2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 2.3 函數(shù)的奇偶性與周期性學(xué)案 文

1、2.3函數(shù)的奇性和周期性整理知識(shí)1 .函數(shù)的奇數(shù)性(1)定義：通常，對(duì)于函數(shù)f(x )的定義域中的任何x，如果f(-x)=f(x )，則f(x )被稱為偶函數(shù)。 通常，對(duì)于函數(shù)f(x )的定義域內(nèi)的任何x，如果f(-x)=-f(x )，則f(x )被稱為奇函數(shù)。(2)奇偶校驗(yàn)函數(shù)的性質(zhì)奇函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱如果奇函數(shù)在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間有單調(diào)性，則該單調(diào)性相同，如果偶函數(shù)在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間有單調(diào)性，則該單調(diào)性相反2 .函數(shù)奇數(shù)性的五個(gè)重要結(jié)論(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x )由x=0定義，即f(0)有意義，則必須有f(0)=0。(2)如果函數(shù)f(x )是偶

2、函數(shù)，則f(x)=f(|x|)。(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f(x)=0，x-d，其中定義域d是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非空數(shù)定徑套(4)奇函數(shù)在2個(gè)對(duì)稱區(qū)間具有相同單調(diào)性的偶函數(shù)在2個(gè)對(duì)稱區(qū)間具有相反的單調(diào)性(5)偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間中具有相同的最大(小)值，取最大值時(shí)的自變量相互為倒數(shù)，在關(guān)于奇函數(shù)原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間中的最大值相互為倒數(shù)，取最大值時(shí)的自變量也相互為倒數(shù)3 .對(duì)稱性的三個(gè)常用結(jié)論(1)如果函數(shù)y=f(x a )是偶函數(shù)，即f(a-x)=f(a x )，則函數(shù)y=f(x )的圖像關(guān)于直線x=a是對(duì)稱的。(2)如果f(2a-x)=f(x )或f(-x)=f(2a x

3、)對(duì)于r上的任何x，那么y=f(x )的圖像關(guān)于直線x=a是對(duì)稱的。(3)如果函數(shù)y=f(x b )是奇函數(shù)，即f(-x b) f(x b)=0，則函數(shù)y=f(x )關(guān)于點(diǎn)(b )。4 .函數(shù)周期性定義：通常，對(duì)于函數(shù)f(x )，如果存在非零實(shí)數(shù)t，那么函數(shù)f(x )就被稱為周期函數(shù)，如同當(dāng)x取定義域中的所有值時(shí)存在f(x T)=f(x )一樣5 .函數(shù)循環(huán)的常見(jiàn)結(jié)論設(shè)函數(shù)y=f(x )，x-r，a0。如果(1)f(x a)=f(xa )，則函數(shù)的周期為2a。如果(f(x a)=-f(x )，則函數(shù)的周期為2a。如果(f(x a)=的話，函數(shù)的周期是2a。如果(f(x a)=-的話，函數(shù)的周期

4、是2a。(5)如果函數(shù)f(x )關(guān)于直線x=a與x=b對(duì)稱，則函數(shù)f(x )的周期為2|b-a|；(6)如果函數(shù)f(x )關(guān)于點(diǎn)(a，0 )對(duì)稱，并且關(guān)于點(diǎn)(b，0 )對(duì)稱，則函數(shù)f(x )的周期是2|b-a|；(7)如果函數(shù)f(x )關(guān)于直線x=a對(duì)稱，并且關(guān)于點(diǎn)(b，0 )對(duì)稱，則函數(shù)f(x )的周期是4|b-a|；(8)若函數(shù)f(x )為偶函數(shù)，且該圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則該周期為2a。(9)如果函數(shù)f(x )是奇函數(shù)，且該圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則該周期是4a .6 .掌握一些重要類型的奇偶校驗(yàn)函數(shù)(1)函數(shù)f(x)=ax a-x是偶函數(shù)，而函數(shù)f(x)=ax-a-x是奇函數(shù)。(2)

5、函數(shù)f(x)=(a0且a1 )為奇函數(shù)。(3)函數(shù)f(x)=loga是一個(gè)奇函數(shù)。(4)函數(shù)f(x)=loga(x )是奇函數(shù)。診斷自檢1 .概念思識(shí)(1)偶函數(shù)的圖像不一定超過(guò)原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖像不一定超過(guò)原點(diǎn)。(2)已知函數(shù)y=f(x )是被r定義的偶函數(shù)，在(-，0 )是減函數(shù)，在(0，)是增函數(shù)。在函數(shù)y=f(x a )是偶函數(shù)的情況下，函數(shù)y=f(x )的圖像關(guān)于直線x=a是對(duì)稱的。(4)如果函數(shù)y=f(x b )是奇函數(shù)，則函數(shù)y=f(x )的圖像關(guān)于點(diǎn)(b，0 )的中心是對(duì)稱的?；卮?1) (2)(3)。2 .教材的分化(1) (必修A1P39A組T6)已知函數(shù)f(x )是奇函數(shù)，

