2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選修部分 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 理

1、坐標(biāo)系與參數(shù)方程第一節(jié) 坐 標(biāo) 系本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1.平面直角坐標(biāo)系下圖形的伸縮變換；2.極坐標(biāo)系.突破點(diǎn)(一)平面直角坐標(biāo)系下圖形的伸縮變換設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P(x，y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱伸縮變換1判斷題(1)平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P(2,3)在變換：的作用下得到的點(diǎn)為P(1,1)()(2)已知伸縮變換：經(jīng)變換得到點(diǎn)A(2,4)，則原來(lái)點(diǎn)的坐標(biāo)為A(4，2)()答案：(1)(2)2填空題(1)直線l：x2y30經(jīng)過(guò)：變換后得到的直線l方程為_解析：設(shè)l上的任一點(diǎn)P(x，y)由題得代入x2y30得x

2、y30，直線l的方程為xy30.答案：xy30(2)已知平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A(2,4)經(jīng)過(guò)變換后得A的坐標(biāo)為，則伸縮變換為_解析：設(shè)伸縮變換：則有解得：答案：平面直角坐標(biāo)系下圖形的伸縮變換典例求雙曲線C：x21經(jīng)過(guò)：變換后所得曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)解設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)，由題意，將代入x21得1，化簡(jiǎn)得1，即1為曲線C的方程，可見經(jīng)變換后的曲線仍是雙曲線，則所求焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)方法技巧應(yīng)用伸縮變換公式時(shí)的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)曲線的伸縮變換是通過(guò)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)的伸縮變換實(shí)現(xiàn)的，解題時(shí)一定要區(qū)分變換前的點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)與變換后的點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)，再利用伸縮變換

3、公式建立聯(lián)系(2)已知變換后的曲線方程f(x，y)0，一般都要改寫為方程f(x，y)0，再利用換元法確定伸縮變換公式1求直線l：y6x經(jīng)過(guò)：變換后所得到的直線l的方程解：設(shè)直線l上任意一點(diǎn)P(x，y)，由題意，將代入y6x得2y6，所以yx，即直線l的方程為yx.2在同一平面直角坐標(biāo)系中，將直線x2y2變成直線2xy4，求滿足圖象變換的伸縮變換解：設(shè)變換為代入第二個(gè)方程，得2xy4，與x2y2比較系數(shù)得1，4，即因此，經(jīng)過(guò)變換后，直線x2y2變成直線2xy4.3在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)伸縮變換后，曲線C：x2y236變?yōu)楹畏N曲線，并求曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)解：設(shè)圓x2y236上任一點(diǎn)為P(x，y)

4、，伸縮變換后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x，y)，則所以4x29y236，即1.所以曲線C在伸縮變換后得橢圓1，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)突破點(diǎn)(二)極坐標(biāo)系 1極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系如圖所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，點(diǎn)O叫做極點(diǎn)，自極點(diǎn)O引一條射線Ox，Ox叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系(2)極坐標(biāo)一般地，沒(méi)有特殊說(shuō)明時(shí)，我們認(rèn)為0，可取任意實(shí)數(shù)(3)點(diǎn)與極坐標(biāo)的關(guān)系一般地，極坐標(biāo)(，)與(，2k)(kZ)表示同一個(gè)點(diǎn)，特別地，極點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0，)(R)，和直角坐標(biāo)不同，平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無(wú)數(shù)種表示如果規(guī)定0,02，

5、那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)(，) 表示；同時(shí)，極坐標(biāo)(，)表示的點(diǎn)也是唯一確定的2極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化點(diǎn)M直角坐標(biāo)(x，y)極坐標(biāo)(，)互化公式1判斷題(1)圓心在極軸上的點(diǎn)(a,0)處，且過(guò)極點(diǎn)O的圓的極坐標(biāo)方程為2asin .()(2)tan 1與表示同一條曲線()(3)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(，)，那么它的極坐標(biāo)可表示為.()答案：(1)(2)(3)2.填空題(1)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1，)，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)為_解析：因?yàn)辄c(diǎn)P(1，)在第四象限，與原點(diǎn)的距離為2，且OP與x軸所成的角為，所以點(diǎn)P的極坐標(biāo)為.答案：(2)在極坐標(biāo)系中，圓2cos 在點(diǎn)M(2,0)處的切線的極坐標(biāo)方程為

