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文檔簡介

1、第三節(jié) 曲線的概念 3.1 曲線的概念,2、曲線 一個(gè)開直線段到三維歐氏空間內(nèi)建立的一個(gè)一一的，雙方連續(xù)的在上的映射 f （拓?fù)溆成浠蛲撸┫碌南蠼泻唵吻€段。,1、映射 給出兩個(gè)集合E ， ，法則f ，如果通過 E 中每個(gè)點(diǎn) （或元素）x ，有 中唯一的點(diǎn) 與之對(duì)應(yīng)，則說 f 為從 E 到 的映射， 為象， x為原象。 一一映射（單射）：不同元素的象不同。 在上映射（滿射）： 中元素都有原象。 雙方連續(xù)的：一個(gè)映射以及它的逆映射都連續(xù)。,例書中的開園和園柱螺線。,3.2 光滑曲線 曲線的正常點(diǎn),1、光滑曲線 如果曲線的參數(shù)表示式 中的函數(shù)是 k 階連續(xù)可微的函數(shù)，則把這曲線稱為 類 曲線。

2、類的曲線又稱為光滑曲線。,2、正常點(diǎn) 曲線上滿足一階導(dǎo)矢不為零的點(diǎn)叫曲線的正常點(diǎn)。即若t0 為曲線的正常點(diǎn)，則 由于 所以 中至少有一個(gè)不為零,3、正則曲線 若曲線上任一點(diǎn)都是正常點(diǎn)，則此曲線稱為正則曲線。,由 中至少有一個(gè)不為零 不妨設(shè) , 則在曲線的正常點(diǎn)的充分小的鄰域里， x= x (t) 在 t0 鄰近有連續(xù)可微的反函數(shù) t = t(x) , 代入 y = y(t), z = z(t) ，即得 這是曲線的另一種表示方法。,3.3 曲線的切線和法面,2、切線的方程（設(shè)曲線上的點(diǎn)都有是正常點(diǎn)） 設(shè)切線上任一點(diǎn)的徑矢為 則 設(shè) 則,3、例 求園柱螺線上一點(diǎn)處的切線。,1、切線 割線的極限 切向量,4、法面 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于 切線的平面。,5、法面的方程 設(shè) 是法面上 任一點(diǎn)，則 或,例題 求園柱螺線的法面方程,3.4 曲線的弧長 自然參數(shù),給出 類曲線（C）： 作分點(diǎn) Pi 得折線，長為 得弧長 若用 表 a 到 t 的弧長，則 這里的積分上限大于下限，所得的曲線的弧長總是正值。,弧長公式為,即可寫

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