§2.2離散型隨機(jī)變量及其分布列.ppt

1、2.2離散型隨機(jī)變量及其分布列,一、一維離散型隨機(jī)變量及分布列,二、多維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布列,一、一維離散型隨機(jī)變量及分布列 1概念 定義2.2.1 定義在樣本空間上，取值于實(shí)數(shù)域R， 且只取有限個(gè)或可列個(gè)值的變量稱為一維（實(shí)值） 離散型隨機(jī)變量，簡稱離散型隨機(jī)變量. 討論離散型隨機(jī)變量主要要搞清楚兩個(gè)方面問題: 一是隨機(jī)變量的所有可能取值；二是搞清楚隨機(jī)變量取這些可能值的概率（這是最主要的）。,例2.2.1 設(shè)袋中有五個(gè)球（3個(gè)白球2個(gè)黑球）從中任兩球，則取到的黑球數(shù)為隨機(jī)變量 的可能取值為0，1，2,則,習(xí)慣上，把它們寫成,稱它為隨機(jī)變量的分布列(律).,2分布列(律),如果離散型

2、隨機(jī)變量,可能取值為,),(,相應(yīng)的取值,的概率,為隨機(jī)變量,的分布列，也稱為分,布律，簡稱分布.,也可以用下列表格或矩陣的形式來表示，稱為隨機(jī)變量 的分布律：,稱,或,例2.2.2 在n=5的貝努里試驗(yàn)中，設(shè)隨機(jī)事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率,為p，令,=“5次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次,解:,k=0,1,2,3,4,5.,于是,數(shù)”,求,的分布列.,的分布列,3分布列的性質(zhì),由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機(jī)變量,的分布列,都具有下述性質(zhì)：,非負(fù)性：1）,規(guī)范性：2）,反過來，任意一個(gè)具有以上性質(zhì)的數(shù)列,都可以看成,量的分布列.,某一個(gè)離散型隨機(jī)變,分布列不僅明確地給出了（,）的概率，而且對(duì)于,任意

3、的實(shí)數(shù),，事,件（,）發(fā)生的概率均可由,分布列算出，因?yàn)椋?）=,于是由概率的可列可加性,其中,由此可知，離散型隨機(jī)變量取各種值的概率都可以由它的分布列，通過計(jì)算而得到，這種事實(shí)常常說成是，分布列全面的描述離散型隨機(jī)變量。,例2.2.3 設(shè)隨機(jī)變量,的分布列為,，求 c的值。,解：,的分布列為,由分布列的性質(zhì),即C,所以,注意: 求分布列中的待定常數(shù)，往往用分布列的性質(zhì)(規(guī)范性)或利用分布列自身的概率性質(zhì).,例2.2.4 一個(gè)口袋中有,只球，其中,放回地連續(xù)地取球，每次取一球，直到取到黑球時(shí)為 止，設(shè)此時(shí)取出了,個(gè)白球，求,的分布列.,只白球，無,解：,的可能取值為0,1,2.,m,注意（,=

4、i）表示第i次取出白球，第i+1 次取出黑球.,例2.2.5 拋擲一枚不均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為,(0 1),設(shè),為一直擲到正、反,的分布列.,都出現(xiàn)時(shí)所需要,的次數(shù)，求,解：,的所有可能取值為2，3,.,則,+, k=2，3,.,注意，求離散型隨機(jī)變量的概率分布的一般步驟: （1）確定隨機(jī)變量的所有可能取值； （2）確定每個(gè)可能取值的對(duì)應(yīng)的概率； （3）驗(yàn)證 是否成立 實(shí)質(zhì)上求離散型隨機(jī)變量的概率分布就是轉(zhuǎn)化為求隨機(jī)事件的概率.,4幾種常用分布,（1）退化分布,設(shè),的分布列為P( )=1 (a為常數(shù))，,則稱 服從退化布.,（2）兩點(diǎn)分布,設(shè),的分布列為,稱 服從兩點(diǎn)分布或01分布或貝努