6、在x0的情況下，f(x)=x2，f(-1)=()A.-2B.0C.1D.2戰(zhàn)斗機(jī)答案a選擇分析f(-1)=-f(1)=-=-2。(2)若將(必修A1P39B組t3)f(x )設(shè)為奇函數(shù)，且在(-，0 )內(nèi)為減函數(shù)，f(-2)=0，則xf(x)0的解集合為()a.(-1，0 ) 2，) b.(-2) 0，2C.(-、-2)(2，) d.(-2，0 )0(0，2 )答案c解析f(x )是奇函數(shù)，在(-，0 )內(nèi)單調(diào)減少，f(x )在(0，)內(nèi)也單調(diào)減少，另外f(-2)=0，f(2)=0，函數(shù)f(x )的大致圖像如右圖所示xf(x)0的解集以(-、-2)(2，)選擇了c。用小題目暖身(1)(2015

7、全國(guó)卷I )函數(shù)f(x)=xln (x )如果是偶函數(shù)，則a=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。答案1分析是已知的f(-x)=f(x )，即-xln (-x)=xln (x )，并且ln (x ) ln (-x)=0。得到了ln ()2-x2=0、ln a=0、a=1。已知在(2)(2018山西四校聯(lián)考) r中定義的函數(shù)f(x )滿足f(x)=-f，并且如果f(2)=3，則f(2018)=_ .答案3解析f(x)=-f，f(x 3)=f=-f=f(x )。f(x )是以3為周期的周期函數(shù)。f(2018)=f(6723

8、 2)=f(2)=3。問(wèn)題型1函數(shù)奇性的判斷確定以下函數(shù)的奇偶校驗(yàn)1)f(x)=(1-x ) :2)f(x)=3)f(x)=。使用定義法、性質(zhì)法由于解(1)僅在0時(shí)函數(shù)才具有意義，所以-1x1是定義域相對(duì)于原點(diǎn)不對(duì)稱因此，函數(shù)f(x )是非奇非偶函數(shù)的(2)函數(shù)的定義域?yàn)閤|x0，關(guān)于原點(diǎn)為對(duì)稱，x0表示-x0，f(-x)=x2-2x-1=-f(x )，對(duì)于x0，-x0，f(-x)=-x2-2x 1=-f(x )。f(-x)=-f(x )，即函數(shù)f(x )是奇函數(shù)。(3)解法1 :原因由于-2x2并且x0，所以，函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。f(x)=，此外，f(-x)=-、f(-x)=-f(x

9、)，即函數(shù)f(x )是奇函數(shù)。解法2 :求函數(shù)f(x )的定義域是-2，0 0，2。如果將簡(jiǎn)并性函數(shù)f(x )進(jìn)行化，則f(x)=、y1=x是奇函數(shù)，y2=是偶函數(shù)，得到的f(x)=奇函數(shù)。方法技巧判斷函數(shù)奇數(shù)性的方法1 .定義方法：利用奇、偶函數(shù)的定義或定義的等價(jià)形式：=1(f(x)0 )判斷函數(shù)的偶性2 .圖像法：利用函數(shù)圖像的對(duì)稱性判斷函數(shù)的奇數(shù)性3 .驗(yàn)證法：即判斷f(x)f(-x )是否為0。4 .性質(zhì)法：設(shè)f(x )、g(x )的定義域分別為D1、D2時(shí)，對(duì)于它們的共同定義域，有如下結(jié)論。沖關(guān)適合訓(xùn)練1.(2018廣東模擬)以下函數(shù)中，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是()A.y=B.y

10、=xC.y=2x D.y=x ex答案d解析容易度y=和y=2x是偶函數(shù)，y=x是奇函數(shù)。2 .確定以下函數(shù)的奇偶性1)f(x)=；2)f(x)=得到的函數(shù)的定義域是(-1，0 )(0，1 )，所以f(x)=-。因?yàn)閒(-x)=-=-=f(x )，所以f(x )是一個(gè)偶函數(shù)。(2)x0時(shí)，-x0時(shí)f(-x)=-(-x)2-x=-(x2 x)=-f(x )。在x0的情況下，-x0，f(-x)=(-x)2-x=-(-x2 x)=-f(x )。另外，因?yàn)閒(0)=0，所以對(duì)于任意的x(-，)，都有f(-x)=-f(x )，f(x )是奇函數(shù)。問(wèn)題型二函數(shù)奇性的應(yīng)用角度1已知函數(shù)奇偶校驗(yàn)評(píng)估已知(20

11、18湖南質(zhì)量檢驗(yàn)) f(x )，其中，g(x )分別是在r中定義的偶函數(shù)和奇函數(shù)，如果f(x)-g(x)=x3 x2 1，則為f(1)A.-3B.-1C.1D.3戰(zhàn)斗機(jī)本問(wèn)題使用轉(zhuǎn)換法將f(x)-g(x )轉(zhuǎn)換為f(x)-g(x )。答案c分析- f (x )-g (x )=x3x21，f(-x)-g(-x)=-x3 x2 1，從問(wèn)題的意思可以看出來(lái)求角度2已知函數(shù)的奇性解析式對(duì)函數(shù)y=f(x)(xR )進(jìn)行偶函數(shù)整并且取x-r，并且在滿足f=f的情況下，對(duì)于x-2，3，f(x)=x，則取x。A.|x 4|B.|2-x|C.2 |x 1|D.3-|x 1|利用函數(shù)周期性耦合奇性變換求解答案d由

