2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.2.1 平面的基本性質(zhì)與推論學(xué)案 新人教B版必修2

1、12.1平面的基本性質(zhì)與推論學(xué)習目標1.理解平面的基本性質(zhì)與推論，能運用平面的基本性質(zhì)及推論去解決有關(guān)問題.2.會用集合語言來描述點、直線和平面之間的關(guān)系以及圖形的性質(zhì).3.理解異面直線的概念知識點一平面的基本性質(zhì)與推論思考1直線l與平面有且僅有一個公共點P.直線l是否在平面內(nèi)？有兩個公共點呢？思考2觀察圖中的三腳架，你能得出什么結(jié)論？思考3觀察正方體ABCDA1B1C1D1(如圖所示)，平面ABCD與平面BCC1B1有且只有兩個公共點B、C嗎？梳理(1)平面的基本性質(zhì)平面內(nèi)容作用圖形基本性質(zhì)1如果一條直線上的_在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)(即直線在_或_經(jīng)過直線)判斷直

2、線是否在平面內(nèi)的依據(jù)基本性質(zhì)2經(jīng)過不在同一條直線上的_，有且只有一個平面(即_確定一個平面)確定平面及兩個平面重合的依據(jù)基本性質(zhì)3如果不重合的兩個平面有_公共點，那么它們有且只有一條過這個點的公共直線判斷兩平面相交，線共點，點共線的依據(jù)(2)平面基本性質(zhì)的推論推論1：經(jīng)過一條直線和直線外的一點，_平面推論2：經(jīng)過兩條_直線，有且只有一個平面推論3：經(jīng)過兩條_直線，有且只有一個平面知識點二點、直線、平面之間的關(guān)系及表示思考直線和平面都是由點組成的，聯(lián)系集合的觀點，點和直線、平面的位置關(guān)系，如何用符號來表示？直線和平面呢？梳理點、直線、平面之間的基本位置關(guān)系及表示文字語言符號語言圖形語言A在l上A

3、lA在l外AlA在內(nèi)AA在外Al在內(nèi)ll在外ll，m相交于AlmAl，相交于AlA，相交于ll知識點三共面與異面直線思考如圖，直線AB與平面相交于點B，點A在外，那么直線l與直線AB能不能在同一個平面內(nèi)？為什么？直線l與直線AB的位置關(guān)系是怎樣的？梳理共面與異面直線(1)共面概念：空間中的幾個點或幾條直線，都在_內(nèi)特征：共面的直線_或者_(2)異面直線概念：既不_又不_的直線判斷方法：與一平面相交于一點的直線與這個平面內(nèi)_的直線是異面直線類型一點、直線、平面之間的位置關(guān)系的符號表示例1如圖，用符號表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關(guān)系反思與感悟(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先

4、仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示(2)根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)下列符號表示的語句，說明點、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：(1)A，B；(2)l，mA，Al；(3)平面ABD平面BDCBD，平面ABC平面ADCAC.類型二平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用例2如圖，已知：a，b，abA，Pb，PQa，求證：PQ.引申探究將本例中的兩條平行線改為三條，即求證：和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)反思與感悟證明多線共面的兩種方法(1)納入法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線在

5、這個平面內(nèi)(2)重合法：先說明一些直線在一個平面內(nèi)，另一些直線也在另一個平面內(nèi)，再證明兩個平面重合跟蹤訓(xùn)練2已知：如圖所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)例3如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為AB的中點，F(xiàn)為AA1的中點求證：CE、D1F，DA三線交于一點反思與感悟(1)點共線：證明多點共線通常利用基本性質(zhì)3，即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點分別在兩個平面內(nèi)，證明點在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在其上(2)三線共點：證明三線共點問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線，然后再證兩條

6、直線的交點在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點，再證點重合，從而得三線共點跟蹤訓(xùn)練3已知ABC在平面外，其三邊所在的直線滿足ABP，BCQ，ACR，如圖所示求證：P，Q，R三點共線類型三異面直線的判定例4如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么NC，DE，AF，BM這四條線段所在的直線是異面直線的有多少對？試以其中一對為例進行證明反思與感悟判定兩條直線是異面直線的方法(1)證明兩條直線既不平行又不相交(2)重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線用符號語言可表示為A，B，l，BlAB與

