2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 概率 第52講 幾何概型優(yōu)選學(xué)案

1、第五十二講幾何概率考試要求考試分析命題趨勢1.理解隨機(jī)數(shù)的含義，并能夠使用模擬方法來估計(jì)概率。2.理解幾何概率的含義。2017年國家卷一，4江蘇卷2017，72016年國家卷二，8幾何概率主要考察與事件概率和事件區(qū)域的長度、角度、面積和體積有關(guān)的實(shí)際問題，注重?cái)?shù)形結(jié)合的思想和邏輯思維能力。分?jǐn)?shù)：5分1.幾何概率如果一個(gè)事件的概率只與事件區(qū)域的長度(面積或體積)成正比，而與A的形狀和位置無關(guān)，那么這種概率模型就叫做幾何概率模型，簡稱幾何概率模型。2.幾何概率的兩個(gè)特征一個(gè)是無限，也就是說，一個(gè)實(shí)驗(yàn)中基本事件的數(shù)量是無限的；第二，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

2、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _和_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _3.幾何概率中事件A概率的計(jì)算公式P(A)=_。4.隨機(jī)模擬方法(1)通過計(jì)算機(jī)或其他手段進(jìn)行的模擬試驗(yàn)，以便通過這種試驗(yàn)獲得隨機(jī)事件概率的近似值，是模擬方法。(2)用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬實(shí)驗(yàn)的方法是隨機(jī)模擬法。該方法的基本步驟如下：(1)用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)生成一定范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，并賦予每個(gè)隨機(jī)數(shù)一定的含義；

3、2)計(jì)算代表某種意義的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)m和隨機(jī)數(shù)的總數(shù)n；計(jì)算頻率fn (a)=作為獲得概率的近似值。1.思維辨別(在括號中打“”或“)。(1)隨機(jī)模擬方法基于事件的頻率來估計(jì)概率。()(2)在同一環(huán)境中通過兩次隨機(jī)模擬獲得的概率估計(jì)值相等。()(3)在幾何概率中，每個(gè)基本事件都是從一個(gè)特定的幾何區(qū)域中隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，并且該區(qū)域中的每個(gè)點(diǎn)都有相等的被取的機(jī)會(huì)。()(4)幾何概率定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形和三維圖形。()分析(1)是正確的。根據(jù)隨機(jī)模擬方法和幾何概率，這種說法是正確的。(2)錯(cuò)誤。雖然環(huán)境是相同的，但結(jié)果不一定相等，因?yàn)殡S機(jī)模擬得到了一定的頻率。(3)正確。從幾何概率的定義來看，

4、這種說法是正確的。(4)正確。從幾何概率的定義來看，這種說法是正確的。2.從區(qū)間(15，25)中的所有實(shí)數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)實(shí)數(shù)a，該實(shí)數(shù)滿足17 a 20的概率為(c)A.B.C.D.a(15，25)的分析P(17a20)=.3.有一杯2 L的水，其中含有一種細(xì)菌。用一個(gè)小杯子從水中取0.1升的水，在這個(gè)小杯子的水中含有這種細(xì)菌的概率是(攝氏度)A.0.01 B.0.02C.0.05 D.0.1因?yàn)樗臄z入是隨機(jī)的，而且細(xì)菌同樣可能存在于2 L水中的任何地方，所以在小玻璃杯水中含有這種細(xì)菌的概率為p=0.05。4.如果x是-4，4上的隨機(jī)數(shù)，x滿足x2 x-2 0的概率是(b)A.B.C.D.0