12、于分析x-r滿足f=f、f(x 2)=f(x )，所以y=f (x ) (x-r )是周期2的函數(shù)。角度3已知函數(shù)求奇數(shù)性殘奧表(2017安徽蚌埠二型)函數(shù)f(x)=奇函數(shù)的話，實(shí)數(shù)a=_ _ _ _ _ _ .根據(jù)f(x) f(-x)=0，可以用保留系數(shù)法解決，本問(wèn)題也可以利用代入法。答案-2解析解法1 :函數(shù)的定義域是x|x0、f(x)=x a 2。因?yàn)楹瘮?shù)f(x )是奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x )、即，-x- a 2=-=-x-(a 2)，a 2=-(a 2)，即，如果a 2=0，則a=-解法2 :從題意中得知f(1)=-f(-1 )，即3(a 1)=a-1，得到a=-2。如果將a

13、=-2代入f(x )的關(guān)解析式字，則驗(yàn)證f(x)=、任何x(-、0)(0，)滿足f(x )角度四函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用在(2017合肥三型) r中定義的函數(shù)y=f(x )在(-，a )中是增函數(shù)，函數(shù)y=f(x a )是偶函數(shù)，是x1a，|x1-a一個(gè)f，兩個(gè)f，一個(gè)f，兩個(gè)f由于可獲得C.f(x1)0向右移位的函數(shù)y=f(x )的圖像，所以函數(shù)y=f(x )的圖像對(duì)于直線x=a對(duì)稱，并且在此，函數(shù)y=f(x )表示等于(a， )方法技巧1 .使用函數(shù)的奇數(shù)轉(zhuǎn)變函數(shù)值的方法將求出的函數(shù)值以f(-x)=f(x )或f(-x)=-f(x )轉(zhuǎn)換為已知區(qū)間上的函數(shù)值來(lái)求出。2 .利用函數(shù)的奇數(shù)性求解析式

14、的策略將求出區(qū)間上的參數(shù)變換為已知區(qū)間，利用奇偶校驗(yàn)求出，或者活用奇偶校驗(yàn)結(jié)構(gòu)的與f(x )有關(guān)的方程式(組)，從而得到f(x )的解析式.3 .使用函數(shù)的奇數(shù)性來(lái)獲得解析式中的殘奧儀表值的方法用未定系數(shù)法求解，從f(x)f(-x)=0得到與包含要求出的殘奧參數(shù)的x相關(guān)的常數(shù)式，從恒等性得到滿足要求出的殘奧參數(shù)的方程式(組)并求解.4 .函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用題的常見(jiàn)類型和解題策略(1)函數(shù)單調(diào)性和奇數(shù)性的結(jié)合.函數(shù)單調(diào)性和奇數(shù)性的定義，以及奇數(shù)、雙位數(shù)函數(shù)圖像的對(duì)稱性的留心(2)周期性和奇數(shù)性結(jié)合。這樣的問(wèn)題在很多情況下，調(diào)查評(píng)價(jià)問(wèn)題，利用奇數(shù)性和周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將求出的函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)換為已知解

15、析式的函數(shù)定義域來(lái)解決(3)周期性、奇數(shù)性和單調(diào)性的結(jié)合。為了解決這樣的問(wèn)題，通常是利用周期性來(lái)變換有自變量的區(qū)間，然后利用奇數(shù)性和單調(diào)性來(lái)解決沖關(guān)適合訓(xùn)練1.(2017河南模擬)已知的f(x )是定義為r的奇函數(shù)，x0時(shí)f(x)=3x m(m為常數(shù))，f(-log35 )的值為()A.4B.-4C.6D.-6答案b解析f(x )是在r中定義的奇函數(shù)，并且在x0的情況下，f(x)=3x m。f(0)=0，即m=-1。f(x)=3x-1(x0 )。選擇f (-log 35 )=-f (log 35 )=-(3log 35-1 )=-(5-1)=-4.b2 .已知的f(x )是在r上定義的奇函數(shù)，在x0的情況下，f(x)=x2 2x，在f(2-a2)f(a )的情況下，實(shí)數(shù)a的取值的范圍為()a.(-1)(2，) b.(-1，2，2 )c.(-2，1 ) d.(-、-2)(1，)答案c當(dāng)解析- f(x )為奇函數(shù)、x0時(shí)，f(x)=-x2 2x .作成函數(shù)f(x )的概略圖如圖中實(shí)線所示，可知耦合圖是f(x )為r以上的增函數(shù)，f (x )為r以上的增函數(shù)。A.-2B.-1C.0D.2戰(zhàn)斗機(jī)本問(wèn)題綜合求解奇數(shù)性、周期性答案d在分析為x的情況下，