6、_解析：如圖，2cos ，22cos ，化為直角坐標(biāo)方程為x2y22x.由圖象可知圓在點(diǎn)M(2,0)處的切線的直角坐標(biāo)方程為x2，即cos 2.答案：cos 2(3)在極坐標(biāo)系中A，B兩點(diǎn)間的距離為_解析：法一：在極坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)如圖所示，|AB|OA|OB|6.法二：A，B的直角坐標(biāo)為A(1，)，B(2,2)|AB|6.答案：6(4)圓5cos 5sin 的圓心的極坐標(biāo)為_解析：將方程 5cos 5sin 兩邊都乘以得：25cos 5sin ，化成直角坐標(biāo)方程為x2y25x5y0.圓心的坐標(biāo)為，化成極坐標(biāo)為.答案：(答案不唯一)(5)在極坐標(biāo)系中，直線sin2被圓4截得的弦長(zhǎng)為_解析：

7、直線sin2可化為xy20，圓4可化為x2y216，由圓中的弦長(zhǎng)公式得224.答案：4極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化1極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的步驟第一步判斷極坐標(biāo)的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)是否重合，且極軸與x軸正半軸是否重合，若上述兩個(gè)都重合，則極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程可以互化第二步通過(guò)極坐標(biāo)方程的兩邊同乘或同時(shí)平方構(gòu)造cos ，sin ，2的形式，一定要注意變形過(guò)程中方程要保持同解，不要出現(xiàn)增解或漏解第三步根據(jù)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式及2x2y2將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程2直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程或直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(1)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程較為簡(jiǎn)單，只需將直角坐

8、標(biāo)方程中的x，y分別用cos ，sin 代替即可得到相應(yīng)極坐標(biāo)方程(2)求直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)(x，y)對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)的一般步驟： 例1在極坐標(biāo)系下，已知圓O：cos sin 和直線l：sin.(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)(0，)時(shí)，求直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)解(1)圓O：cos sin ，即2cos sin ，圓O的直角坐標(biāo)方程為：x2y2xy，即x2y2xy0，直線l：sin，即sin cos 1，則直線l的直角坐標(biāo)方程為：yx1，即xy10.(2)由得則直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為.方法技巧1應(yīng)用互化公式的三個(gè)前提條件(1)取直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)(2)以x軸的正半軸

9、為極軸(3)兩種坐標(biāo)系規(guī)定相同的長(zhǎng)度單位2直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)根據(jù)終邊相同的角的意義，角的表示方法具有周期性，故點(diǎn)M的極坐標(biāo)(，)的形式不唯一，即一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無(wú)窮多個(gè)當(dāng)限定0，0,2)時(shí)，除極點(diǎn)外，點(diǎn)M的極坐標(biāo)是唯一的(2)當(dāng)把點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，求極角應(yīng)注意判斷點(diǎn)M所在的象限(即角的終邊的位置)，以便正確地求出角(0,2)的值極坐標(biāo)方程的應(yīng)用例2(2018安徽合肥模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為4cos .(1)求出圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)已知圓C與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，直線l：y2x關(guān)于點(diǎn)M(0

10、，m)(m0)對(duì)稱的直線為l.若直線l上存在點(diǎn)P使得APB90，求實(shí)數(shù)m的最大值解(1)由4cos 得24cos ，即x2y24x0，故圓C的直角坐標(biāo)方程為x2y24x0.(2)l：y2x關(guān)于點(diǎn)M(0，m)對(duì)稱的直線l的方程為y2x2m，而AB為圓C的直徑，故直線l上存在點(diǎn)P使得APB90的充要條件是直線l與圓C有公共點(diǎn)，故2，解得2m2，于是，實(shí)數(shù)m的最大值為2.易錯(cuò)提醒用極坐標(biāo)系解決問(wèn)題時(shí)要注意題目中的幾何關(guān)系，如果幾何關(guān)系不容易通過(guò)極坐標(biāo)表示時(shí)，可以先化為直角坐標(biāo)方程，將不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題加以解決1.已知直線l的極坐標(biāo)方程為2sin，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為A，求點(diǎn)A到直線l的距離解：由

11、2sin，得2，由坐標(biāo)變換公式，得直線l的直角坐標(biāo)方程為yx1，即xy10.由點(diǎn)A的極坐標(biāo)為得點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(2，2)，所以點(diǎn)A到直線l的距離d.2.在極坐標(biāo)系中，直線C1的極坐標(biāo)方程為sin 2，M是C1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在射線OM上，且滿足|OP|OM|4，記點(diǎn)P的軌跡為C2.(1)求曲線C2的極坐標(biāo)方程；(2)求曲線C2上的點(diǎn)到直線C3：cos的距離的最大值解：(1)設(shè)P(，)，M(1，)，依題意有1sin 2，14.消去1，得曲線C2 的極坐標(biāo)方程為2sin (0)(2)將C2，C3的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，得C2：x2(y1)21，C3：xy2.C2是以點(diǎn)(0,1)為圓心，以1為