5、如果x2 x-2 0-2 x 1，則p=。5.公交車每5分鐘發(fā)車一次，乘客到達(dá)登機(jī)點(diǎn)的時(shí)間是隨機(jī)的，所以他的等待時(shí)間不超過3分鐘的概率是(A)A.B.C.D.分析這個(gè)問題可以看作是將點(diǎn)均勻地拋入?yún)^(qū)間0，5，并找出點(diǎn)落入?yún)^(qū)間2，5的概率。如果A=某個(gè)乘客的等待時(shí)間不超過3分鐘，則P(A)=0。與長度和角度相關(guān)的幾何概率(1)假設(shè)線段l是線段l的一部分，在線段l上拋出一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)落在線段l上的概率為p=0。(2)當(dāng)涉及到射線的旋轉(zhuǎn)時(shí)，如扇形中落點(diǎn)面積的問題，概率應(yīng)以角度作為面積度量來計(jì)算，不能用線段來代替，線段是兩種不同的度量手段。例1 (1)設(shè)A為圓周上的一個(gè)點(diǎn)，并盡可能在圓周上的任意點(diǎn)與A相連

6、，那么弦長超過半徑的概率為(B)A.B.C.D.(2)(江蘇卷2017)函數(shù)f (x)=的定義域是D。如果在區(qū)間-4，5中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則xD的概率是_ _ _ _。(3)甲乙雙方玩一個(gè)轉(zhuǎn)盤游戲(轉(zhuǎn)盤如圖所示，C為弧AB的中點(diǎn))，隨意旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤一次。當(dāng)指針指向交流弧時(shí)，甲方獲勝，同時(shí)指向交流弧。之后，當(dāng)轉(zhuǎn)盤損壞時(shí)，如圖所示，甲方建議連接廣告并取廣告中點(diǎn)E。如果轉(zhuǎn)盤隨意旋轉(zhuǎn)一次，當(dāng)指針指向線段AE時(shí)，甲方獲勝，當(dāng)指針指向線段ed時(shí)，乙方獲勝。然后繼續(xù)游戲，你認(rèn)為游戲在這個(gè)時(shí)候(1)做等腰直角AOC和AMO，其中b是圓中的任意一點(diǎn)，然后當(dāng)b點(diǎn)在上面移動(dòng)時(shí)，弦長| ab | r，P=.(2)從6 x

7、-x2 0，如果解是-2 x 3，那么d=-2，3，那么計(jì)算的概率是=。(3)連接OE，在RtAOD中，AOE=,多伊=，如果轉(zhuǎn)臺隨意旋轉(zhuǎn)一次，指針指向線段AE的概率為P A=，指針指向線段ed的概率為P B=，所以P A為=，所以，所以計(jì)算出的概率為(即長度之比)。1.將半徑為2的圓分成四個(gè)相等的弧，然后將這四個(gè)弧圍成一個(gè)星形，并將它們放入半徑為2的圓中?，F(xiàn)在，把任何一點(diǎn)扔進(jìn)圓圈，這個(gè)點(diǎn)落入星形的概率是(a)A.-1 BC.- D。從分析上講，這是一個(gè)幾何概率計(jì)算問題。星弧的半徑是2，所以該點(diǎn)落入恒星的概率是p=-1。因此，答.2.在區(qū)間-1，1中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，這樣cos在0和0之間的概率是

8、()A.B.C.D.分析上，從區(qū)間-1，1中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)x，由所有測試結(jié)果組成的區(qū)域的長度為2。-1x1,-x.0cos x, x 或-x-，x1或-1 x -。假設(shè)事件A是“cos x的值在0和0之間”，那么對應(yīng)于事件A的區(qū)域的長度是。p(a)=0 .3.在區(qū)間-2，2中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，這樣- 1的概率為_ _。分析上，如果在區(qū)間-2，2中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，那么-2 x 2，滿足不等式| x 1 |-| x-1 | 1的x的值是x1。因?yàn)?2 x 2，-2x2，所以不等式成立的概率為p=。4.如圖所示，1 000顆豆子隨機(jī)分布在邊長為1的正方形中，180顆豆子落入陰影部分，因此陰影部分的面積估

