復變函數(shù) 5.1.ppt

1、1,第五章 留數(shù),1 孤立奇點,2,函數(shù)不解析的點為奇點.如果函數(shù)f(z)雖在z0不解析, 但在z0的某一個去心鄰域0|z-z0|d內(nèi)處處解析, 則z0稱為f(z)的孤立奇點.,3,4,將函數(shù)f(z)在它的孤立奇點z0的去心鄰域內(nèi)展開成洛朗級數(shù). 根據(jù)展開式的不同情況對孤立奇點作分類.,5,1. 可去奇點 如果在洛朗級數(shù)中不含z-z0的負冪項, 則孤立奇點z0稱為f(z)的可去奇點.這時, f(z)在z0的去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)實際上就是一個普通的冪級數(shù):c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.由于,6,所以不論f(z)原來在z0是否有定義, 如果令f(z0)=c0, 則在圓域|z-z

2、0|d內(nèi)就有 f(z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n+.,從而函數(shù)f(z)在z0就成為解析的了. 由于這個原因, 所以z0稱為可去奇點.,7,8,2. 極點 如果在洛朗級數(shù)中只有有限多個z-z0的負冪項, 且其中關于(z-z0)-1的最高冪為(z-z0)-m, 即f(z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+. (m1, c-m0),則孤立奇點z0稱為函數(shù)f(z)的m級極點. 上式也可寫成,其中 g(z)=c-m+c-m+1(z-z0)+c-m+2(z-z0)2+. 在|z-z0|d內(nèi)是解析的函數(shù), 且g(z0

3、)0.,9,反過來, 當任何一個函數(shù)f(z)能表示為(5.1.1)的形式, 且g(z0)0時, 則z0是f(z)的m級極點.如果z0為f(z)的極點, 由(5.1.1)式, 就有,10,3. 本性奇點 如果在洛朗級數(shù)中含有無窮多個z-z0的負冪項, 則孤立奇點z0稱為f(z)的本性奇點.,中含有無窮多個z的負冪項.,11,我們可以利用上述極限的不同情形來判別孤立奇點的類型.,12,4.函數(shù)的零點與極點的關系 不恒等于零的解析函數(shù)f(z)如果能表示成f(z)=(z-z0)mj(z),(5.1.2)其中j(z)在z0解析且j(z0)0, m為某一正整數(shù), 則z0稱為f(z)的m級零點.例如當f(z

4、)=z(z-1)3時, z=0與z=1是它的一級與三級零點, 根據(jù)這個定義, 我們可以得到以下結(jié)論:如f(z)在z0解析, 則z0是f(z)的m級零點的充要條件是f(n)(z0)=0, (n=0,1,2,.,m-1), f(m)(z0)0 (5.1.3),13,例如z=1是f(z)=z3-1的零點, 由于f (1)=3z2|z=1=30, 從而知z=1是f(z)的一級零點.,14,由于(5.1.2)中的j(z)在z0解析, 且j(z0)0, 因而它在z0的鄰域內(nèi)不為零. 這是因為j(z)在z0解析, 必在z0連續(xù),所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心鄰域內(nèi)不為零, 即不恒為零的解析

5、函數(shù)的零點是孤立的.,15,這個定理為判斷函數(shù)的極點提供了一個較為簡單的方法.,16,17,18,2. 復球面,N,S,O,x,y,P,z,19,除了復數(shù)的平面表示方法外, 還可以用球面上的點來表示復數(shù).取一個與復平面切于原點z=0的球面, 球面上的一點S與原點重合. 通過S作垂直于復平面的直線與球面相交于另一點N. 稱N為北極, S為南極.對復平面內(nèi)任一點z, 用直線將z與N相連, 與球面相交于P點, 則球面上除N點外的所有點和復平面上的所有點有一一對應的關系, 而N點本身可代表無窮遠點, 記作.這樣的球面稱作復球面.,20,關于的四則運算作如下規(guī)定:加法: a+=+a= (a)減法: a-

6、=-a= (a)乘法: a=a= (a0),21,5. 函數(shù)在無窮遠點的性態(tài) 如果函數(shù)f(z)在無窮遠點z=的去心鄰域R|z|內(nèi)解析, 稱點為f(z)的孤立奇點.,22,23,規(guī)定, 如果t=0是j(t)的可去奇點, m級極點或本性奇點, 則稱點z=是f(z)的可去奇點, m級極點或本性奇點.由于f(z)在R|z|+內(nèi)解析, 所以在此圓環(huán)域內(nèi)可以展開成洛朗級數(shù), 根據(jù)(4.4.5)與(4.4.8),C為R|z|+內(nèi)繞原點任何一條簡單正向閉曲線,24,如果在級數(shù)(5.1.6)中i)不含負冪項, ii)含有有限多的負冪項, 且t-m為最高冪, iii)含有無窮多的負冪項, 則t=0是j(t)的i)

7、可去奇點,ii)m級極點, iii)本性奇點.,25,因此, 在級數(shù)(5.1.5)中, i)不含正冪項;ii)含有限多的正冪項, 且zm為最高冪;iii)含有無窮多的正冪項;則z=是f(z)的i)可去奇點;ii)m級極點;iii)本性奇點.,26,27,28,29,例2 函數(shù),在擴充平面內(nèi)有些什么類型的奇點? 如果是極點, 指出它的極. 解 易知, 函數(shù)f(z)除使分母為零的點z=0, 1, 2, 外, 在|z|+內(nèi)解析. 由于(sinpz) = pcospz在z=0, 1, 2, 處均不為零, 因此這些點都是sinpz的一級零點, 從而是(sinpz)3的三級零點. 所以這些點中除去1,-1,2外都是f(z)的三級極點.,30,因z2-1=(z-1)(z