的輻角主值（如圖所示），即A，P，P，P共線。從而2sin2因此有a=2i。5整體處理思想解復(fù)數(shù)問(wèn)題中，學(xué)生往往不加分析地用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式或三角形式解題。這樣常常給解題帶來(lái)繁瑣的運(yùn)算，導(dǎo)致解題思路受阻。因此在復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)中，有必要提煉和強(qiáng)化整體處理的思想方法，居高臨下地把握問(wèn)題的全局，完善認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，獲得解題的捷徑，從而提高解題的靈活性及變通性?！纠?】已知z=2i，求z3zz+5z2的值。【分析】如果直接代入，顯然比較困難，將z用三角式表示也有一定的難度。從整體角度思考，可將條件轉(zhuǎn)化為（z2

10、）=（i）=1，即z4z+4=1，即z4z+5=0，再將結(jié)論轉(zhuǎn)化為z3zz+5z2=（z4z5）（zz）+2，然后代入就不困難了?！窘狻縵=2i，（z2）=（i）=1即z4z+5=0z3zz+5z2=（z4z+5）（zz）+2=2?！纠?0】已知，求?！窘狻拷庥蓷l件得【說(shuō)明】把題中一些組合式子視作一個(gè)“整體”，并把這個(gè)“整體”直接代入另一個(gè)式子，可避免由局部運(yùn)算帶來(lái)的麻煩。【例11】復(fù)平面上動(dòng)點(diǎn)z的軌跡方程為：|zz|z|，z0，另一動(dòng)點(diǎn)z滿足zz=1，求點(diǎn)z的軌跡。解由|zz|z|，知點(diǎn)z的軌跡為連結(jié)原點(diǎn)O和定點(diǎn)z的線段的垂直平分線。將此式整體代入點(diǎn)z1的方程，得的圓（除去原點(diǎn)）?！纠?2】

11、設(shè)zc，a0，解方程z|z|azi=0。邊取模，得【說(shuō)明】解復(fù)數(shù)方程，可通過(guò)整體取模，化為實(shí)數(shù)方程求解。綜上所述，解答復(fù)數(shù)問(wèn)題，應(yīng)注意從整體上去觀察分析題設(shè)的結(jié)構(gòu)特征，挖掘問(wèn)題潛在的特殊性和簡(jiǎn)單性，充分利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、共軛復(fù)數(shù)與模的性質(zhì)、復(fù)數(shù)的幾何意義以及一些變形技巧，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行整體化處理，可進(jìn)一步提高靈活、綜合應(yīng)用知識(shí)的能力。6有關(guān)最值問(wèn)題的多角度思考【例13】復(fù)數(shù)z滿足條件|z|=1，求|2zz+1|的最大值和最小值。解法一|z|=1，z=cosisin|2zz+1|=|2（cosisin）（cosisin）1|=|（2cos2cos1）（2sin2sin）i|2zz+1|=|2zz+

12、|設(shè)z的實(shí)部為a，則1a1|2zz+1|=|2az1|，|2zz+1|=4解法三：設(shè)=x+yi（x，yR），z=abi（a，br）且a+b=1，這說(shuō)明對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是如圖所示的橢圓，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求該橢圓上各點(diǎn)中與原點(diǎn)距離的最大值和最小值。時(shí)的圓的半徑。得8x2x89r0， 由相內(nèi)切條件知=0,解法四由模不等式：|2zz+1|2|z|z|+1=4，等號(hào)成立的條件是2z，z，1所對(duì)應(yīng)的向量共線且同向，可知z是負(fù)實(shí)數(shù)，在|z|=1的條件下，z=-1當(dāng)z=1時(shí)|2zz+1|=4。但另一方面：|2zz+1|2|z|z|1=0，這是顯然成立的，可是這不能由此確定|2zz+1|=0，實(shí)際上等號(hào)成立的條件應(yīng)為2z，z

13、，1表示的向量共線且異向，由2z與1對(duì)應(yīng)的向量共線且異向知z=i，但是當(dāng)z=i時(shí)，2z與z不共線，這表明|2zz+1|的最小值不是0。以上這種求最小值的錯(cuò)誤想法和解法是學(xué)生易犯的錯(cuò)誤，此部分內(nèi)容既為重點(diǎn)也為難點(diǎn)，應(yīng)向?qū)W生強(qiáng)調(diào)說(shuō)明，并舉例，切記取等號(hào)的條件?！纠?4】2001年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(理18)已知復(fù)數(shù)z1i(1i)3()求argz1及|z|；()當(dāng)復(fù)數(shù)z滿足|z|1，求|zz1|的最大值【分析】本小題考查復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)和基本運(yùn)算，以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力【解】()，|z1|()設(shè)，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，從而得到的最大值為四課后作業(yè)：1、下列命題中正確的是 A方程|z+5|

14、z5i|=8的圖形是雙曲線B方程|z+5|=8的圖形是雙曲線C方程|z+5i|z5i|=8的圖形是雙曲線的兩支D方程|z+5i|z5i|=8的圖形是雙曲線靠近焦點(diǎn)F(0，5)的一支2、方程的圖形是 A圓 B橢圓 C雙曲線 D直線3、在復(fù)平面上繪出下列圖形：4、已知是虛數(shù)，是實(shí)數(shù)。(1)求z對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)A的軌跡；(2)設(shè)u=3iz+1，求u對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)B的軌跡；（3）設(shè)，求對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)C的軌跡。5、設(shè)A，B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z，z，z滿足(1)證明：ABC是內(nèi)接于單位圓的正三角形；(2)求SABC；6、若，求所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A的集合表示的圖形，并求其面積7設(shè)z1，z2是兩個(gè)虛數(shù)，且z

15、1+z2=-3，|z1|+|z2|=4若1=argz1，2=argz2，求cos(1-2)的最大值8（2003年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（上海理17）已知復(fù)數(shù)z1=cosi，z2=sin+i，求|z1z2|的最大值和最小值.四、專題訓(xùn)練參考答案1、解：DA的圖形是直線，B的圖形是圓，C是圖形是雙曲線的一去故選D|z+5i|-|z-5i|=8才是雙曲線的兩支2、解：A原方程即|z(2+i)|=7故選A3、解：4、解：（1）因?yàn)閦是虛數(shù)，所以，于是，即，且，因此動(dòng)點(diǎn)A軌跡是中心在原點(diǎn)，半徑等于2的圓，但去掉兩個(gè)點(diǎn)(2，0)與(2，0)(2)由u=3iz+1得u1=3iz由(1)及題設(shè)知|z|=2，z2，所以|u1|=6，且u16i因此動(dòng)點(diǎn)B的軌跡是圓，中心在(1，0)，半徑等于6，但去掉兩點(diǎn)(1，6)與(1，6)(3)設(shè)z=2(cos+isin)，(0，)則再令v=x+yi(x，yR)，則5、解：(1)由(ii)知A，B，C三點(diǎn)都在單位圓上再結(jié)合(i)得z=(z+z)