9、計(jì)為0.18。分析表明這是一個(gè)幾何概率問題，=0.18，s正=1，S負(fù)=0.18。錯(cuò)誤分析：對事件中幾何元素的不清楚理解導(dǎo)致錯(cuò)誤的問題解決。示例1 (1)在等腰RtABC中，如果在斜邊AB處取點(diǎn)m，則am AC的概率為_ _ _ _ _。(2)在等腰三角形中，與直角相交的頂點(diǎn)在ACB內(nèi)形成一條射線CM，并與線段AB在M點(diǎn)相交，則AM AC的概率為_ _ _ _ _。解析(1)這是一個(gè)與長度相關(guān)的幾何概率問題。截距交流=交流在AB上，因此p(調(diào)幅交流)=p(調(diào)幅交流)=。(2)這是一個(gè)與角度有關(guān)的幾何概率問題。如果AC=AC在ab上被截獲，則ACC=67.5且ACB=90，則p(am AC)=p

10、(am AC)=。答案(1) (2)跟蹤訓(xùn)練1在區(qū)間0，1中隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)字x和y，記住p1為事件“x y ”的概率，p2為事件“xy”的概率，然后(d)P1 p2 p2 P1C.p2p1 D.p1p2從分析上來說，由(x，y)形成的區(qū)域是邊長為1且內(nèi)部為正方形，其中滿足x，y 的區(qū)域顯示在圖(1)的陰影部分，因此P1=，滿足x y 的區(qū)域顯示在圖(2)的陰影部分，因此p2=所以P1 p2。d .第52課會(huì)議課時(shí)【解密大綱】幾何概率在高考中經(jīng)常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)。首先，選擇題1.如果在區(qū)間-2，3中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)X，則X1的概率為(b)A.B.C.D.解析區(qū)間-2，3的長度為3-(-2)

11、=5，而-2，1的長度為1-(-2)=3，因此滿足條件的概率為p=。2.如果p隨機(jī)取0，5，方程x2 px 1=0關(guān)于x有實(shí)數(shù)根的概率是(c)A.B.C.D.如果解析方程有一個(gè)實(shí)根，=p2-40，解是p2或p2(截?cái)?，那么概率是=。3.如果你取區(qū)間0，2中的任何一個(gè)數(shù)，2x1的概率是(C)A.B.C.D.2sin x1，x0，2的分析，x，。所以選擇c .4.(2017年全國第一卷)如圖所示，正方形ABCD中的數(shù)字來自中國古代的太極圖。正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分相對于正方形的中心是中心對稱的。如果在正方形中隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)從黑色部分取的概率是(b)A.B.C.D.解析地說，如果正

12、方形的邊長是2，正方形的面積是4，正方形內(nèi)切圓的面積是。根據(jù)對稱性，黑色部分的面積是正方形內(nèi)切圓面積的一半，所以黑色部分的面積是。根據(jù)幾何概率的概率公式，概率p=。因此，乙.5.設(shè)不等式組表示的平面面積為D。如果在面積D中隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)到直線Y 2=0的距離大于2的概率為(D)A.B.C.D.通過分析平面面積，我們可以知道平面面積D是以A(4，3)、B (4，2)和C (-6，2)為頂點(diǎn)的三角形面積。當(dāng)該點(diǎn)位于AED區(qū)域時(shí)，從該點(diǎn)到直線Y 2=0的距離大于2。P=。所以選擇d .6.眾所周知，函數(shù)f(x)=x2 bx c，其中0b4，0c4。如果函數(shù)f (x)滿足事件a的條件，事件a發(fā)生的概率為(c)A.B.C.D.通過分析問題的含義，問題所代表的區(qū)域顯示在圖的陰影部分?？梢钥闯鲫幱安糠值拿娣e是8，所以概率是。因此，c .第二，填空7.立方體ABCD-A1B1C1D1的棱柱長度為1。如果在立方體中隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)M，使金字塔M-ABCD的體積小于_ _。分析表明，當(dāng)VM-ABCD=，即11h=時(shí)，解為h=。那么從點(diǎn)m到底部ABCD的距離小于，因此，計(jì)算出的概率p=。8.請記住，由集合a=(x，y) | x2 y2 4