2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 平面解析幾何初步 2.3.2 圓的一般方程學(xué)案（含解析）新人教B版必修2

1、2.3.2圓的一般方程1了解圓的一般方程的特點(diǎn)，會(huì)由一般方程求圓心和半徑(重點(diǎn))2會(huì)根據(jù)給定的條件求圓的一般方程，并能用圓的一般方程解決簡(jiǎn)單問(wèn)題(重點(diǎn))3靈活選取恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ髨A的方程(難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理圓的一般方程閱讀教材P97至P98“例1”以上內(nèi)容，完成下列問(wèn)題1圓的一般方程的概念當(dāng)D2E24F0時(shí)，二元二次方程x2y2DxEyF0叫做圓的一般方程2圓的一般方程對(duì)應(yīng)的圓心和半徑圓的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)表示的圓的圓心為，半徑長(zhǎng)為.3對(duì)方程x2y2DxEyF0的說(shuō)明方程條件圖形x2y2DxEyF0D2E24F0不表示任何圖形D2E24F0表示一個(gè)點(diǎn)x2y2DxEy

2、F0D2E24F0表示以為圓心，以為半徑的圓判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)任何一個(gè)圓的方程都能寫為一個(gè)二元二次方程()(2)圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程可以互化()(3)方程x2y2ax2ay2a2a10表示圓心為，半徑為的圓()(4)若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2y2DxEyF0外，則xyDx0Ey0F0.()【解析】(1)正確圓的方程都能寫成一個(gè)二元二次方程(2)正確圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程是可以互化的(3)錯(cuò)誤當(dāng)a2(2a)24(2a2a1)0，即2a，即xyDx0Ey0F0.【答案】(1)(2)(3)(4)小組合作型圓的一般方程的概念辨析若方程x2y22mx2ym25m0表示圓，求：(

3、1)實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)圓心坐標(biāo)和半徑. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：】【精彩點(diǎn)撥】(1)根據(jù)表示圓的條件求m的取值范圍；(2)將方程配方，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解【自主解答】(1)據(jù)題意知D2E24F(2m)2(2)24(m25m)0，即4m244m220m0，解得m，故m的取值范圍為.(2)將方程x2y22mx2ym25m0寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為(xm)2(y1)215m，故圓心坐標(biāo)為(m,1)，半徑r.解答該類型的題目，一般先看這個(gè)方程是否具備圓的一般方程的特征，當(dāng)它具備圓的一般方程的特征時(shí)，再看它能否表示圓，此時(shí)有兩種途徑，一看D2E24F是否大于零，二是直接配方變形，看方程等號(hào)右端是否為大于零的常數(shù).再練一題

4、1下列方程各表示什么圖形？若表示圓，求其圓心和半徑(1)x2y2x10；(2)x2y22axa20(a0)；(3)2x22y22ax2ay0(a0)【解】(1)D1，E0，F(xiàn)1，D2E24F1430，方程不表示任何圖形(2)D2a，E0，F(xiàn)a2，D2E24F4a24a20，方程表示點(diǎn)(a,0)(3)兩邊同除以2，得x2y2axay0，Da，Ea，F(xiàn)0，a0，D2E24F2a20，方程表示圓，它的圓心為，半徑r|a|.求圓的一般方程 圓C過(guò)點(diǎn)A(1,2)，B(3,4)，且在x軸上截得的弦長(zhǎng)為6，求圓C的方程【精彩點(diǎn)撥】由條件，所求圓的圓心、半徑均不明確，故設(shè)出圓的一般方程，用待定系數(shù)法求解【自主

5、解答】設(shè)所求圓的方程為x2y2DxEyF0.圓過(guò)A(1,2)，B(3,4)，D2EF5，3D4EF25.令y0，得x2DxF0.設(shè)圓C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，x2，則x1x2D，x1x2F.|x1x2|6，(x1x2)24x1x236，即D24F36.由 得D12，E22，F(xiàn)27，或D8，E2，F(xiàn)7.故所求圓的方程為x2y212x22y270，或x2y28x2y70.如果已知條件與圓心和半徑都無(wú)直接關(guān)系，一般采用設(shè)圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求D、E、F.再練一題2已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，1)，求三角形ABC的外接圓的方程【解】設(shè)三角形ABC外接圓的方程為x2y2DxE