5、里分布.,（3）二項(xiàng)分布,設(shè)隨機(jī)變量 的分布列為,顯然，（1）,（2）,稱隨機(jī)變量 服從二項(xiàng)分布,記為 b(k；n，p).,大家可以發(fā)現(xiàn)二點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布在n=1的情形.,（4）幾何分布,在貝努里試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)成功的概率為 p， 失敗的概率為q=1-p,設(shè)試驗(yàn)進(jìn)行到第 次才出現(xiàn)成功. 的分布列為,其中，,是幾何級(jí)數(shù),的一般項(xiàng)。,因此稱它為幾何分布,記為 g(k;p).,（5）泊松（Poisson）分布,觀察電信局在單位時(shí)間內(nèi)收到的呼喚次數(shù)，某公共汽車站在單位時(shí)間內(nèi)來站乘車的乘客數(shù)等?？捎孟鄳?yīng)的變量 表示，實(shí)踐表明 的統(tǒng)計(jì)規(guī)律近似地為,其中 是個(gè)常數(shù)，易驗(yàn)證：,（1）,（2）,也就是說，若 的

6、分布列為,稱,服從參數(shù)為,的泊松（Poisson）分布，記為,在很多實(shí)踐問題中的隨機(jī)變量都可以用Poisson 分布來描述. 從而使得Poisson分布對(duì)于概率論來說，有著重要的作用，而概率論理論的研究又表明Poisson分布在理論上也具有特殊重要的地位.,下面介紹Poisson分布與二項(xiàng)分布之間的關(guān)系:,定理2.2.1（Poisson定理）,在n重貝努里試驗(yàn)中，事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為 （與試驗(yàn)總數(shù)n有關(guān)）.若當(dāng) 時(shí) （ 0常數(shù)）,則有,證明略。,這個(gè)定理在近似計(jì)算方面有較大的作用，在二項(xiàng)分布列中，要計(jì)算b(k;n,p)= ，當(dāng)n和k都比較大時(shí)，計(jì)算量比較大。,若此時(shí)np 不太大（即p

7、較小），那么由Poisson定理就有,而要計(jì)算 有Poisson分布表可查.,b(k;n;p),其中,例2.2.6. 已知某中疾病的發(fā)病率為1/1000，某單位共 有5000人，問該單位患有這種疾病的人數(shù)超過5的 概率為多大？ 解：設(shè)該單位患這種疾病的人數(shù)為 ,則 其中b(k;5000,1/1000)= 這時(shí)如果直接計(jì)算 ，計(jì)算量較大。由于n很大，p較小，而np=5不很大 ，,可以利用 Poisson定理,查Poisson分布表得：,于是，,例2.2.7 由該商店過去的銷售記錄知道，某中商品每月銷售數(shù)可以用參數(shù)的Poisson分布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某

8、種商品多少件？,解：設(shè)該商店每月銷售某種商品 件，月底的進(jìn)貨為a件.則當(dāng)（ ）時(shí),就不會(huì)脫銷。因而按題意要求為,查Poisson分布表得,又 ，所以,于是這家商店只要在月底進(jìn)貨某種商品15件（假定上月沒有存貨）就可以以95%的把握保證這種商品在下個(gè)月不會(huì)脫銷.,5離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù) 設(shè) 為一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它的分布列為 則 的分布函數(shù)為,對(duì)離散型隨機(jī)變量，用得較多的還是分布列.,例2.2.8 若 服從退化分布即 ，則 的分布函數(shù)為,例2.2.9 若,服從兩點(diǎn)分布,求,的分布函數(shù),.,解： 當(dāng) 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)，,的分布列為,例2.2.10 設(shè),求,的分布函數(shù),.,解： 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)

9、，,；,當(dāng),時(shí)，,當(dāng),于是,注意 從上面例子可以看到，在已知分布列的情況下,可 利用公式 求分布函數(shù),要對(duì)自變量的 取值進(jìn)行討論。 是一階梯狀的左連續(xù)函數(shù)，在 處有跳躍，其躍度為 在 處的概率.同樣,利用分布函數(shù)與概率的關(guān)系,也可以在已知分布函數(shù)的情況下得到分布列.,例2.2.11 設(shè)隨機(jī)變量 的分布函數(shù)為,求 的分布列。,解: 依題意可得 的可能取值為-1，1，3,所以 的分布列為,二、多維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布列,1.概念 定義2.2.2 設(shè) 是樣本空間 上的n 個(gè)離散型隨機(jī)變量，則稱n維向量 是 上的一個(gè)n維離散型隨機(jī)變量或n維隨機(jī)向量。 對(duì)于n維隨機(jī)變量而言，固然可以對(duì)它的每一個(gè)分

