廣西壯族自治區(qū)梧州市蒙山縣第一中學(xué)2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）（通用）

1、2020學(xué)年度下學(xué)期期末考試 高二數(shù)學(xué)（文）考生注意:1.本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分,共150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。2.請將各題答案填寫在答題卡上。3.本試卷主要考試內(nèi)容:必修一至必修五。第卷一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用交集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)榧?，所以，故選C.【點(diǎn)睛】研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究兩集合的關(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實(shí)質(zhì)求滿足屬于集合且屬于集合的元

2、素的集合.2.已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是A. B. 1C. D. 【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)題意，由于為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)，因此可知其虛部為-1，故答案為A.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算點(diǎn)評：主要是考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。3.從名男同學(xué)和名女同學(xué)中任選人參加社區(qū)服務(wù)，則選中人都是女同學(xué)的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)名男生為，名女生為，列舉出所有的基本事件和選中人都是女同學(xué)的基本事件，由基本事件數(shù)之比即可求得概率.【詳解】設(shè)名男生為，名女生為，則任選人的選法有：，共種，其中全是女生的選法有：，共種.故選中的人都是女同學(xué)的概率.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查古典

3、概型求概率的問題，采用列舉法，屬于基礎(chǔ)題4.設(shè)，向量，若，則等于( )A. B. C. 4D. 4【答案】D【解析】【分析】直接利用向量垂直的充要條件列方程求解即可.【詳解】因?yàn)?，且，所以，化為，解得，故選D.【點(diǎn)睛】利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是命題的熱點(diǎn)，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.5.在中，若，則A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則，用、表示出即可.【詳解】即：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.6.若實(shí)數(shù)滿足不等式組，則的最大值為（ ）A. 0B. 4C. 5D.

4、6【答案】B【解析】【分析】確定不等式組表示的平面區(qū)域，明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求得z2x+y的最大值【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如圖：z2x+y表示直線y2x+z的縱截距，由圖象可知，在A（1，2）處z取得最大值為4故選：B【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃知識，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是確定不等式組表示的平面區(qū)域，明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題7.某程序框圖如圖所示，若運(yùn)行該程序后輸出（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通過分析可知程序框圖的功能為計(jì)算，根據(jù)最終輸出時(shí)的值，可知最終賦值時(shí)，代入可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)程序框圖可知其功能計(jì)算：初始值為，當(dāng)時(shí)，輸出可

5、知最終賦值時(shí) 本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)程序框圖的功能計(jì)算輸出結(jié)果，關(guān)鍵是能夠明確判斷出最終賦值時(shí)的取值.8.若將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A. 函數(shù)在上單調(diào)遞增B. 函數(shù)的周期是C. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D. 函數(shù)在上最大值是1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點(diǎn)可得到解析式；利用整體對應(yīng)的方式可判斷出在上單調(diào)遞增，正確；關(guān)于點(diǎn)對稱，錯誤；根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯誤；根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求解可判斷出最大值無法取得，錯誤.【詳解】將橫坐標(biāo)縮短到原來的得：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞增，正確；

6、的最小正周期為： 不是的周期，錯誤；當(dāng)時(shí)，關(guān)于點(diǎn)對稱，錯誤；當(dāng)時(shí)， 此時(shí)沒有最大值，錯誤.本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對稱性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內(nèi)的值域的求解；關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對應(yīng)的方式，通過正弦函數(shù)的圖象來判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).9.在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)，使直線與圓相交的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出直線和圓相交時(shí)的取值范圍，然后根據(jù)線型的幾何概型概率公式求解即可【詳解】由題意得，圓的圓心為，半徑為，直線方程即為，所以圓心到直線的距離，又直線與圓相交，所以，解得所以在區(qū)間上隨機(jī)

7、取一個數(shù)，使直線與圓相交的概率為故選C【點(diǎn)睛】本題以直線和圓的位置關(guān)系為載體考查幾何概型，解題的關(guān)鍵是由直線和圓相交求出參數(shù)的取值范圍，然后根據(jù)公式求解，考查轉(zhuǎn)化和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題10.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，其中俯視圖由兩個半圓和兩條線段組成，則該幾何體的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三視圖可確定幾何體為一個底面半徑為的半圓柱中間挖去一個底面半徑為的半圓柱；依次計(jì)算出上下底面面積、大圓柱和小圓柱側(cè)面積的一半以及軸截面的兩個矩形的面積，加和得到結(jié)果.【詳解】由三視圖可知，幾何體為一個底面半徑為的半圓柱中間挖去一個

8、底面半徑為的半圓柱幾何體表面積：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查幾何體表面積的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過三視圖確定幾何體，從而明確表面積的具體構(gòu)成情況.11.已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式可求得；利用三角形面積公式可構(gòu)造出關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線性質(zhì)可知：又，解得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠熟練掌握雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式，從而利用焦點(diǎn)三角形面積構(gòu)造方程求得結(jié)果.12.已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，則的大小關(guān)系為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【

9、解析】【分析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知；利用為減函數(shù)可知，結(jié)合為奇函數(shù)可得大小關(guān)系.【詳解】，即：又是定義在上的減函數(shù) 又為奇函數(shù) ，即：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合奇偶性比較函數(shù)值的大小關(guān)系，關(guān)鍵是能夠通過函數(shù)得單調(diào)性，利用臨界值的方式得到自變量之間的大小關(guān)系.第卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡上的相應(yīng)位置.13.若“”是“”的必要不充分條件，則的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】由題，“”是“”的必要不充分條件，則是的真子集，可得答案.【詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以是

