2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 不等式選講 第69講 絕對值不等式學(xué)案

1、第69講絕對值不等式考綱要求考情分析命題趨勢1.理解絕對值的幾何意義，并能利用含絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：(1).(2).2會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：c，c，c.2017全國卷，232016全國卷，242016全國卷，242016江蘇卷，21(D)解絕對值不等式是本部分在高考中的重點(diǎn)考查內(nèi)容，其中以解含有兩個絕對值的不等式為主.分值：510分1絕對值三角不等式定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)_ab0_時，等號成立定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)_(ac)(cb)0_時，等號成立2含絕對值不等式的解法(1)含絕對值的不等式a，a的解集不等式a0a

2、0a0a_x|axa_a_x|xa或xa_x|xR且x0_R_(2)c(c0)和c(c0)型不等式的解法ccaxbc；caxbc或axbc.1思維辨析(在括內(nèi)打“”或打“”)(1)對當(dāng)且僅當(dāng)ab0時等號成立()(2)對當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立()(3)對當(dāng)且僅當(dāng)ab0時等號成立()(4)c的解等價于caxbc.()(5)不等式2的解集為.()2設(shè)ab0，a，bR，那么正確的是(C)ABCD解析 由ab0，得a，b異號，易知|ab|ab|，|ab|a|b|，|ab|a|b|，C項成立，A，B，D項均不成立3不等式13的解集為(D)A(0,2)B(2,0)(2,4)C(4,0)D(4，2)(0,2)解析

3、 1|x1|31x13或3x110x2或4x2.4不等式|2x1|23x的解集是(C)ABCD解析 |2x1|23x3x22x123xx.5若不等式|3xb|4的解集中的整數(shù)有且僅有1,2,3，則b的取值范圍為_(5,7)_解析 由|3xb|4得43xb4，即x，不等式|3xb|4的解集中的整數(shù)有且僅有1,2,3，則5b7.一絕對值不等式的解法解含絕對值的不等式時，若兩個絕對值中x的系數(shù)為1(或可化為1)，可選用幾何法或圖象法求解較為簡單若x的系數(shù)不全為1，則選用零點(diǎn)分段討論法求解，同時注意端點(diǎn)值的取舍【例1】 解不等式|x1|x2|5.解析 將原不等式轉(zhuǎn)化為|x1|x2|50，令f(x)|x

4、1|x2|5，則f(x)作出函數(shù)的圖象，如圖所示由圖可知，當(dāng)x(，32，)時，y0，原不等式的解集為(，32，)二絕對值不等式的證明(1)利用絕對值的定義去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為普通不等式再證明(2)利用三角不等式|a|b|ab|a|b|進(jìn)行證明(3)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行證明【例2】 設(shè)aR，函數(shù)f(x)ax2xa(1x1)，若|a|1，求證：|f(x)|.證明 方法一1x1，|x|1.又|a|1，|f(x)|a(x21)x|a(x21)|x|x21|x|1|x|2|x|2.方法二設(shè)g(a)f(x)ax2xa(x21)ax.1x1，當(dāng)x1，即x210時，|f(x)|g(a)|1；當(dāng)1x1

5、，即x210時，g(a)ax2xa是單調(diào)遞減函數(shù)|a|1，1a1，g(a)maxg(1)x2x12；g(a)ming(1)x2x12.g(a)，|f(x)|g(a)|.三絕對值不等式的綜合應(yīng)用對于求y|xa|xb|或y|xa|xb|型的最值問題利用絕對值三角不等式更方便形如y|xa|xb|的函數(shù)只有最小值，形如y|xa|xb|的函數(shù)既有最大值又有最小值【例3】 已知函數(shù)f(x)|2x1|2x3|a.(1)當(dāng)a0時，解不等式f(x)6；(2)若不等式f(x)3a2對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析 (1)當(dāng)a0時，求得f(x)由f(x)6x1或x2.所以不等式的解集是(，12，)(2)因

6、為|2x1|2x3|(2x1)(2x3)|4.所以f(x)min4a，要使f(x)3a2對一切實(shí)數(shù)x恒成立，只要4a3a2，解得1a.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【例4】 (2017全國卷)已知函數(shù)f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)當(dāng)a1時，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范圍解析 (1)當(dāng)a1時，不等式f(x)g(x)等價于x2x|x1|x1|40.當(dāng)x1時，式化為x2x40，從而1x.所以f(x)g(x)的解集為.(2)當(dāng)x1,1時，g(x)2.所以f(x)g(x)的解集包含1,1，等價于當(dāng)x1,1時，f(x)2.又f(

