第二節(jié) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法.ppt

1、鐵嶺師范高等?？茖W(xué)校 理工學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室,第二節(jié) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法,正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列有界.,正項(xiàng)級(jí)數(shù) 各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).,這是因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列sn是單調(diào)增加的, 而單調(diào)有界數(shù)列是有極限.,定理1(正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件),鐵嶺師范高等?？茖W(xué)校 理工學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室,定理2(比較審斂法),推論,鐵嶺師范高等?？茖W(xué)校 理工學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室,解,定理2(比較審斂法),設(shè)un和vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且unkvn(k0, nN). 若級(jí)數(shù)vn收斂, 則級(jí)數(shù)un收斂; 若級(jí)數(shù)un發(fā)散, 則級(jí)數(shù)vn發(fā)散.,鐵嶺師范高等?？茖W(xué)校 理工學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室,設(shè)un

2、和vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且unkvn(k0, nN). 若級(jí)數(shù)vn收斂, 則級(jí)數(shù)un收斂; 若級(jí)數(shù)un發(fā)散, 則級(jí)數(shù)vn發(fā)散.,p級(jí)數(shù)的收斂性,證:,定理2(比較審斂法),例2 證明級(jí)數(shù) 是發(fā)散的.,因?yàn)?而級(jí)數(shù)發(fā)散 ,故所給級(jí)數(shù)發(fā)散,鐵嶺師范高等?？茖W(xué)校 理工學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室,定理3(比較審斂法的極限形式),解,鐵嶺師范高等專科學(xué)校 理工學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室,解:,定理3(比較審斂法的極限形式),例4 判別級(jí)數(shù) 的斂散性.,因?yàn)?而級(jí)數(shù) 發(fā)散 故所給級(jí)數(shù)發(fā)散,鐵嶺師范高等?？茖W(xué)校 理工學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室,定理4(比值審斂法 達(dá)朗貝爾判別法),解：,收斂 當(dāng)1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 當(dāng)1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能

3、發(fā)散,例5 用比值審斂法判定級(jí)數(shù) 的收斂性 。,級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為 因?yàn)?所以 根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)發(fā)散,鐵嶺師范高等?？茖W(xué)校 理工學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室,所以 根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂,解 ：,定理4(比值審斂法 達(dá)朗貝爾判別法),收斂 當(dāng)1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 當(dāng)1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散,例6 用比值審斂法判定級(jí)數(shù) 的收斂性 。,因?yàn)?鐵嶺師范高等?？茖W(xué)校 理工學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室,提示:,所以 根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂,解,定理4(比值審斂法 達(dá)朗貝爾判別法),收斂 當(dāng)1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 當(dāng)1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散,鐵嶺師范高等?？茖W(xué)校 理工學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室,定理5(根值審斂法 柯西判別法),所以 根據(jù)根值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂,因?yàn)?解,收斂 當(dāng)1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 當(dāng)1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散,例8 用根值審斂法判定級(jí)數(shù) 的收斂性.,鐵嶺師范高等?？茖W(xué)校 理工學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室,定理5(根值審斂法 柯西判別法),所以當(dāng)ba時(shí)級(jí)數(shù)收斂 當(dāng)ba時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散,因?yàn)?解:,收斂 當(dāng)1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 當(dāng)1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散,例9 用根值審斂法判定級(jí)數(shù) 其中ana(n) an b a 均為正數(shù) 的收斂性.,鐵嶺師范高等?？茖W(xué)校 理工學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室,定理6(極限審斂法),因?yàn)?解:,根據(jù)極限審斂法 知所