10、的真子集，所以，故答案為.點(diǎn)睛】本題考查了不要不充分條件，屬于基礎(chǔ)題.14.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，則_【答案】65【解析】【分析】由可得，再由等差數(shù)列的求和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可得結(jié)果.【詳解】在等差數(shù)列中，由，可得，即，即，故答案為65.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式以及等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題. 解答等差數(shù)列問題要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)（）與前 項(xiàng)和的關(guān)系.15.若，則_【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式與二倍角的余弦公式可得，計(jì)算求得結(jié)果.【詳解】，則，故答案為.【點(diǎn)睛】三角函數(shù)求值有三類，(1)“給角求值”；(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的

11、值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系；(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上一點(diǎn)，且，若關(guān)于平分線的對稱點(diǎn)在橢圓上，則該橢圓的離心率為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義與幾何性質(zhì)判斷為正三角形，且軸，設(shè)，可得，從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的對稱點(diǎn)在橢圓上，則，為正三角形，又，所以軸，設(shè)，則，即，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：直接求出，從而求出;構(gòu)造的齊

12、次式，求出;采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解三、解答題：本大題6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.在等比數(shù)列中，.(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1).（2）.【解析】試題分析：(1)設(shè)的公比為q，依題意得方程組，解得，即可寫出通項(xiàng)公式.（2）因?yàn)椋玫炔顢?shù)列的求和公式即得.試題解析：(1)設(shè)的公比為q，依題意得，解得，因此，.（2）因?yàn)?，所以?shù)列的前n項(xiàng)和.考點(diǎn)：等比數(shù)列、等差數(shù)列.18.在中，且.（1）求邊長；（2）求邊上中線的長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用同角的三角函數(shù)關(guān)系，可以求出的值，利用三角形內(nèi)角和定理，二角

13、和的正弦公式可以求出，最后利用正弦定理求出長；（2）利用余弦定理可以求出長，進(jìn)而可以求出的長，然后在中，再利用余弦定理求出邊上中線的長.【詳解】（1），由正弦定理可知中：（2）由余弦定理可知：，是的中點(diǎn)，故，在中，由余弦定理可知：【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系、以及三角形內(nèi)角和定理，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.19.某校從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，后得到如圖的頻率分布直方圖（1）求圖中實(shí)數(shù)的值；（2）若該校高一年級共有學(xué)生1000人，試估計(jì)該校高一年級期中考試數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)（3）

14、若從樣本中數(shù)學(xué)成績在，與，兩個分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生，試用列舉法求這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值大于10的槪率【答案】（1）a=0.03（2）850（人）（3）【解析】試題分析：（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)能求出的值；（2）先求出數(shù)學(xué)成績不低于分的概率，由此能求出數(shù)學(xué)成績不低于分的人數(shù)；（3）數(shù)學(xué)成績在的學(xué)生為分，數(shù)學(xué)成績在的學(xué)生人數(shù)為人，由此利用列舉法能求出這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值大于的概率試題解析：（1）由頻率分布直方圖，得：0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，解得a=0.03.（2）數(shù)學(xué)成績不低于60分的概率為：0.2+0.3+0.25+0.1=0.

15、85，數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)為：10000.85=850（人）（3）數(shù)學(xué)成績在40，50）的學(xué)生為400.05=2（人），數(shù)學(xué)成績在90，100學(xué)生人數(shù)為400.1=4（人），設(shè)數(shù)學(xué)成績在40，50）的學(xué)生為A，B，數(shù)學(xué)成績在90，100的學(xué)生為a，b，c，d，從樣本中數(shù)學(xué)成績在40，50）與90，100兩個分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生，基本事件有：AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，c，d，其中兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值大于10的情況有：Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，共8種，這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值大于10

16、的槪率為考點(diǎn)：頻率分布直方圖；古典概型及其概率的求解20.如圖，在四棱錐中，平面，且，點(diǎn)在上（1）求證：；（2）若，求三棱錐的體積【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明，轉(zhuǎn)化成證明平面即可。（2）根據(jù)，可得，從而得出體積。【詳解】證明：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，則，四邊形為平行四邊形，又，又，平面，解：（2），三棱錐的體積為：【點(diǎn)睛】本題考查了線線垂直的證明，通常轉(zhuǎn)化成證明線面垂直。三棱錐體積的計(jì)算，選擇不同的底對應(yīng)的頂點(diǎn)，得到的體積相同。那么通常選擇已知的高和底從而求出體積。21.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)是橢圓上的一個動點(diǎn)，且面積的最大值為.（1）求橢圓的方

17、程；（2）設(shè)斜率不為零的直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為，且的垂直平分線交軸于點(diǎn)，求直線的斜率.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由題得到關(guān)于a,b,c的方程，解方程組即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，線段的中點(diǎn)為，根據(jù)，得，解方程即得直線PQ的斜率.【詳解】(1)因?yàn)闄E圓離心率為，當(dāng)P為C的短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積有最大值.所以，所以，故橢圓C的方程為:.（2）設(shè)直線的方程為，當(dāng)時(shí)，代入，得:.設(shè)，線段的中點(diǎn)為，即因?yàn)?，則，所以，化簡得，解得或，即直線的斜率為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.22.已

18、知函數(shù).（）求的單調(diào)區(qū)間；（）若對于任意的（為自然對數(shù)的底數(shù)），恒成立，求的取值范圍.【答案】（I）當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間是；（II）【解析】【分析】（）求出，分兩種情況討論，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（）對分四種情況討論，分別利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最小值的表達(dá)式，令最小值不小于零，即可篩選出符合題意的的取值范圍.【詳解】（）的定義域?yàn)? .（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，由解得，由解得.的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間是.（）當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，恒成立，符合題意.當(dāng)時(shí)，由（）知，在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（i）若