第四章 隨機變量的數字特征.ppt

1、第四章 隨機變量的數字特征,概率論與數理統計,討論隨機變量的數字特征的意義,前面討論了隨機變量的分布函數，我們看到分布函數能夠完整地描述隨機變量的統計特性。但在一些實際問題中，不需要去全面考察隨機變量的變化情況，而只需知道隨機變量的某些特征，因而并不需要求出它的分布函數。例如，在評定某一地區(qū)糧食產量的水平時，在許多場合只要知道該地區(qū)的平均產量；又如在研究水稻品種優(yōu)劣時，時常是關心稻穗的平均稻谷粒數；再如檢查一批棉花的質量時，既需要注意纖維的平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的偏離程度，平均長度較大、偏離程度較小，質量就較好。從上面的例子看到，與隨機變量有關的某些數值，雖然不能完整地描述隨機

2、變量，但能描述隨機變量在某些方面的重要特征。這些數字特征在理論和實踐上都具有重要的意義。下面將介紹隨機變量的常用數字特征：數學期望、方差、相關系數和矩,1 數學期望,例：有甲、乙兩個射手，他們的射擊技術用下表表出： 甲射手,乙射手,試問哪個射手本領較好？,解：設兩個選手各射N槍，則有 甲：80.3N90.1N100.6N=9.3N 乙：80.2N90.5N100.3N=9.1N 平均甲射中9.3環(huán)，乙射中9.1環(huán)，因此甲射手的本領好些。,離散型隨機變量的數學期望,定義:設離散型隨機變量X的分布率為,若級數,絕對收斂，則稱,變量X的數學期望（或均值），記為E(X)。即,的和為隨機,例1：求二項分

3、布 的數學期望。,例2：求泊松分布 的數學期望。,例3：隨機變量X取值 求數學期望。,習題1. (1)在下列句子中隨機地取一單詞,以X表示所取的單所含的字母個數,寫出X的分布律,并求E(X). THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT. (2)在上述句子的30個字母中隨機地取一字母,以Y表示取到的字母所在的單詞所包含的字母數,寫出Y的分布律,并求E(Y).,解:(1)依題意,X的所有可能取值為: 2, 3, 4, 9; 且有: PX=2=1/8, PX=3=5/8, PX=4=1/8, PX=9=1/8 因此,X的分布律為:,E(X)=2*1/8+3*5/8+

4、4*1/8+9*1/8=15/4,習題1. (1)在下列句子中隨機地取一單詞,以X表示所取的單所含的字母個數,寫出X的分布律,并求E(X). THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT. (2)在上述句子的30個字母中隨機地取一字母,以Y表示取到的字母所在的單詞所包含的字母數,寫出Y的分布律,并求E(Y).,解:(2)依題意,Y的所有可能取值為: 2, 3, 4, 9; 且有: Y=2時,所可能取到的單詞是:ON, 則PY=2=2/30 Y=3時,所可能取到的單詞是:THE, PUT, HER, RED,HAT, 則PY=3=15/30 Y=4時,所可能取到的單

5、詞是:GIRL, 則PY=4=4/30 Y=9時,所可能取到的單詞是:BEAUTIFUL, 則PY=9=9/30,因此,Y的分布律為:,E(Y)=2*2/30+3*15/30+4*4/30+9*9/30=73/15,習題4:設隨機變量X的分布律為 j=1,2,證明: 由于級數,由數學期望的定義知, X的數學期望不存在.,說明X的數學期望不存在.,是發(fā)散的,故級數,不絕對收斂.,連續(xù)型隨機變量的數學期望,的值為隨機變量X的,定義:設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)，若積分,絕對收斂,則稱積分,數學期望（或均值），記為E(X)。即,例5：隨機變量X服從正態(tài)分布N(m,2),求數學期望。,例6：