7、l是異面直線(如圖)跟蹤訓(xùn)練4分別在兩個相交平面內(nèi)的兩條直線間的位置關(guān)系是()A異面 B平行C相交 D以上都有可能1若A平面，B平面，C直線AB，則()AC BCCAB DABC2平行六面體ABCDA1B1C1D1中，既與AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為()A3 B4C5 D63如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，與AA1異面的是()AAB BBB1CDD1 DB1C14線段AB在平面內(nèi)，則直線AB與平面的位置關(guān)系是_5如圖，已知D，E分別是ABC的邊AC，BC上的點，平面經(jīng)過D，E兩點，若直線AB與平面的交點是P，則點P與直線DE的位置關(guān)系是_1解決立體幾何問題首先應(yīng)過好三大語言

8、關(guān)，即實現(xiàn)這三種語言的相互轉(zhuǎn)換，正確理解集合符號所表示的幾何圖形的實際意義，恰當?shù)赜梅栒Z言描述圖形語言，將圖形語言用文字語言描述出來，再轉(zhuǎn)換為符號語言文字語言和符號語言在轉(zhuǎn)換的時候，要注意符號語言所代表的含義，作直觀圖時，要注意線的實虛2在處理點線共面、三點共線及三線共點問題時初步體會三個公理的作用，突出先部分再整體的思想3異面直線是既不平行也不相交的直線答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考1前者不在，后者在思考2不共線的三點可以確定一個平面思考3不是，平面ABCD與平面BCC1B1相交于直線BC.梳理(1)兩點平面內(nèi)平面三點不共線的三點一個(2)有且只有一個相交平行知識點二思考點和直線、平面的位置

9、關(guān)系可用數(shù)字符號“”或“”表示，直線和平面的位置關(guān)系，可用數(shù)學(xué)符號 “”或“”表示知識點三思考不可能在同一個平面內(nèi)，因為如果在同一個平面內(nèi)，點A就在內(nèi)，這與點A在外矛盾由圖知，直線l與直線AB沒有公共點，所以它們不相交，直線l與直線AB不可能平行，否則它們就會同在平面內(nèi)，所以直線l與直線AB既不相交也不平行梳理(1)同一平面相交平行(2)平行相交不經(jīng)過交點題型探究例1解在(1)中，l，aA，aB.在(2)中，l，a，b，alP，blP.跟蹤訓(xùn)練1解(1)點A在平面內(nèi)，點B不在平面內(nèi)，如圖.(2)直線l在平面內(nèi)，直線m與平面相交于點A，且點A不在直線l上，如圖.(3)平面ABD與平面BDC相交于

10、BD，平面ABC與平面ADC相交于AC，如圖.例2解因為PQa，所以PQ與a確定一個平面.所以直線a，點P.因為Pb，b，所以P.又因為a，所以與重合，所以PQ.引申探究解已知：abc，laA，lbB，lcC.求證：a，b，c和l共面證明：如圖，ab，a與b確定一個平面.laA，lbB，A，B.又Al，Bl，l.bc，b與c確定一個平面，同理l.平面與都包含l和b，且blB，由推論2知：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面，平面與平面重合，a，b，c和l共面跟蹤訓(xùn)練2證明方法一(納入平面法)l1l2A，l1和l2確定一個平面.l2l3B，Bl2.又l2，B.同理可證C.Bl3，Cl3，l3.直線l

11、1，l2，l3在同一平面內(nèi)方法二(輔助平面法)l1l2A，l1和l2確定一個平面.l2l3B，l2，l3確定一個平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可證B，B，C，C.不共線的三個點A，B，C既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)平面和重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)例3證明如圖，連接EF，D1C，A1B.E為AB的中點，F(xiàn)為AA1的中點，EF綊A1B.又A1B綊D1C，EF綊D1C，E，F(xiàn)，D1，C四點共面，D1F與CE相交，設(shè)交點為P.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD，P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點又平面A1D1DA平面ABCDDA，根據(jù)基本性質(zhì)3，可得PDA，即C

12、E、D1F、DA相交于一點跟蹤訓(xùn)練3證明方法一ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.由基本性質(zhì)3可知：點P在平面ABC與平面的交線上，同理可證Q、R也在平面ABC與平面的交線上P、Q、R三點共線方法二APARA，直線AP與直線AR確定平面APR.又ABP，ACR，平面APR平面PR.B平面APR，C平面APR，BC平面APR.QBC，Q平面APR，又Q，QPR，P、Q、R三點共線例4解將展開圖還原為正方體(如圖)NC與DE，NC與AF，NC與BM，DE與AF，DE與BM，AF與BM，都是異面直線，共有6對以NC與AF是異面直線為例證明如下：方法一連接BE，若NCAF，則由NCBE，可知AFBE，這與AF與BE相交矛盾故NC與AF不平行若NC與AF相交，則平面ABFE與平面CDNM有公共點，這與正方體的性質(zhì)矛盾故NC與AF不相交所以NC與AF異