12、半徑的圓(坐標(biāo)原點(diǎn)除外)圓心到直線C3的距離d，故曲線C2上的點(diǎn)到直線C3距離的最大值為1.全國(guó)卷5年真題集中演練明規(guī)律1(2017全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos 4.(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM|OP|16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線C2上，求OAB面積的最大值解：(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(，)(0)，M的極坐標(biāo)為(1，)(10)由題設(shè)知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16，得C2的極坐標(biāo)方程4cos (0)因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y2

13、4(x0)(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(B，)(B0)，由題設(shè)知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面積S|OA|BsinAOB4cos 22.當(dāng)時(shí)，S取得最大值2.所以O(shè)AB面積的最大值為2.2(2016全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a0)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：4cos .(1)說(shuō)明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為0，其中0滿足tan 02，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a.解：(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2(y1)2a2，則C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓將

14、xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為22sin 1a20.(2)曲線C1，C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組若0，由方程組得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，從而1a20，解得a1(舍去)或a1.當(dāng)a1時(shí)，極點(diǎn)也為C1，C2的公共點(diǎn)，且在C3上所以a1.課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè) 1在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，圓心為直線sin與極軸的交點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程解：在sin中，令0，得1，所以圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，所以圓C的半徑PC 1，于是圓C過(guò)極點(diǎn)，所以圓C的極坐標(biāo)方程為2cos .2設(shè)M，N分

15、別是曲線2sin 0和sin上的動(dòng)點(diǎn)，求M，N的最小距離解：因?yàn)镸，N分別是曲線2sin 0和sin上的動(dòng)點(diǎn)，即M，N分別是圓x2y22y0和直線xy10上的動(dòng)點(diǎn)，要求M，N兩點(diǎn)間的最小距離，即在直線xy10上找一點(diǎn)到圓x2y22y0的距離最小，即圓心(0，1)到直線xy10的距離減去半徑，故最小值為11.3(2018揚(yáng)州質(zhì)檢)求經(jīng)過(guò)極點(diǎn)O(0,0)，A，B三點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程解：點(diǎn)O，A，B的直角坐標(biāo)分別為(0,0)，(0,6)，(6,6)，故OAB是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形，圓心為(3,3)，半徑為3，圓的直角坐標(biāo)方程為(x3)2(y3)218，即x2y26x6y0，將xcos ，ys

16、in 代入上述方程，得26(cos sin )0，即6cos.4(2018山西質(zhì)檢)在極坐標(biāo)系中，曲線C的方程為2，點(diǎn)R.(1)以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，把曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，R點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)；(2)設(shè)P為曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，以PR為對(duì)角線的矩形PQRS的一邊垂直于極軸，求矩形PQRS周長(zhǎng)的最小值，及此時(shí)P點(diǎn)的直角坐標(biāo)解：(1)曲線C：2，即222sin23，從而2sin21.xcos ，ysin ，曲線C的直角坐標(biāo)方程為y21，點(diǎn)R的直角坐標(biāo)為R(2,2)(2)設(shè)P(cos ，sin )，根據(jù)題意可得|PQ|2cos ，|QR|2sin ，|P

17、Q|QR|42sin，當(dāng)時(shí)，|PQ|QR|取最小值2，矩形PQRS周長(zhǎng)的最小值為4，此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為.5(2018南京模擬)已知直線l：sin4和圓C：2kcos(k0)，若直線l上的點(diǎn)到圓C上的點(diǎn)的最小距離等于2.求實(shí)數(shù)k的值并求圓心C的直角坐標(biāo)解：圓C的極坐標(biāo)方程可化為kcos ksin ，即2kcos ksin ，所以圓C的直角坐標(biāo)方程為x2y2kxky0，即22k2，所以圓心C的直角坐標(biāo)為.直線l的極坐標(biāo)方程可化為sin cos 4，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為xy40，所以|k|2.即|k4|2|k|，兩邊平方，得|k|2k3，所以或解得k1，故圓心C的直角坐標(biāo)為.6已知曲線C的極

18、坐標(biāo)方程是sin28cos 0，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.在直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線l過(guò)點(diǎn)(2,0)(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q和點(diǎn)G的極坐標(biāo)分別為，(2，)，若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，且與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求GAB的面積解：(1)曲線C的極坐標(biāo)方程化為2sin28cos 0，再化為直角坐標(biāo)方程為y28x.直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(2)點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)為(0，2)因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)P(2,0)和Q(0，2)，所以直線l的傾斜角.所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))將l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，得28.

