2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變換 3.1.2 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式學(xué)案 新人教A版必修4

1、3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1.掌握由兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式及兩角和與差的正弦公式.(重點)2.會用兩角和與差的正弦、余弦公式進行簡單的三角函數(shù)的求值、化簡、計算等.(難點)3.熟悉兩角和與差的正弦、余弦公式的靈活運用，了解公式的正用、逆用以及角的變換的常用方法.(易錯點)基礎(chǔ)初探教材整理1兩角和與差的余弦公式閱讀教材P128“思考”以下至“探究”以上內(nèi)容，完成下列問題.名稱簡記符號公式使用條件兩角差的余弦公式C()cos()cos cos sin sin ，R兩角和的余弦公式C()cos()cos cos sin sin ，Rcos 75cos 15sin 75

2、sin 15的值等于_.【解析】逆用兩角和的余弦公式可得cos 75cos 15sin 75sin 15cos(7515)cos 900.【答案】0教材整理2兩角和與差的正弦公式閱讀教材P128“探究”以下內(nèi)容，完成下列問題.1.公式名稱簡記符號公式使用條件兩角和的正弦S()sin()sin cos cos sin ，R兩角差的正弦S()sin()sin cos cos sin ，R2.重要結(jié)論輔助角公式y(tǒng)asin xbcos xsin(x)(a，b不同時為0)，其中cos ，sin .判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角，是任意的.()(2)存在，R，使得

3、sin()sin sin 成立.()(3)對于任意，R，sin()sin sin 都不成立.()(4)sin 54cos 24sin 36sin 24sin 30.()【解析】(1).根據(jù)公式的推導(dǎo)過程可得.(2).當45，0時，sin()sin sin .(3).當30，30時，sin()sin sin 成立.(4).因為sin 54cos 24sin 36sin 24sin 54cos 24cos 54sin 24sin(5424)sin 30，故原式正確.【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理3兩角和與差的正切公式閱讀教材P129“探究”以下至“例3”以上內(nèi)容，完成下列問題.名稱簡記符

4、號公式使用條件兩角和的正切T()tan()，k(kZ) 且tan tan 1兩角差的正切T()tan()，k(kZ) 且tan tan 1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)存在，R，使tan()tan tan 成立.()(2)對任意，R，tan()都成立.()(3)tan()等價于tan tan tan()(1tan tan ).()【解析】(1).當0，時，tan()tantan 0tan ，但一般情況下不成立.(2).兩角和的正切公式的適用范圍是，k(kZ).(3).當k(kZ)，k(kZ)，k(kZ)時，由前一個式子兩邊同乘以1tan tan 可得后一個式子.【答案】(1)(2)(

5、3)小組合作型靈活應(yīng)用和、差角公式化簡三角函數(shù)式(1)()A. B. C. D.(2)化簡求值：；sin(75)cos(45)cos(15)；tan 20tan 40tan 20tan 40.【精彩點撥】(1)化簡求值應(yīng)注意公式的逆用.(2)對于非特殊角的三角函數(shù)式化簡應(yīng)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值.【自主解答】(1)sin 30.【答案】C(2)原式tan(4575)tan 120.原式.設(shè)15，則原式sin(60)cos(30)cos cos 0.原式0.原式tan 60(1tan 20tan 40)tan 20tan 40.原式.1.公式T()，T()是變形較多的兩個公式，公式中有tan t

6、an ，tan tan (或tan tan )，tan()(或tan().三者知二可表示出或求出第三個.2.化簡過程中注意“1”與“tan ”，“”與“tan ”，“”與“cos ”等特殊數(shù)與特殊角的函數(shù)值之間的轉(zhuǎn)化.再練一題1.化簡求值：(1)cos 61cos 16sin 61sin 16；(2)sin 13cos 17cos 13sin 17；(3).【解】(1)原式cos(6116)cos 45.(2)原式sin(1317)sin 30.(3)原式.給值求值已知，0，cos，sin，求sin()的值. 【導(dǎo)學(xué)號：】【精彩點撥】可先考慮拆角，然后再利用sin()sin()求值.【自主解答

7、】因為，所以，所以sin.又因為0，所以cos，所以sin()sin()sin.1.本題屬于給值求值問題，求解時，關(guān)鍵是從已知角間的關(guān)系入手，分析出已知角和待求角的關(guān)系.如本題中巧用()這一關(guān)系.2.常見角的變換為(1)2()，2()；(2)，；(3)()；(4)().再練一題2.已知cos ，tan ，求cos().【解】因為，cos ，所以sin .因為，tan ，所以cos ，sin .所以cos()cos cos sin sin .給值求角已知sin ，sin ，且，為銳角，求的值.【精彩點撥】【自主解答】sin ，為銳角，cos .又sin ，為銳角，cos .cos()cos co

8、s sin sin .又，0，因此.1.求解該類問題常犯的錯誤是對角的范圍討論程度過大(小)，導(dǎo)致求出的角不合題意或者漏解.2.求角的大小，要解決兩點：(1)確定所求角的范圍，(2)求角的某一三角函數(shù)值，特別是要根據(jù)角的范圍確定取該角的哪一種三角函數(shù)值.再練一題3.已知，且cos()，sin ，試求角的大小.【解】，(0，)，由cos()，知sin().由sin ，知cos .sin sin()sin()cos cos()sin .又，.探究共研型輔助角公式的應(yīng)用探究1能否將函數(shù)ysin xcos x(xR)化為yAsin(x)的形式？【提示】sin xcos xsin.探究2函數(shù)f(x)si

9、n xcos x(xR)的最大值是多少？【提示】f(x)sin xcos x22sin，f(x)的最大值為2.探究3如何推導(dǎo)asin xbcos xsin(x)公式.【提示】asin xbcos x，令cos ，sin ，則asin xbcos x(sin xcos cos xsin )sin(x)(其中角所在象限由a，b的符號確定，角的值由tan 確定，或由sin 和cos 共同確定).求函數(shù)f(x)3sin(x20)5sin(x80)的最大值.【精彩點撥】先將f(x)化為asin(x20)bcos(x20)形式，再利用輔助角公式化為sin(x)的形式，即可求得f(x)的最大值.【自主解答】

10、f(x)3sin(x20)5sin(x80)3sin(x20)5sin(x20)cos 605cos(x20)sin 60sin(x20)cos(x20)sin(x20)7sin(x20)，其中cos ，sin ，所以f(x)max7.1.對于形如sin cos ，sin cos 的三角函數(shù)式均可利用特殊值與特殊角的關(guān)系，運用和差角正、余弦公式化簡為含有一個三角函數(shù)的形式.2.在解法上充分體現(xiàn)了角的變換和整體思想，在三角函數(shù)求值化簡的變換過程中，一定要本著先整體后局部的基本原則.再練一題4.函數(shù)f(x)sin xcos的值域為()A.2,2 B.C.1,1 D.【解析】f(x)sin xcossin xcos xsin xsin xcos xsin，所以函數(shù)f(x)的值域為，.故選B.【答案】B1.化簡：sin 21cos 81cos 21sin 81等于()A. B. C. D.【解析】原式sin(2181)sin 60.故選D.【答案】D2.已知是銳角，sin ，則cos等于()【導(dǎo)學(xué)號：】A. B. C. D.【解析】因為是銳角，sin ，所以cos ，所以cos.故選B.【答案】B3.函數(shù)f(x)sin xco