6、yF0，由題意得解得即三角形ABC的外接圓方程為x2y28x2y120.探究共研型求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程探究1已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)(8,0)的距離等于點(diǎn)M到點(diǎn)(2,0)的距離的2倍，你能求出點(diǎn)M的軌跡方程嗎？【提示】設(shè)M(x，y)，則2，整理可得點(diǎn)M的軌跡方程為x2y216.探究2已知直角ABC的斜邊為AB，且A(1,0)，B(3,0)，請(qǐng)求出直角頂點(diǎn)C的軌跡方程【提示】設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0)，由直角三角形的性質(zhì)知，|CD|AB|2，由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心，以2為半徑長(zhǎng)的圓(由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn))設(shè)C(x，y)，則直角頂點(diǎn)C的軌

7、跡方程為(x1)2y24(x3且x1)已知ABC的邊AB長(zhǎng)為4，若BC邊上的中線AD為定長(zhǎng)3，求頂點(diǎn)C的軌跡方程【精彩點(diǎn)撥】先建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求出BC邊上的中點(diǎn)D滿足的關(guān)系式，然后用動(dòng)點(diǎn)C的坐標(biāo)表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再代入點(diǎn)D滿足的關(guān)系式并化簡(jiǎn)即可【自主解答】以直線AB為x軸，AB的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系(如圖)，則A(2,0)，B(2,0)，設(shè)C(x，y)，BC中點(diǎn)D(x0，y0)|AD|3，(x02)2y9.將代入，整理得(x6)2y236.點(diǎn)C不能在x軸上，y0.綜上，點(diǎn)C的軌跡是以(6,0)為圓心，6為半徑的圓，去掉(12,0)和(0,0)兩點(diǎn)頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x6)2y236(y0)求

8、與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題常用的方法1直接法：根據(jù)題目的條件，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，并找出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式2定義法：當(dāng)列出的關(guān)系式符合圓的定義時(shí)，可利用定義寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程3相關(guān)點(diǎn)法：若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)隨著圓上的另一動(dòng)點(diǎn)Q(x1，y1)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且x1，y1可用x，y表示，則可將Q點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知圓的方程，即得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程再練一題3已知定點(diǎn)A(4,0)，P點(diǎn)是圓x2y24上一動(dòng)點(diǎn)，Q點(diǎn)是AP的中點(diǎn)，求Q點(diǎn)的軌跡方程【解】設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則x且y，即x2x4，y2y.又P點(diǎn)在圓x2y24上，x2y24，將x2x4，y2y代入得(2x4)2(2

9、y)24，即(x2)2y21.故Q點(diǎn)的軌跡方程為(x2)2y21.1圓x2y24x6y0的圓心坐標(biāo)是()A(2,3)B(2,3)C(2，3)D(2，3)【解析】圓的方程化為(x2)2(y3)213，圓心為(2，3)，選D.【答案】D2已知方程x2y22x2k30表示圓，則k的取值范圍是()A(，1) B(3，)C(，1)(3，)D.【解析】方程可化為：(x1)2y22k2，只有2k20，即k1時(shí)才能表示圓【答案】A3若方程x2y2DxEyF0表示以(2，4)為圓心，4為半徑的圓，則F_.【解析】以(2，4)為圓心，4為半徑的圓的方程為(x2)2(y4)216，即x2y24x8y40，故F4.【答案】44已知A，B是圓O：x2y216上的兩點(diǎn)，且|AB|6，若以AB為直徑的圓M恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(1，1)，則圓心M的軌跡方程是_【解析】設(shè)圓心為M(x，y)，由|AB|6知，圓M的半徑