19、整理，得t28t320.(8)24322560.設(shè)t1，t2為方程t28t320的兩個(gè)根，則t1t28，t1t232，所以|AB|t1t2|16.由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式得點(diǎn)G的直角坐標(biāo)為(2,0)點(diǎn)G到直線l的距離為d|PG|sin 4542，所以SGABd|AB|16216.7(2018貴州聯(lián)考)已知在一個(gè)極坐標(biāo)系中點(diǎn)C的極坐標(biāo)為.(1)求出以C為圓心，半徑長(zhǎng)為2的圓的極坐標(biāo)方程(寫出解題過(guò)程)；(2)在直角坐標(biāo)系中，以圓C所在極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P是圓C上任意一點(diǎn)，Q(5，)，M是線段PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡的普通方程解：(1

20、)如圖，設(shè)圓C上任意一點(diǎn)A(，)，則AOC或.由余弦定理得，424cos4，所以圓C的極坐標(biāo)方程為4cos.(2)在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，)，可設(shè)圓C上任意一點(diǎn)P(12cos ，2sin )，又令M(x，y)，由Q(5，)，M是線段PQ的中點(diǎn)，得點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù))，即(為參數(shù))，點(diǎn)M的軌跡的普通方程為(x3)2y21.8在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2是圓心在極軸上且經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的圓，射線與曲線C2交于點(diǎn)D.(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)已知極坐標(biāo)系中兩點(diǎn)A(1，0)，B

21、，若A，B都在曲線C1上，求的值解：(1)C1的參數(shù)方程為C1的普通方程為y21.由題意知曲線C2的極坐標(biāo)方程為2acos (a為半徑)，將D 代入，得22a，a2，圓C2的圓心的直角坐標(biāo)為(2,0)，半徑為2，C2的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24.(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為2sin21，即2.，.第二節(jié) 參數(shù)方程本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1.參數(shù)方程；2.參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合問(wèn)題.突破點(diǎn)(一)參數(shù)方程1參數(shù)方程一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)：并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，那么方程就叫做這條曲線的參

22、數(shù)方程，變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程2直線、圓、橢圓的參數(shù)方程(1)過(guò)點(diǎn)M(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(2)圓心在點(diǎn)M0(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))(3)橢圓1(ab0)的參數(shù)方程為(為參數(shù))1判斷題(1)參數(shù)方程(t為參數(shù))所表示的圖形是直線()(2)直線yx與曲線(為參數(shù))的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.()答案：(1)(2)2填空題(1)若直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則直線的斜率為_解析：，tan .答案：(2)橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，過(guò)左焦點(diǎn)F1的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|m

23、in_.解析：由(為參數(shù))得，1，當(dāng)ABx軸時(shí)，|AB|有最小值|AB|min2.答案：(3)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，則曲線C的普通方程為_解析：由(為參數(shù))消去參數(shù)得y2x2(1x1)答案：y2x2(1x1)(4)橢圓(為參數(shù))的離心率為_解析：由橢圓的參數(shù)方程可知a5，b2.故c，故橢圓的離心率e.答案：參數(shù)方程與普通方程的互化1參數(shù)方程化為普通方程基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有：代入消元法；加減消元法；恒等式(三角的或代數(shù)的)消元法；平方后再加減消元法等其中代入消元法、加減消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2cos21等2普通方程化為參數(shù)方程(1)

24、選擇參數(shù)的一般原則曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系比較明顯且關(guān)系相對(duì)簡(jiǎn)單；當(dāng)參數(shù)取某一值時(shí)，可以唯一確定x，y的值；(2)解題的一般步驟第一步，引入?yún)?shù)，但要選定合適的參數(shù)t；第二步，確定參數(shù)t與變量x或y的一個(gè)關(guān)系式xf(t)(或y(t); 第三步，把確定的參數(shù)與一個(gè)變量的關(guān)系式代入普通方程F(x，y)0，求得另一關(guān)系yg(t)(或x(t)，問(wèn)題得解例1將下列參數(shù)方程化為普通方程(1)(t為參數(shù))；(2)(為參數(shù))解(1)221，x2y21.t210，t1或t1.又x，x0.當(dāng)t1時(shí)，0x1，當(dāng)t1時(shí)，1x0，故可設(shè)t1，t2是上述方程的兩實(shí)根，所以又直線l過(guò)點(diǎn)P(3，)，故由上式及t的幾何