7、x)在1,1的最小值必為f(1)與f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1.故a的取值范圍是1,11解不等式|x3|2x1|1.解析 當(dāng)x3時，原不等式化為(x3)(12x)1，解得x10，x3.當(dāng)3x時，原不等式化為(x3)(12x)1，解得x，3x.x，原不等式化為(x3)(2x1)1，解得x2，x2.故原不等式的解集為.2(2016全國卷)已知函數(shù)f(x)|2xa|a.(1)當(dāng)a2時，求不等式f(x)6的解集；(2)設(shè)函數(shù)g(x)|2x1|，當(dāng)xR時，f(x)g(x)3，求a的取值范圍解析 (1)當(dāng)a2時，f(x)|2x2|2，解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解

8、集為.(2)當(dāng)xR時，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a，當(dāng)x時等號成立，所以當(dāng)xR時，f(x)g(x)3等價于|1a|a3.當(dāng)a1時，等價于1aa3，無解當(dāng)a1時，等價于a1a3，解得a2.所以a的取值范圍是2，)3(2018陜西西安模擬)已知函數(shù)f(x)|2x1|，xR.(1)解不等式f(x)|x|1；(2)若對于x，yR，有|xy1|，|2y1|，求證：f(x)1.解析 (1)f(x)0，當(dāng)x0，得x0，無解；當(dāng)0x時，x(2x1)10，得x0，0時，x(2x1)10，得x2，x2，故不等式f(x)|x|1的解集為x|0x2(2)證明：f(x)|2x1|2(

9、xy1)(2y1)|2|xy1|2y1|20.(1)當(dāng)a1時，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍解析 (1)當(dāng)a1時，f(x)1化為|x1|2|x1|10.當(dāng)x1時，不等式化為x40，無解；當(dāng)1x0，解得x0，解得1x1的解集為.(2)由題設(shè)可得f(x)所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點(diǎn)分別為A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面積為(a1)2.由題設(shè)得(a1)26，故a2.所以a的取值范圍為(2，)易錯點(diǎn)不能正確處理好整體與個體的關(guān)系錯因分析：先由已知求得x和y的取值范圍，再代入求證，致使取值范圍擴(kuò)大造成錯誤

10、【例1】 已知，求證：.證明 設(shè)m(xy)n(2xy)xy，則解得.【跟蹤訓(xùn)練1】 (2016江蘇卷)設(shè)a0，求證：a.證明 因為|x1|，|y2|，所以|2xy4|2(x1)(y2)|2|x1|y2|2a.課時達(dá)標(biāo)第69講解密考綱對本考點(diǎn)的考查以填空題和解答題為主，填空題主要涉及絕對值不等式的解法和柯西不等式的應(yīng)用等，解答題涉及含有兩個絕對值的問題，難度中等1已知f(x)|x1|x2|，g(x)|x1|xa|a(aR)(1)解不等式f(x)5；(2)若不等式f(x)g(x)恒成立，求a的取值范圍解析 (1)f(x)|x1|x2|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點(diǎn)到1和2對應(yīng)點(diǎn)的距離之和，而2對應(yīng)點(diǎn)到1和2

11、對應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于5,3對應(yīng)點(diǎn)到1和2對應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于5，故不等式f(x)5的解集為2,3(2)若不等式f(x)g(x)恒成立，即|x2|xa|a恒成立而|x2|xa|(2x)(xa)|a2|，(|x2|xa|)min|a2|，|a2|a，a0或解得a1，故a的取值范圍為(，12設(shè)f(x)|x1|xa|.(1)若a1，解不等式f(x)3；(2)若對任意的xR，f(x)4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析 (1)當(dāng)a1時，f(x)|x1|x1|其圖象如下根據(jù)圖象易得f(x)3的解集為.(2)由于f(x)|x1|xa|x1|ax|a1|，對任意的xR，f(x)4等價于|a1|4，解得a5或a3

12、，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，35，)3已知函數(shù)f(x)|x2|2xa|，aR.(1)當(dāng)a3時，解不等式f(x)0；(2)當(dāng)x(，2)時，f(x)0，即|x2|2x3|0，等價于或或解得1x或x或無解原不等式的解集為.(2)當(dāng)x(，2)時，f(x)2x|2xa|，f(x)2x，即2xa2x或2xax2，即ax2恒成立，x2，a4.故a的取值范圍是4，)4設(shè)對于任意實(shí)數(shù)x，不等式|x7|x1|m恒成立(1)求m的取值范圍；(2)當(dāng)m取最大值時，解關(guān)于x的不等式|x3|2x2m12.解析 (1)設(shè)f(x)|x7|x1|，則有f(x)當(dāng)x8，當(dāng)7x1時，f(x)8，當(dāng)x1時，f(x)8.綜上，f(x)有最小值8，所以m8，故m的取值范圍為(，8(2)當(dāng)m取最大值時，m8.原不等式等價于|x3|2x4，等價于或等價于x3或x3.所以原不等式的解集為.5(2017全國卷)已知函數(shù)f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范圍解析 (1)f(x)當(dāng)x2時，由f(x)1解得x2.所以f(x)1的解集為x|x1(2)由f(x)x2xm得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2，故m的