等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及綜合應用精品課件

1、1,第34講 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及綜合應用,2,掌握等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)：如（）“成對”和或積相等問題；（）等差數(shù)列求和S2n-1與中項an；能靈活運用性質(zhì)解決有關問題.如分組求和技巧、整體運算.總之，等差數(shù)列考性質(zhì)，等比數(shù)列考定義。,3,A.4 B.3 C.2 D.1,C,解析,4,B,解析,5,B,解析,6,20,解析,7,5.已知數(shù)列an、bn分別為等差、等比數(shù)列，且a1=b10，a3=b3，b1b3，則一定有a2 b2，a5 b5（填“”“”“=”).,(方法一)由中項性質(zhì)和等比數(shù)列性質(zhì)知b10，b30，又b1b3， a2= = =|b2|，故a2b2； 同理，a5=2a3-a1

2、，b5= ， 所以b5-a5= -(2b3-b1)= = 0, 即b5a5.,解析,8,(方法二)通項與函數(shù)關系. 因為an=dn+(a1-d)為關于n的一次函數(shù)，bn=a1qn-1= qn為關于n的類指數(shù)函數(shù). 當d0，如圖1；當db2，a5b5.,9,1.等差數(shù)列的性質(zhì) (1)當公差d0時,等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是關于n的一次函數(shù),且斜率為公差d;前n項和Sn=na1+ = n2+(a1- )n是關于n的二次函數(shù)，且常數(shù)項為0. (2)若公差 ，則為遞增等差數(shù)列，若公差 ,則為遞減等差數(shù)列,若公差 ,則為常數(shù)列.,d0,d0,d=0,10,(3)當m+n

3、=p+q時,則有 ,特別地,當m+n=2p時，則有am+an=2ap. (4)若an是等差數(shù)列，則kan(k是非零常數(shù))，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n，也成等差數(shù)列，而aan(a0)成等比數(shù)列；若an是等比數(shù)列，且an0，則lgan是等差數(shù)列. (5)在等差數(shù)列an中，當項數(shù)為偶數(shù)2n時;S偶-S奇= ;項數(shù)為奇數(shù)2n-1時;S奇-S偶= ，S2n-1=(2n-1)a中(這里a中即an);S奇S偶=(k+1)k.,am+an=ap+aq,nd,a中,11,(6)若等差數(shù)列an、bn的前n項和分別為An、Bn,且 =f(n),則 = = =f(2n-1). (7)“首正”的遞減等差數(shù)列中,

4、前n項和的最大值是所有 之和;“首負”的遞增等差數(shù)列中,前n項和的最小值是所有 之和. (8)如果兩等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).,非負項,非正項,12,2.等比數(shù)列的性質(zhì) (1)若數(shù)列 是等比數(shù)列當m+n=p+q時，則有 ,特別地，當m+n=2p時，則有aman=ap2. (2)若an是等比數(shù)列，則kan成等比數(shù)列；若an、bn成等比數(shù)列，則anbn、 成等比數(shù)列;若an是等比數(shù)列,且公比q-1,則數(shù)列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,是 數(shù)列.當q=-1,且n為偶數(shù)時,數(shù)列Sn,S2n-Sn,S3n-S

5、2n,是常數(shù)數(shù)列0,它不是等比數(shù)列.,aman=apaq,等比,13,(3)若a10,q1,則an為 數(shù)列；若a11,則an為 數(shù)列;若a10,0q1,則an為遞減數(shù)列；若a10,0q1，則an為遞增數(shù)列；若q0,則an為擺動數(shù)列；若q=1,則an為 數(shù)列. (4)當q時,Sn= qn+ =aqn+b,這里a+b=0，但a0，b0，這是等比數(shù)列前n項和公式的一個特征，據(jù)此很容易根據(jù)Sn判斷數(shù)列an是否為等比數(shù)列.,遞增,遞減,常,14,(5)Sm+n=Sm+qmSn=Sn+qnSm. (6)在等比數(shù)列an中，當項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶= ；項數(shù)為奇數(shù)2n-1時,S奇=a1+qS偶. (7)如果數(shù)

6、列an既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列an是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列an僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件.,qS奇,15,(1)已知數(shù)列n為等差數(shù)列,且1+8+15=2，則tan(2+14)的值是（ ）,A. B.- C. D.-,A,題型一 “成對下標和”性質(zhì),例1,16,(2)(2009廣東卷)已知等比數(shù)列an滿足an0,n=1,2,，且a5a2n-5=22n(n3),則當n1時,log2a1+log2a3+log2a2n-1=( ),A. n(2n-1) B. (n+1)2 C. n2 D. (n-1)2,(1)因為1+8+15=2，且n成等差數(shù)列， 則1+15=28

7、，故8= . 于是tan(2+14)=tan28=tan = .,C,解析,17,(2)因為a5a2n-5=22n(n3),且an成等比數(shù)列, 則a1a2n-1=a3a2n-3=a5a2n-5=22n=an2. 令S=log2a1+log2a3+log2a2n-1， 則S=log2a2n-1+log2a3+log2a1, 所以2S=log2(a1a2n-1)(a3a2n-3)(a2n-3a3)(a2n-1a1) =log2(22n)n, 所以2S=2nn，所以 S=n2.,18,本題是等差、等比的求值題，難點是找條件和目標之間的對應關系.解題時，根據(jù)等差、等比數(shù)列的“成對下標和”性質(zhì)，列出方程

8、或多個恒等式是解題的關鍵.一般的，對于涉及等差、等比數(shù)列的通項公式的條件求值題，合理利用通項或相關性質(zhì)進行化歸是基本方法.,評析,19,(2010湖北省模擬)設數(shù)列an、bn都是正項等比數(shù)列，Sn、Tn分別為數(shù)列l(wèi)gan與lgbn的前n項和,且 = ,則logb5a5= .,由題知， = = = =logb5a5 logb5a5= .,素材1,解析,20,(1)等差數(shù)列an中,a9+a10=a,a19+a20=b, 求a99+a100. (2)在等比數(shù)列an中,若a1a2a3a4=1, a13a14a15a16=8,求a41a42a43a44.,題型二 部分“和”“積”與整體性質(zhì),例2,21,

9、(1)將相鄰兩項和a1+a2,a3+a4,a5+a6,a99+a100分別記為b1,b2,b3,b50,可知bn成等差數(shù)列. 此數(shù)列的公差d= = . a99+a100=b50=b5+45d=a+ 45=9b-8a.,解析,22,(2)(方法一)a1a2a3a4=a1a1qa1q2a1q3 =a14q6=1. a13a14a15a16=a1q12a1q13a1q14a1q15 =a14q54=8. 得， =q48=8 q16=2. 又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43 =a14q166=a14q6q160 =(a14q6)(q16)10 =1210=1024.,2

10、3,(方法二)由性質(zhì)可知，依次項的積為等比數(shù)列，設公比為q,T1=a1a2a3a4=1, T4=a13a14a15a16=8, 所以T4=T1q3=1q3=8 q=2, 所以T11a41a42a43a44=T1q10=1024.,巧用性質(zhì)，減少運算，在有關等差、等比數(shù)列的計算中非常重要.如（）（2）小題巧用性質(zhì)，構造一個新的等差或等比數(shù)列求解.,評析,24,素材2,B,解析,25,題型三 平面向量的基本概念、線性運算及簡單性質(zhì),例3,分析,26,解析,27,評析,28,素材3,解析,29,30,解析,31,32,1.知三求二：在等差（比）數(shù)列中，a1,d(q),n,an,Sn共五個量中知道其中任意三個，就可以求出其他兩個.解這類問題時，一般是