25、意義得|PA|PB|t1|t2|t1t23.2.(2018鄭州模擬)將曲線C1：x2y21上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)得到曲線C2，A為C1與x軸正半軸的交點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且傾斜角為30，記l與曲線C1的另一個(gè)交點(diǎn)為B，與曲線C2在第一、三象限的交點(diǎn)分別為C，D.(1)寫出曲線C2的普通方程及直線l的參數(shù)方程；(2)求|AC|BD|.解：(1)由題意可得C2：y21，對(duì)曲線C1，令y0，得x1，所以l：(t為參數(shù))(2)將代入y21，整理得5t24t40.設(shè)點(diǎn)C，D對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t2，且|AC|t1，|AD|t2.又|AB|2|OA|cos 30，故|AC

26、|BD|AC|(|AD|AB|)|AC|AD|AB|t1t2.突破點(diǎn)(二)參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合問(wèn)題 將極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程、普通方程交織在一起，考查極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用.將各類方程相互轉(zhuǎn)化是求解該類問(wèn)題的前提.,解決問(wèn)題時(shí)要注意：,(1)解題時(shí)，易將直線與圓的極坐標(biāo)方程混淆.要熟練掌握特殊直線、圓的極坐標(biāo)方程的形式.,(2)應(yīng)用解析法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意選取直角坐標(biāo)系還是極坐標(biāo)系，建立極坐標(biāo)系要注意極點(diǎn)、極軸位置的選擇，注意點(diǎn)和極坐標(biāo)之間的“一對(duì)多”關(guān)系.,(3)求曲線方程，常設(shè)曲線上任意一點(diǎn)P(，)，利用解三角形的知識(shí)，列出等量關(guān)系式，特別是正弦、余弦定理的應(yīng)用.圓的參數(shù)方

27、程常和三角恒等變換結(jié)合在一起，解決取值范圍或最值問(wèn)題.,(4)參數(shù)方程和普通方程表示同一個(gè)曲線時(shí)，要注意其中x，y的取值范圍，即注意兩者的等價(jià)性.參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合問(wèn)題典例(2018廣東五校協(xié)作體聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin4.(1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)P為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到曲線C2上點(diǎn)的距離的最小值解(1)由曲線C1：得曲線C1的普通方程為y21.由曲線C2：sin4得(sin cos )4，即曲線C2的直角坐標(biāo)方程為xy80.(2)由

28、(1)知橢圓C1與直線C2無(wú)公共點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)P(cos ，sin )到直線xy80的距離為d，所以當(dāng)sin()1時(shí)，d取得最小值.方法技巧處理極坐標(biāo)、參數(shù)方程綜合問(wèn)題的方法(1)涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身特點(diǎn)，確定選擇何種方程(2)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用和的幾何意義，直接求解，能達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的解題目的1已知曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為2sin .(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；(2)求C1

29、與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(0,02)解：(1)將消去參數(shù)t，化為普通方程(x4)2(y5)225，即C1：x2y28x10y160.將代入x2y28x10y160得28cos 10sin 160.所以C1的極坐標(biāo)方程為28cos 10sin 160.(2)C2的普通方程為x2y22y0.由解得或所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，.2(2018南昌十校模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)，2)，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為cost.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)C1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍解：(1)曲線C2的極坐標(biāo)方程為

30、t，曲線C2的直角坐標(biāo)方程為xyt0.(2)曲線C1的普通方程為(x1)2(y1)21(0x2,0y1)，為半圓弧，如圖所示，曲線C2為平行于直線xy0的直線，或?yàn)橹本€xy0，當(dāng)直線C2與曲線C1相切時(shí)，由1，解得t2或t2(舍去)，當(dāng)直線C2過(guò)A，B兩點(diǎn)時(shí)，t1，由圖可知，當(dāng)20，故tan .所以直線l的斜率為.5(2018江西百校聯(lián)盟模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，C1：(t為參數(shù))以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C2：210cos 6sin 330.(1)求C1的普通方程及C2的直角坐標(biāo)方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；(2)若P，Q分別為C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，且|PQ|的最小值為2，求k的值解：(1)由可得其普通方程為yk(x1)，它表示過(guò)定點(diǎn)(1,0)，斜率為k的直線由210cos 6sin 330可得其直角坐標(biāo)方程為x2y210x6y330，整理得(x5)2(y3)21，它表示圓心為(5,3)，半徑為1的圓(2)因?yàn)閳A心(5,