10、 量分別研究，但我們可以將它看成一個(gè)向量，則不 僅要研究各個(gè)分量的性質(zhì)，而且更重要的是要考慮 它們之間的聯(lián)系. 下面主要討論二維離散型隨機(jī)變量.,定義2.2.3 設(shè)（,）是二維離散型隨機(jī)變量，它們,稱 = ， 為二維隨機(jī),變量（ ）的聯(lián)合分布列。,的一切可能取值為（ ）， ，,注意： =,與一維時(shí)的情形相似，人們也常常習(xí)慣于把二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布用下面表格形式表示：,2聯(lián)合分布的性質(zhì),容易證明二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布具有下面的性質(zhì)：,1）非負(fù)性： ， ，,2）規(guī)范性：,3邊際分布（邊緣分布）,定義2.3.4 設(shè)（ ）為二維離散隨機(jī)變量，它,們的每一個(gè)分量,的分布稱為關(guān)于（ ）的邊際

11、分,布，記為 與,若（ )的聯(lián)合分布列為 ，,事實(shí)上，因?yàn)?則,所以,同理可得，,由此可以發(fā)現(xiàn)，由聯(lián)合分布列可以唯一確定邊際分布，反之，由邊際分布不能唯一確定聯(lián)合分布（反例在下面舉）。,大家可以發(fā)現(xiàn)，邊際分布列的求法只須在聯(lián)合分布列 的右方加了一列，它將每一行中的 相加而得出 ，這就是 的邊際分布列；相應(yīng)的在 下面增加一行，它把每一列中的 對(duì)i相加而得到 ，恰好就是 的邊際分布列，這也是年紀(jì)分布列名稱的來歷，即：,例2.2.12 設(shè)把三個(gè)相同的球等可能地放入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子中，記落入第1號(hào)中球的個(gè)數(shù)為 ，,落入第2號(hào)盒子中球的個(gè)數(shù)為 ，求（ ）的聯(lián)合,分布列及 的邊際分布列。,解：,

12、的可能取值為,（首先確定（ ）,的所有可能取值（ i,j）,然后利用第一章的知識(shí)計(jì)算概率,.,當(dāng)i+j3時(shí)，,=,；,所以（ ）的聯(lián)合分布列及邊際分布列如下表:,表1,例2.2.13 把3個(gè)白球和3個(gè)紅球等可能地放入編號(hào)為1.2.3的三個(gè)盒子中，記落入第1號(hào)的盒子中的白球個(gè)數(shù)為 ，落入第2號(hào)盒子中的紅球的個(gè)數(shù)為 ,求（ ）的聯(lián)合分布列和邊際分布列。,解：,的可能取值為（ ）,如表2所示.,比較上面兩個(gè)例子可以發(fā)現(xiàn)兩者有完全相同的邊際分布列，而聯(lián)合分布列卻不同，由此可知邊際分布列不能唯一確定聯(lián)合分布列，也就是說二維隨機(jī)變量的性質(zhì)并不能由它的兩的分量的個(gè)別性質(zhì)來確定，這時(shí)還必須考慮它們之間的聯(lián)系，

13、由此也就說明了研究多維隨機(jī)變量的作用。,表2,三、離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性,由離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)及多維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)的定義。離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性也可以采用如下定義：,定義2.2.5 設(shè)隨機(jī)變量 的可能取值為,的可能取值為,，如果對(duì)任意的 有：,成立 ，則稱隨機(jī)變量 與 相互獨(dú)立。,兩個(gè)隨機(jī)變量 與 相互獨(dú)立，也就意味 與 的取值之間互不影響.,定理2.2.1 設(shè) 是二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合分布律為 的邊際分布為,則 相互獨(dú)立的充要條件是對(duì)任意,由上述定理可知，要判斷兩個(gè)隨機(jī)變量 的獨(dú)立性，只需求出它的各自的邊際分布，再看是對(duì) 的,每一對(duì)可能取值點(diǎn)，邊際分布列的乘積都等于聯(lián)合分 布列即可.若其中有一對(duì)值不滿足這個(gè)條件，則,與 不獨(dú)立。,例2.2.14 袋中裝有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，現(xiàn)進(jìn)行有放回（無放回）摸球，每次從中任取一只，取兩次，令：,求( ) 的聯(lián)合分布列與邊際分布列，并判定,的獨(dú)立性,解: 無放回,則 的聯(lián)合分布列為如表3所示：,表3,有放回：,的聯(lián)合分布列為：,表4,當(dāng)采取無放回取球時(shí)，因?yàn)?，而,，所以，,故 不相互獨(dú)立。,當(dāng)采取有放回取球時(shí)，因?yàn)閷?duì) 所有可能取值,都有,故 相互獨(dú)立。,隨機(jī)變量的獨(dú)立性可以推廣到多