6、隨機變量X服從指數分布 求數學期望。,例7：設XU(a,b),求E(X)。,例8：由兩個相互獨立工作的電子裝置，它們的壽命Xk(k=1,2)服從同一指數分布，其概率密度為 若將這兩個電子裝置串聯連接組成整機，求整機壽命（以小時計）N的數學期望。,隨機變量的函數Y=g(X)的數學期望,定理的意義:求隨機變量X的函數Y的數學期望,可以不用求Y的分布(或概率密度),只需利用X的分布律(或概率密度)就可以了.,上述定理可推廣到多個隨機變量的函數的情況,設Z是隨機變量X,Y的函數Z=g(X,Y) (g是連續(xù)函數), 那么, Z是一個一維隨機變量. 若二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y),則有:

7、,若(X,Y)為離散型二維隨機變量,其分布律為: PX=xi, Y=yj=pij, i,j=1,2,3, 則有:,數學期望的性質,數學期望性質的證明,數學期望性質的證明,數學期望性質的證明,數學期望性質的性質,練習一 一個有n把鑰匙的人要開他的門，它隨機而獨立地試開，若其中只有一把能開門，若將試開不成功的鑰匙立即除去；求試開次數的數學期望與方差。,2 方差,例：有甲、乙兩個射手，他們的射擊技術用下表表出： 甲射手,乙射手,試問哪個射手本領較好？誰的技術穩(wěn)定些?,解：設兩個選手各射N槍，則有 甲：80.3N90.1N100.6N=9.3N 乙：80.2N90.5N100.3N=9.1N 平均甲射

8、中9.3環(huán)，乙射中9.1環(huán)，因此甲射手的本領好些。 問：那個射手技術穩(wěn)定些？顯然乙射手的技術穩(wěn)定些。衡量技術穩(wěn)定性，可以考慮用隨機變量與其均值的偏離程度，如 E|X-E(X)| 或 EX-E(X)2,方差,隨機變量X的方差與數學期望有如下關系： D(X)=E(X2)-E(X)2,方法二:,令,方差的性質,方差性質的證明,方差性質的證明,方差性質的證明,方差性質的證明,方差的性質,若,且它們互相獨立,那么,它們的線性組合,(其中,不全為零), 仍服從正態(tài)分布,且,切比雪夫不等式,切比雪夫不等式的證明,注意切比雪夫不等式可以使我們在隨機變量X的分布未知的情況下，對事件|X-|的概率做出估計。應用切

9、比雪夫不等式必須滿足E(X)和D(X)存在且有限這一條件。,例:設隨機變量X在區(qū)間-1,2上服從均勻分布. 隨機變量,則方差D(Y)=?,解:,所以:,3 協方差及相關系數,對于二維隨機變量,除了討論變量X與Y的數學期望及方差外,還需要討論描述X與Y這間相互關系的數字特征.,也就是說,當 時,X與Y不相互獨立,即:可能存在某種關系.,當隨機變量X與Y相互獨立時,有:,協方差與相關系數,協方差的性質,協方差性質的證明,最小二乘法,最小二乘法,相關系數的性質,相關系數性質的證明,相關系數性質的證明,相關系數性質的證明,X與Y不相關但也不獨立的例子,獨立 不相關 不相關 獨立,習題24 設二維隨機變

10、量(X,Y)的概率密度為:,試驗證X和Y是不相關的,但X和Y不是相互獨立的.,分析: 要說明X和Y不是相互獨立,就是要證明 f(x,y)fX(x)fY(y),由相關系數的定義,要驗證X和Y不相關,就是要驗證,解: 關于X的邊緣概率密度為:,關于Y的邊緣概率密度為:,顯然, f(x,y)fX(x)fY(y), 因此X和Y不是相互獨立的.,下面計算E(X), E(Y), E(XY), D(X), D(Y),下面計算E(X), E(Y), E(XY), D(X), D(Y),同理,故 D(X)0, D(Y)0, X和Y的相關系數為:,因此, X和Y是不相關的.,習題29 設XN(m,s2), YN(m,s2), 且設X,Y互相獨立,試求Z1=aX+bY和Z